Matriz

1. MATEMÁTICA I
SESIÓN N° 07
Ms. YLDER HELI VARGAS ALVA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PFA

2. TEMÁTICA
PFA
Determinantes:
• Definición y propiedades.
• Cálculo de determinantes.
• Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de
Cramer.
• Aplicaciones a la ingeniería industrial.

3. Aplicaciones - Producto de Determinantes
Una empresa tiene una orden de producción en la que
tiene que fabricar 45 artículos de tres clases diferentes.
Los costos de materiales para esa orden de producción
suman $ 145 y se discriminan así: Cada artículo tipo A
consume $ 1 en materiales, cada artículo tipo B
consume $ 5 en materiales y cada artículo tipo C
consume $ 3 en materiales.
Por otra parte, los costos por mano de obra suman $
140 y se discriminan así: Cada artículo tipo A cuesta $ 3,
cada artículo tipo B cuesta $ 2 y cada artículo C cuesta $
4. Hallar las cantidades de cada producto que pueden
fabricar bajo estas condiciones.

4. PFA
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

5. PFA
¿Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3?

6. 1 2 3
4 5 6
7 8 9
Hallar su determinante

7. Ejercicios
1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:

8. • El menor complementario de un elemento de una matriz A de tercer orden, es él
determinante de una matriz cuadrada de segundo orden, que se obtiene después de
eliminar la fila i y la columna j.
• Al menor complementario de aij denotaremos porMij.
Menor complementario (Mij)

9. Cofactor de un elemento de una matriz

10. Determinante de una matriz de orden 3
• El determinante de la matriz A es un número denotado por det(A) o y es igual a la
suma algebraica de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos
cofactores, es decir:
A

11. Ejemplo
Hallar el valor numérico del siguiente determinante.

12. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Una aplicación importante de los determinantes es a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, en las
cuales el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
De hecho, el concepto de determinante se originó en el estudio de tales sistemas de ecuaciones. El
resultado principal, conocido como regla de Cramer:
(REGLA DE CRAMER) Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x, yyz.
Entonces si ≠0, el sistema dado
tiene la solución única dada por

13. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO
Mediante determinantes resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
3x -y+ 2z = -1
2x + y-z = 5
x + 2y+ z = 4
 =
3 −1 2
2 1 −1
1 2 1
=18
x=18/18=1 y=36/18=2 z=-18/18=1
1 =
−1 −1 2
5 1 −1
4 2 1
=18 2 =
3 −1 2
2 5 −1
1 4 1
=36 3 =
3 −1 −1
2 1 5
1 2 4
=-18

14. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 02
Resolver el sistema siguiente utilizando la regla de Cramer:

15. CASO 01
Una empresa tiene una orden de
producción en la que tiene que fabricar
45 artículos de tres clases diferentes. Los
costos de materiales para esa orden de
producción suman $ 145 y se discriminan
así: Cada artículo tipo A consume $ 1 en
materiales, cada artículo tipo B consume
$ 5 en materiales y cada artículo tipo C
consume $ 3 en materiales.
Por otra parte, los costos por mano de
obra suman $ 140 y se discriminan así:
Cada artículo tipo A cuesta $ 3, cada
artículo tipo B cuesta $ 2 y cada artículo
C cuesta $ 4. Hallar las cantidades de
cada producto que pueden fabricar bajo
estas condiciones.
SOLUCIÓN:
De los datos del problema:
Numero de Articulo Costos Materiales Costos M.O
Tipo A : x $ 1 $ 3
Tipo B : y $ 5 $ 2
Tipo C : z $ 3 $ 4
45 artículos $ 145 $ 140
x + y + z = 45
1x + 5y + 3z =145
3x + 2y + 4z =140

16. CASO 01
SOLUCIÓN:
De los datos del problema:
x + y + z = 45
x + 5y + 3z =145
3x + 2y + 4z =140
 =
1 1 1
1 5 3
3 2 4
=6 1 =
1 1 1
1 5 3
3 2 4
=60 2 =
1 1 1
1 5 3
3 2 4
=90 3 =
1 1 1
1 5 3
3 2 4
=120
x=60/6=10 y=90/6=15 z=120/6=20
Articulo Unidades
Tipo A : x 10
Tipo B : y 15
Tipo C : z 20

17. CASO 02
Un Ingeniero AgroIndustrial tiene 200
hectáreas de tierras aptas para los cultivos
A, B y C. El costo por hectárea de
realizar los cultivos A, B y C es de $40,
$60 y $80, respectivamente. El agricultor
tiene $12 600 disponibles para el cultivo.
Cada hectárea del cultivo A requiere 20
horas de trabajo, cada hectárea del
cultivo B requiere 25 horas de trabajo y
cada hectárea del cultivo C requiere 40
horas de trabajo. El agricultor tiene un
máximo de 5 950 horas de trabajo
disponibles. Si desea utilizar toda su
tierra cultivable, la totalidad del
presupuesto y todo el trabajo disponible,
¿cuántas hectáreas de cada cultivo debe
sembrar?
SOLUCIÓN:
De los datos del problema:
Hectáreas de tierra
para :
Costos por
hectáreas
Horas de
Trabajo
Cultivo A : x $ 40 20 h
Cultivo Tipo B : y $ 60 25 h
Cultivo Tipo C : z $ 80 40 h
200 hectáreas $ 12 600 5 950
x + y + z = 200
40x + 60y + 80z =12 600
20x + 25y + 40z =5950

18. PFA
Bibliografía
• Stewart, J.,Redlin, L., Watson, S.(2012). Precálculo.Matemáticasparaelcálculo.México: CengageLearningEditores

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