Problema de Empuje de Tierras.pdf
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- 1. Problema de Empuje de Tierras Ing. Rafael Ortiz Hernández Geotecnia División de Investigación y Posgrado Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Querétaro
- 2. Problema
- 3. Problema Determine el empuje activo en un muro de contención de 9 m con una inclinación de 15° en su terreno, θ = 80°, γ = 1800 kg/m³, φ = 26° y c = 0 t/m². Determine el empuje para: a) Caso sin carga, q = 0 t/m. b) Teniendo una sobrecarga uniforme de q = 20 t/m². c) Teniendo 2 cargas lineales, localizadas a 2 y 5 m del punto A en pendiente, q1 = 30 t/m y q1 = 20 t/m.
- 4. Solución a) Caso sin carga
- 5. Solución a) - Teoría Utilizando la solución publicada en Das (2001) para los empujes por Rankine en caso activo: 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑎 Donde: 𝛾 Peso volumétrico 𝐻 Altura del muro 𝐾𝑎 Coeficiente de presión activa de tierra de Rankine para caso generalizado
- 6. Solución a) - Teoría 𝐾𝑎 = cos 𝛼 − 𝜃 1 + sin2 𝜙′ − 2 sin 𝜙′ cos 𝜓𝑎 cos2 𝜃 cos 𝛼 + sin2 𝜙′ − sin2 𝛼 Donde: 𝛼 Inclinación del relleno granular con respecto a la horizontal 𝜃 Inclinación del trasdós del muro con respecto a la vertical 𝜙′ Ángulo de fricción interna del material 𝜓𝑎 Relación de ángulos: 𝜓𝑎 = sin−1 sin 𝛼 sin 𝜙′ − 𝛼 + 2𝜃
- 7. Solución a) - Teoría 𝐾𝑎 = cos 𝛼 − 𝜃 1 + sin2 𝜙′ − 2 sin 𝜙′ cos 𝜓𝑎 cos2 𝜃 cos 𝛼 + sin2 𝜙′ − sin2 𝛼
- 8. Solución a) 𝐾𝑎 = cos 𝛼 − 𝜃 1 + sin2 𝜙′ − 2 sin 𝜙′ cos 𝜓𝑎 cos2 𝜃 cos 𝛼 + sin2 𝜙′ − sin2 𝛼 Donde: 𝛼 Inclinación del relleno granular con respecto a la horizontal 15° 𝜃 Inclinación del trasdós del muro con respecto a la vertical 10° (90°-80° = 10°) 𝜙′ Ángulo de fricción interna del material 26° 𝜓𝑎 Relación de ángulos: 𝜓𝑎 = sin−1 sin 𝛼 sin 𝜙′ − 𝛼 + 2𝜃 = sin−1 sin 15° sin 26° − 15° + 2 10° = 36.19° − 15° + 2 10° = 41.19°
- 9. Solución a) 𝐾𝑎 = cos 15° − 10° 1 + sin2 26° − 2 sin 26° cos 41.19° cos2 10° cos 15° + sin2(26°) − sin2(15°) 𝐾𝑎 = cos 5° 1 + 0.1922 − 2 0.4384 (0.7525) 0.9698 0.9659 + 0.3538 𝐾𝑎 = 0.5679 𝐾𝑎 = 0.9962 1.1922 − 0.6598 1.2798
- 10. Solución a) 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝐻2 𝐾𝑎 Donde: 𝛾 Peso volumétrico 1800 kg/m³ 𝐻 Altura del muro 9 m 𝐾𝑎 Coeficiente de presión activa 0.5679 𝑃𝑎 = 1 2 1800 𝑘𝑔 𝑚3 9 𝑚 2 0.5679 = 900 𝑘𝑔 𝑚3 81 𝑚2 0.5679 𝑃𝑎 = 41399.91 𝑘𝑔 𝑚 = 413.999 𝑡 𝑚
- 11. Solución b) Sobrecarga uniforme de q = 20 t/m²
- 12. Solución b) - Teoría Utilizando la solución publicada en Das (2001) para los empujes por Rankine en caso activo y sobrecarga: 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝑎𝑒𝐻2𝐾𝑎 Donde: 𝛾𝑎𝑒 Peso volumétrico considerando la sobrecarga 𝐻 Altura del muro 𝐾𝑎 Coeficiente de presión activa de tierra de Rankine
- 13. Solución b) - Teoría 𝛾𝑒𝑞 = 𝛾 + sin 𝛽 sin 𝛽 + 𝛼 2𝑞 𝐻 𝐾𝑎 = cos 𝛼 − 𝜃 1 + sin2 𝜙′ − 2 sin 𝜙′ cos 𝜓𝑎 cos2 𝜃 cos 𝛼 + sin2 𝜙′ − sin2 𝛼
- 14. Solución b) - Teoría 𝛾𝑒𝑞 = 𝛾 + sin 𝛽 sin 𝛽 + 𝛼 2𝑞 𝐻 Donde: 𝛾 Peso volumétrico del material 𝛽 Angulo de inclinación del trasdós del muro 𝛼 Inclinación del relleno granular con respecto a la horizontal 𝑞 Sobrecarga del material 𝐻 Altura del muro
- 15. Solución b) 𝛾𝑒𝑞 = 𝛾 + sin 𝛽 sin 𝛽 + 𝛼 2𝑞 𝐻 𝛾𝑒𝑞 = 1800 𝑘𝑔 𝑚3 + sin 80° sin 80° + 15° 2 20 000 𝑘𝑔 𝑚2 9 𝑚 𝛾𝑒𝑞 = 1800 𝑘𝑔 𝑚3 + 0.9886 4444.44 𝑘𝑔 𝑚3 𝛾𝑒𝑞 = 1800 𝑘𝑔 𝑚3 + 4394 kg m3 = 6194 kg m3
- 16. Solución b) 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝑒𝑞𝐻2 𝐾𝑎 Donde: 𝛾𝑒𝑞 Peso volumétrico equivalente 6194 kg/m³ 𝐻 Altura del muro 9 m 𝐾𝑎 Coeficiente de presión activa 0.5679 𝑃𝑎 = 1 2 6194 𝑘𝑔 𝑚3 9 𝑚 2 0.5679 = 3097 𝑘𝑔 𝑚3 81 𝑚2 0.5679 𝑃𝑎 = 142461.6903 𝑘𝑔 𝑚 = 142.461 t m
- 17. Solución c) 2 cargas lineales, localizadas a 2 y 5 m del punto A en pendiente, q1 = 30 t/m y q1 = 20 t/m
- 18. Solución c) - Teoría Se puede asumir el siguiente empuje: 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝐻2 𝐾𝑎 + 𝑃1𝐾𝑎 + 𝑃2𝐾𝑎 Donde: 𝛾 Peso volumétrico 𝐻 Altura del muro 𝐾𝑎 Coeficiente de presión activa de tierra de Rankine 𝑃1, 𝑃2 Empujes por cargas lineales
- 19. Solución c) - Teoría Utilizando la solución publicada en Das (2001) para carga en línea q/longitud en unitaria: 𝜎 = 2𝑞 𝜋𝐻 𝑎2 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 2 Donde a y b se explican en la gráfica de la siguiente diapositiva.
- 20. Solución c) 𝜎 = 𝑞 𝐻 0.203𝑏 0.16 + 𝑏2 2 ; a ≤ 0.4 𝜎 = 2𝑞 𝜋𝐻 𝑎2 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 2 𝜎 = 2𝑞 𝜋𝐻 𝑎2 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 2 ; a > 0.4
- 21. Solución c) – Carga 1: 30 t/m a 2 m El valor de 𝑎 se determina como: 2 𝑚 = 𝑎 9 𝑚 𝑎 = 2 𝑚 9 𝑚 = 0.222 𝜎 = 𝑞 𝐻 0.203𝑏 0.16 + 𝑏2 2 ; a ≤ 0.4
- 22. Solución c) – Carga 2: 20 t/m a 5 m El valor de 𝑎 se determina como: 5 𝑚 = 𝑎 9 𝑚 𝑎 = 5 𝑚 9 𝑚 = 0.56 𝜎 = 2𝑞 𝜋𝐻 𝑎2𝑏 𝑎2 + 𝑏2 2 ; a > 0.4
- 23. Solución c) – Esfuerzos de cargas 𝜎1 = 𝑞 𝐻 0.203𝑏 0.16 + 𝑏2 2 ; a ≤ 0.4 𝜎2 = 2𝑞 𝜋𝐻 𝑎2 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 2 ; a > 0.4 𝜎𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 = 𝛾𝑧 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Profundidad (m) Presiones (kg/m²) Carga 1 Carga 2 Suelo Suma 𝜎𝑠𝑢𝑚𝑎 = 𝜎𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 + 𝜎1 + 𝜎2
- 24. Solución c) – Empujes 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑎 + 𝑃1𝐾𝑎 + 𝑃2𝐾𝑎 𝑃𝑎 = 1 2 1800 𝑘𝑔 𝑚3 9 𝑚 2 0.5679 + 16341.98 𝑘𝑔 𝑚 0.5679 + 4852.89 𝑘𝑔 𝑚 0.5679 𝑃𝑎 = 41399.91 𝑘𝑔 𝑚 + 9280.61 𝑘𝑔 𝑚 + 2755.96 𝑘𝑔 𝑚 𝑃𝑎 = 53436.48 𝑘𝑔 𝑚 = 53.436 𝑡 𝑚