1. POTENCIA.
P A B Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Producto de los segmentos determinados por una recta secante, trazada
C
D desde un punto a la circunferencia, situados en el mismo plano.
PA / PC = PB / PD =...k PA . PB = PC . PD...k
(PA)(PB)=(PC)(PD)=...k Si se unen A y D así como B y C, tanto en el caso del punto exterior como en
el interior a la circunferencia, se forman los triángulos PAD y PCB, que son
A
semejantes, ya que en el caso del exterior, los ángulos en P son iguales y los
P ángulos en B y D también por ser inscritos y de igual arco; y en el caso del
C D interior los ángulos en P son iguales por ser opuestos por el vértice y los B y
D también por ser inscritos y de igual arco. Estableciendo la
B proporcionalidad entre los lados homólogos se tiene:
2 2
Valor de la potencia. ( d -r )
d r r d
Punto exterior:
(PA)(PB)=(d-r)(d+r)= d2-r2
Punto interior:
P A b O B a b
(-PA)(PB)= -(r-d)(r+d)= -(r2-d2)= d2- r2 A B
O P
a Para el punto en el centro la potencia es -r2, ya
que d2 = 0; para el resto de los puntos, la potencia
crece al aumentar d, teniendo como valor
0(cero) los puntos situados en la circunferencia.
Punto exterior. Punto en la Punto interior. Punto en el centro.
Potencia positiva. circunferencia. Potencia negativa. Potencia negativa.
Segmentos orientados Potencia igual a cero. Segmentos orientados Segmentos orientados
en el mismo sentido. (PA)(PB) = k = 0 en sentido contrario. en sentido contrario.
2 2 2 2 2
(PA)(PB) = k = d - r (-PA)(PB) = -k = d - r (-PA)(PB) = -k = -r
A P B
A B
P A B P A P B
C Segmento representativo de la potencia.
c
B b O A P
Punto exterior.
a La tangente PC es la posición límite de una secante y el punto C posición
límite común de las intersecciones.
2 2 2 2
(PA)(PB)=(PC)(PC)=PC =(PO-OA)(PO+OB)=(d-r)(d+r)=d -r = c
C
c
Punto interior.
a b
A B La semicuerda normal al diámetro que pasa por P, es medio proporcional
O P
entre las distancias de este a la circunferencia.
2 2 2 2
(-PA)(PB)=(PC)(PC)=Pc =(-PO+OA)(OB-PO)=(-r+d)(r-d)= d -r = c

2. EJE RADICAL.
2 2
c -b =k Eje radical como lugar geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a
otros dos fijos es constante(k), es una recta perpendicular a la que une dichos puntos.
En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso/agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados más/menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él.
2 2 2
ABM: c = (a/2) + m + 2(a/2)(MH)
2 2
c - b = 4(a/2)(MH) = 2a(MH) = k
2 2 2
ACM: b = (a/2) + m - 2(a/2)(MH)
A La diferencia (c2 - b2) es constante, por igualdad, lo es (2a(MH).
c b Sí B y C son puntos fijos (a) es constante y, por tanto, (MH).
m h M, punto medio de (BC), es fijo luego H también debe serlo.
B M H C Según esto el punto A, del lugar geométrico buscado tiene fija
su proyección normal en H sobre el segmento (BC), así pues,
a/2 a/2 cualquier punto A estará en dicha perpendicular por H al
segmento (BC).
Eje radical de dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es el lugar
A P B geométrico(recta) de los puntos del plano, donde están
situados, que tienen la misma potencia (variable para cada uno
de ellos) respecto de ellas.
Q Al trazar rectas tangentes exteriores a las circunferencias O y Q,
O obtenemos los segmentos AB y A’B’ que unen los puntos de
B’ tangencia. Los puntos medios P y P’ de dichos segmentos
P’ guardan la misma potencia respecto de las circunferencias.
A’ La recta PP’, que une ambos puntos, es perpendicular a la que
une los centros (OQ) de ambas circunferencias y su eje radical.
Eje radical según las posiciones relativas entre dos circunferencias
Exteriores Secantes Interiores
CR P’ CR
A B A B
A B
(P)
(P) P
Tangentes interiores Tangentes exteriores Concéntricas
A B A B A
P P B

3. CENTRO RADICAL
ER(AB) Centro radical de tres circunferencias.
B
ER(BC) Lugar geométrico del plano, donde están situadas, que
tiene la misma potencia respecto de ellas.
A
CR El lugar geométrico (centro radical) es el punto de
intersección de los ejes radicales entre dichas
C circunferencias.
ER(AC)
El centro radical es un punto impropio cuando los
centros de las circunferencias están alineados y sus
ejes radicales resultan paralelos.
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS.
Haz de circunferencias coaxiales(corradicales). Conjunto de circunferencias de eje radical común.
Haz de exteriores Haz de tangentes Haz de secantes
Propiedad de los haces de circunferencias Circunferencias secantes ortogonales.
coaxiales.
Circunferencias con los radios que pasan por el
Cada punto del eje radical tiene igual potencia punto de tangencia perpendiculares y siendo el
respecto de todas las circunferencias del haz; por radio de una tangente a la otra.
tanto, el punto de contacto de las tangentes Cada haz de circunferencias coaxiales lleva
trazadas desde él coinciden con los de una asociado otro haz de circunferencias
circunferencia. ortogonales a las primeras

4. TANGENCIA. (Potencia).
1º PPP 3º PPR
Circunferencia que pasa por tres puntos Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta.
no alineados.
(Circunferencia circunscrita a un triángulo.) Trazar la recta que une los dos puntos hasta cortar a la dada para obtener el
centro radical. Hallar, también, la mediatriz del segmento distancia entre los
Trazar las mediatrices de los lados del dos puntos que es el lugar geométrico de los centros de todas las
triángulo para obtener el circuncentro, punto circunferencias que pasen por estos.
común de éstas y centro de la circunferencia Hallar la recta tangente a una circunferencia cualquiera, trazada con centro
circunscrita. en la mediatriz y que pase por los dos puntos, desde el centro radical.
El segmento representativo de potencia (recta tangente) describe una
circunferencia, desde el centro radical, que contiene todos los puntos de
tangencia incluidos los de las circunferencias tangentes a la recta dada; por
2º RRR tanto, basta levantar por ellos perpendiculares a ella que al cortar la
Circunferencias tangentes a tres rectas. mediatriz dan los centros de las circunferencias solución.
(Circunferencias inscrita y exinscritas a un triángulo.)
F C G
Trazar las bisectrices de los ángulos interiores para encontrar el incentro,
centro de la circunferencia tangente interior a los lados de un triángulo; y las E
bisectrices de los ángulos exteriores para obtener los tres exincentros,
B
centros de las circunferencias tangentes a tres rectas.
I
H
D
A

5. TANGENCIA. (Potencia). 1
4º RRP 5º RRC
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas. Circunferencia tangente a otra y a dos rectas.
Hallar la bisectriz del ángulo que forman las rectas. Desplazar las rectas paralelamente, hacia dentro y hacia fuera, la longitud
Determinar el punto simétrico al dado trazando una perpendicular a la del radio de la circunferencia. Las nuevas posiciones de las rectas con el
bisectriz y continuar como el caso 3º PPR. centro de la circunferencia se transforman y solucionan como el 4º RRP.
(3º PPR). Trazar la recta que une los dos puntos hasta cortar a una de las dadas para obtener el centro radical.
Hallar la recta tangente a una circunferencia cualquiera, trazada con centro en la mediatriz y que pase por los dos puntos, desde el centro radical.
El segmento representativo de potencia (recta tangente) describe una circunferencia, desde el centro radical, que contiene todos los puntos de tangencia
incluidos los de las circunferencias tangentes a la recta dada; por tanto, basta levantar por ellos perpendiculares a ella que al cortar la mediatriz dan los centros
de las circunferencias solución.
r
F C G
E
B a
r
r
I
H a
D
A
K
J
r

6. TANGENCIA. (Potencia). 2
6º PPC Circunferencia con centro en una recta, tangente a otra y que pasa por
Circunferencia que pasa por dos punto y es tangente a otra. un punto.
Trazar el eje radical de las circunferencias que pasan por los puntos, Trazar una perpendicular a la recta por el punto y determinar su simétrico.
uniéndolos, y el lugar geométrico de sus centros, hallando la mediatriz de la Esta operación transforma el ejercicio en el caso 6º PPC.
distancia entre ellos. (6º PPC). La perpendicular es el eje radical de las circunferencias que
Trazar una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a la dada, según pasan por los dos puntos y, el lugar geométrico de los centros de las
condiciones anteriores, y el eje radical de ambas. Éste eje corta al otro y circunferencias, la recta dada.
determina el centro radical. Trazar una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a la dada, según
Hallar el segmento representativo de potencia de las circunferencias y condiciones anteriores, y el eje radical de ambas. Éste eje corta al otro y
obtener los puntos de tangencia. Aplicar las normas de tangencia entre determina el centro radical.
circunferencias para determinar los centros de las dos soluciones. Hallar el segmento representativo de potencia de las circunferencias y
obtener los puntos de tangencia. Aplicar las normas de tangencia entre
circunferencias para determinar los centros de las dos soluciones.
J
A
C
K
K D L a
E
I
F
H
C B
I E
D F
L
H
G J
A B G

7. TANGENCIA. (Potencia). 3
7º PCR
Circunferencia que pasa por un punto, tangente a otra y a una recta.
Determinar que la recta tenga por inversos los puntos de la circunferencia, al trazar por su centro una perpendicular a aquella, así como el centro de inversión.
Dicho centro variará la situación según sea la potencia: positiva para las tangentes exteriores y negativa para las interiores.
Construir una circunferencia que pasa por el punto y los inversos, hallados anteriormente, para obtener el inverso del punto al alinearlo con el centro de
inversión y cortar la circunferencia última. Esta recta es el eje radical de las soluciones y corta a la recta fijando el centro radical de todo el conjunto.
Hallar el segmento representativo de potencia, de dicho centro y la circunferencia última, y llevarlo sobre la recta, en uno y otro sentido desde el centro radical,
para determinar los puntos de tangencia.
Unir los puntos de tangencia con el centro de inversión para obtener los de la circunferencia y aplicar las normas de tangencia para hallar los centros de las
circunferencias solución.
G
G
D’ H F I a a H F D’ I
A
E L A’
J C
D A
L E
M
K K
B
B M J
D
C
A’

8. TANGENCIA. (Potencia). 4
Circunferencias tangentes a otra y a una recta en un punto de ella. (Aplicar inversión o potencia y eje radical. 7º PCR)
C
I
D
I
B
B
G F
A
H C
D H
A E F E G
a a
G
F
B
B
F
C
E A
H G
A D a D C E
a

9. TANGENCIA. (Potencia). 5
8º RCC
Circunferencia tangente a otras dos y a una recta.
Simplificar el ejercicio reduciendo la circunferencia pequeña a un punto, trazando paralelas a uno u otro lado de la recta a la distancia del radio de aquella y
concéntricas a la mayor sumando o restando dicha distancia; según se deseen obtener las circunferencias tangentes exteriores , interiores o intercaladas.
(7º PCR). Determinar que la recta tenga por inversos los puntos de la circunferencia, al trazar por su centro una perpendicular a aquella, así como el centro de
inversión. Dicho centro variará la situación según sea la potencia: positiva para las tangentes exteriores y negativa para las interiores.
Construir una circunferencia que pasa por el punto y los inversos, hallados anteriormente, para obtener el inverso del punto al alinearlo con el centro de
inversión y cortar la circunferencia última. Esta recta es el eje radical de las soluciones y corta a la recta fijando el centro radical de todo el conjunto.
Hallar el segmento representativo de potencia, de dicho centro y la circunferencia última, y llevarlo sobre la recta, en uno y otro sentido desde el centro radical,
para determinar los puntos de tangencia.
Unir los puntos de tangencia con el centro de inversión para obtener los de la circunferencia y aplicar las normas de tangencia para hallar los centros de las
circunferencias solución.
G
J K
F
H D’ F I a’ I D’ H
A
O P a
A E O
E L C
M Ñ
A’ L B
N D
D M
J Ñ
B K
C

10. TANGENCIA. (Potencia). 5A
8º. CCR. Tangentes intercaladas.

11. TANGENCIA. (Potencia). 6
9º PCC
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a otras dos.
Hallar el centro de homotecia (directa o inversa) que es a la vez centro de inversión (positiva o negativa) de las circunferencias y determinar los puntos de
tangencia desde éste a ellas, según se deseen obtener las circunferencias tangentes interiores o exteriores.
Determinar el inverso del punto dado trazando una circunferencia que pase por el y por los de tangencia hallados anteriormente. El eje radical de esta
circunferencia y la mayor corta la recta que une los puntos, que es eje radical de las soluciones, y fija el centro radical del conjunto.
Hallar las rectas tangentes desde el centro radical a la circunferencia mayor para obtener los puntos de tangencia en ella y aplicar las normas de tangencia para
encontrar los centros y los puntos de tangencia en la circunferencia menor.
F
K
E
J
D O
N O E
B C
I B
Ñ
G A F
A H Ñ
L M
K D
G
N
L I
C M
H
J

12. TANGENCIA. (Potencia). 7
10º CCC
Circunferencia tangente a otras tres. Teorema deApolonio.
Hallar los centros de homotecia directa de las circunferencias entre sí que
estarán alineados. Ñ
Determinar el centro radical de las circunferencia.
Obtener los polos de cada circunferencia dada con la polar que une los centros
de homotecia. A
Unir los polos con el centro radical para fijar los puntos de tangencia. Las
circunferencias tangentes (interior y exterior) del ejemplo tienen sus centros en
K
las rectas que unen los de las dadas con los puntos de tangencia.
Abajo se indican las 8 posibles soluciones.
N
C G
M O
P
Q
B
L
R
D H E I J F

13. TANGENCIA. SOLUCIONES GRÁFICAS DE LOS 10 CASOS DE TANGENCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.
1º PPP 2º RRR 3º PPC 4º PPR 5º RRP
6º RRC 7º RCP 8º RCC 9º PCC 10º CCC