Empuje de Tierras.pdf

Empuje de Tierras
Ing. Rafael Ortiz Hernández
Geotecnia
División de Investigación y Posgrado Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Querétaro

Estado de equilibrio elástico

Equilibrio elástico
Las presiones de tierra suelen manejarse como un caso especial
de equilibrio elástico; no implica una relación definida entre
los esfuerzos y las deformaciones, sino de pequeños
aumentos en esfuerzo desviador que produce pequeños
aumentos en la deformación, por lo que los estados de empuje
activo y pasivo desarrollan por completo su resistencia al
corte, llegando a un estado de equilibrio plástico cuando el
aumento en la deformación no implican un aumento en el
esfuerzo desviador.
𝜎 ↛ 𝛿

Estado de equilibrio plástico

Estado de equilibrio plástico
Es un estado de esfuerzo dentro de la masa de un suelo de una
porción del mismo que se ha deformado a tal magnitud que se
ha movilizado su resistencia última al corte, pero la masa
completa no se moviliza.

Esfuerzo horizontales y el
Estado en reposo

Esfuerzos horizontales
Tenemos el entendimiento que las presiones verticales (pv)
están dadas por el peso propio (γ) y la profundidad de interés (z):
𝑝𝑣 = 𝛾𝑧
Las presiones horizontales son similares, ya que se considera
que el suelo es un material semi-isotrópico (esfuerzos iguales en
todas direcciones), y por lo cual en función de la presión vertical
afectada por un factor de reducción/incremento:
𝑝ℎ = 𝐾𝛾𝑧

Estado en reposo
Un suelo en estado normal, sin considerar la aplicación de
esfuerzos adicionales, se considera en “reposo” y se considera
como:
𝑝ℎ = 𝐾𝑜𝑝𝑣
El factor de reposo (Ko) es difícil de determinar en sitio, ya que
para medir este valor es necesario afectar el terreno, por lo que
se ha hecho sugerencias del valor en función de las propiedades
del material.

Algunas formas de obtener Ko
𝐾𝑜 = 1 − sin 𝜙′ para suelos granulares (en términos efectivos)
(Jaky, 1944)
𝐾𝑜 = 0.44 + 0.42
𝐼𝑃(%)
100
para suelos de grano fino, normalmente
consolidado (Massarsch, 1979)
𝐾𝑜𝑂𝐶
= 𝐾𝑜𝑁𝐶
𝑂𝐶𝑅 para suelos de grano fino, sobreconsolidado

Teoría de Rankine (suelos friccionantes)
Se entiende como suelos friccionantes a los suelos gruesos como arenas y
gravas limpias.

Teoría de Rankine
El método de Rankine (1857) explica el empuje en términos de rotura por cortante del
terreno.
Se obtienen los empujes partiendo de un semiespacio infinito que se encuentra en “estado
de Rankine“, es decir, un estado de equilibrio plástico y en donde el muro no produce
ninguna perturbación.
Se supone que el terreno es homogéneo e isótropo y en estado de equilibrio plástico, es
decir, se acepta que toda la masa en el trasdós del muro está en situación de rotura y, por
tanto, en cualquier punto el estado de esfuerzos pertenece a un círculo de Mohr que es
tangente a la línea de rotura de este suelo.
Como hipótesis adicional, no hay variación de tensiones en los puntos de cualquier plano
paralelo a la superficie del semiespacio.
Este modelo puede resultar un tanto conservador, pues solo considera el ángulo de
rozamiento interno del terreno, olvidando el efecto favorable del rozamiento entre el
muro y el terreno.
(Yepez, 2019)

Suelo friccionante
Un suelo a la profundidad z,
considerando en “reposo”, está sujeto
a un estado de esfuerzos
representado por el círculo 1.
Se puede llegar a la falla por
disminución o aumento de presión
lateral a partir del valor Koγz.
Se llega así a dos círculos
representativos de los estados
“plásticos” activo (círculo 2) y pasivo
(círculo 3).
(Juárez, 2002)

Suelo friccionante
• Empuje activo:
𝑃𝐴 =
𝛾𝑧
𝑁𝜙
• Empuje pasivo:
𝑃𝑃 = 𝑦𝑧𝑁𝜙
𝑁𝜙 Coeficiente tan2
45° +
𝜙
2
𝜙 Ángulo de fricción interna
𝛾 Peso volumétrico

Suelo friccionante
• Empuje total activo:
𝐸𝐴 =
1
2𝑁𝜙
𝛾𝐻2
• Empuje total pasivo:
𝐸𝐴 =
1
2
𝑁𝜙𝛾𝐻2
45° +
𝜙
2
𝐻 Altura del corte/muro

Suelo cohesivo-friccionante
Se entiende como suelos cohesivo-friccionantes como suelos de mezclas
binarias (arenas-finos, gravas-finos) o terciarias (gravas-arenas-finos).

Un suelo a la profundidad z,
considerando en “reposo”, está sujeto
a un estado de esfuerzos
representado por el círculo 1.
Se puede llegar a la falla por
disminución o aumento de presión
lateral a partir del valor Koγz.
Se llega así a dos círculos
representativos de los estados
“plásticos” activo (círculo 2) y pasivo
(círculo 3).
(Juárez, 2002)

Suelo cohesivo-friccionantes
• Empuje activo:
𝑃𝐴 =
𝛾𝑧
𝑁𝜙
−
2𝑐
𝑁𝜙
• Empuje pasivo:
𝑃𝑃 = 𝑦𝑧𝑁𝜙 − 2𝑐 𝑁𝜙
45° +
𝜙
2
𝑐 Cohesión aparente

𝐸𝐴 =
1
2𝑁𝜙
𝛾𝐻2
−
2𝑐
𝑁𝜙
𝐻
𝐸𝑃 =
1
2
𝑁𝜙𝛾𝐻2 + 2𝑐 𝑁𝜙𝐻
45° +
𝜙
2

Suelos cohesivo
Se entiende como suelos cohesivo a los suelos finos como limos y arcillas.

Suelo cohesivo
Se considera un elemento de suelo
puramente cohesivo a la profundidad z,
si la masa de superficie horizontal de
suelo está en “reposo” la presión
horizontal sobre el elemento, sujeto a la
presión vertical γz, será Koγz (Circulo 1).
Si se permite la deformación lateral hay
dos modos de fallas.
Disminución de presión horizontal,
estado activo (Círculo 2).
Incremento de presión horizontal, estado
activo (Círculo 3).
(Juárez, 2002)

Suelo cohesivos
• Empuje activo:
𝑃𝐴 = 𝛾𝑧 − 2𝑐
• Empuje pasivo:
𝑃𝑃 = 𝑦𝑧 + 2𝑐
𝑧 Altura del corte/muro

Suelo cohesivos
𝐸𝐴 =
1
2
𝛾𝐻2
− 2𝑐𝐻
𝐸𝑃 =
1
2
𝛾𝐻2
+ 2𝑐𝐻

Diagramas de Presión
para suelos friccionantes

Diagramas de Presión para suelos friccionantes – Empuje Activo
Ka = Coeficiente empuje activo
𝜙 = Ángulo de fricción interna
γ = Peso volumétrico del terreno
H = Altura del muro
(Das, 2001)

Diagramas de Presión para suelos friccionantes – Empuje Pasivo
Kp = Coeficiente empuje pasivo
𝜙 = Ángulo de fricción interna
H = Altura del muro
(Das, 2001)

para suelos cohesivo-friccionantes

Diagramas de Presión para suelos cohesivos friccionantes
Empuje activo
c = Cohesión no drenada
zo = Profundidad crítica
γ = Peso volumétrico del
terreno
H = Altura del muro
Ka = Empuje activo
(Das, 2001)

Diagramas de Presión para suelos cohesivos friccionantes
Empuje pasivo
γ = Peso volumétrico del
terreno
H = Altura del muro
Kp = Empuje pasivo
(Das, 2001)

para suelos cohesivos

Diagramas de Presión para suelos cohesivos
Activo Pasivo
Su = Resistencia al corte no drenada
H = Altura del muro
(Juárez, 2002)

Teoría de Coulomb para
suelos friccionantes

Teoría de Coulomb
Coulomb propuso un modelo para estimar los empujes del terreno planteando el equilibrio
de una masa de terreno en forma de cuña al deformarse o moverse el muro.
La rotura se produce a lo largo de dos planos, el formado por el interface suelo-muro y el
plano de deslizamiento en el terreno.
La cuña, formada por los dos planos, se comporta como un bloque rígido.
De todas las cuñas posibles, una es la que produce el empuje activo máximo.
El método supone que las superficies de deslizamiento son planas, pero esta hipótesis es
muy discutible en el caso del empuje pasivo.
El problema queda resuelto para un muro cualquiera, con un trasdós que no necesita ser
vertical, y un terreno con una determinada inclinación y con unas cargas sobre su
superficie.
Se supone conocido el peso específico del terreno, el ángulo de rozamiento interno y el
ángulo de rozamiento muro-suelo.

Coulomb para suelos friccionantes
Considera que el empuje sobre un muro se debe a una cuña de suelo
limitada por el paramento del muro, la superficie del relleno y una superficie
de falla, supuesta como plana, desarrollada dentro del relleno.
(Juárez, 2002)

La cuña OAB se desliza bajo peso propio y se producen esfuerzo de fricción
en respaldo del muro y plano OB, generando la fuerza E y F y están
inclinadas con respecto a ángulos δ (fricción muro-relleno) y φ (fricción
suelo-suelo).
(Juárez, 2002)

El valor δ esta acotado entre:
0 ≤ 𝛿 ≤ 𝜙
δ = 0 es un muro liso y es el mínimo posible.
δ > φ sería como una falla dentro del suelo, que es igual al de
muro con el suelo.
Terzaghi recomienda:
𝜙
2
≤ 𝛿 ≤
2
3
𝜙

Para empujes activos se considera:
𝐸𝐴 =
1
2
𝛾𝐻2
cos2 𝜙 − 𝜔
cos2 𝜔 cos 𝛿 + 𝜔 1 +
sin 𝛿 + 𝜙 sin 𝜙 − 𝛽
cos 𝛿 + 𝜔 cos 𝜔 − 𝛽
2
𝐸𝐴 Empuje activo máximo
𝜔 Ángulo de respaldo de muro y la vertical
𝛽 Ángulo entre superficie plana de rellano y horizontal

Si ω = 0, β = 0 y δ = 0 la formula se reduce a:
𝐸𝐴 =
1
2
𝛾𝐻2
1 − sin 𝜙
1 + sin 𝜙
=
1
2𝑁𝜙
𝛾𝐻2
Que es idéntico a la solución de Rankine.

Para empujes pasivos se considera:
𝐸𝑃 =
1
2
𝛾𝐻2
cos2
𝜙 + 𝜔
cos2 𝜔 cos 𝛿 − 𝜔 1 −
sin 𝛿 + 𝜙 sin 𝜙 + 𝛽
cos 𝛿 + 𝜔 cos 𝜔 − 𝛽
2
𝐸𝐴 Empuje pasivo máximo
𝜔 Ángulo de respaldo de muro y la vertical
𝛽 Ángulo entre superficie plana de rellano y horizontal
𝛿 Ángulo del empuje

Para empujes pasivos se tiene el polígono de fuerzas:
(Juárez, 2002)

Teoría de Coulomb para
suelos cohesivo-friccionantes

Coulomb en cohesivos-friccionantes
a) Muro con superficie de falla y líneas de influencia.
(Juárez, 2002)

b) Superficie hipotética de falla supuesta es un círculo, donde se
puede aplicar el método de “círculo de fricción” o de espiral
logarítmica.
(Juárez, 2002)

c) Consideración práctica donde la superficie hipotética de falla
como un plano que se extiende desde la base del muro hasta la
zona de agrietamiento. Aquí se aplica la teoría de Coulomb.
(Juárez, 2002)

Un polígono de fuerzas compuesto por:
W – Peso total (área de cuña por peso
específico del suelo).
F – Reacción normal entre cuña y el
suelo.
C – Reacción de la “cohesión” entre
cuña y el suelo.
C’ – Adherencia entre suelo y muro.
E - Empuje activo.
(Juárez, 2002)

El polígono se cierra considerando
R que corresponde a la superficie
de falla supuesta.
Las fuerzas C y C’ se conocen en
dirección y magnitud multiplicando
el parámetro c del suelo por las
longitudes AG y AB’,
respectivamente.
Se deben calcular varios valores de
E para obtener el máximo posible.
(Juárez, 2002)

En empujes pasivos, se aplica de manera análoga la simplificación
de la superficie de falla del empuje activo.
En el caso de empuje pasivo no se recomienda ya que la teoría es
muy poco aproximada y esta del lado de la inseguridad.

Empuje de tierras,
¿mejor Coulomb o Rankine?
Opiniones de Victor Yepes Piqueras

Comentarios de Coulomb y Rankine
• En caso de terrenos estratificados, la inclinación del plano de deslizamiento depende de
cada terreno, con lo que el problema puede ser indeterminado si utilizamos el modelo de
Coulomb. En este caso, Rankine es de más fácil formulación, que suele ser
recomendable en el caso de muros ménsula.
• El método de Coulomb no tiene en cuenta la presencia de grietas de tracción, por lo que
con terrenos cohesivos el cálculo de la profundidad de estas grietas se debe hacer con
Rankine.
• Si no existe cohesión en el terreno ni adherencia entre muro y terreno, con la teoría de
Coulomb se puede determinar que la resultante del empuje activo está situada, desde la
base del muro, a un tercio de la altura del muro. Si no es así, entonces el método no
proporciona directamente la posición del empuje.
• El método de Rankine es difícil de aplicar con geometrías mínimamente complejas
(trasdós quebrado, superficies del terreno en el trasdós no planas, cargar arbitrarias
sobre éste último) y no es mucho más preciso que el método de Coulomb para estos
casos.
(Yepez, 2019)

Comentarios de Coulomb y Rankine
• El método de Coulomb no estima bien el empuje pasivo, pues la superficie real de rotura
no es plana (se asemeja a una espiral logarítmica) y la distribución de empujes difiere
bastante de la triangular, proporcionando valores sobredimensionados (del lado de la
inseguridad). El método de Rankine es más conservador para el cálculo de empujes
pasivos.
• El método de Rankine no considera el rozamiento entre el muro y el terreno, lo cual es
conservador. Es un aspecto importante en muros de gravedad, cuyos empujes activos se
prefieren calcular con Coulomb.
• En el método de Coulomb permite la consideración de sobrecargas en el trasdós de
cualquier tipo (constante, puntual, triangular, etc.) siempre que sean indefinidas en el
sentido longitudinal del muro, pues basta introducirlas en las ecuaciones de equilibrio.
Con Rankine es sencillo si se trata de una sobrecarga constante.
(Yepez, 2019)

Teoría de Cullman (Método Gráfico)

Método Gráfico de Culmann
Desde la base del muro (punto A) se traza una línea de empuje cuya inclinación respecto a la
horizontal es φ; con respecto a la línea interior se traza otra línea cuyo ángulo es de ψ, el cual
puede ser encontrado mediante el polígono de la derecha. (Medrano, 2008)

En el relleno se suponen diferentes cuñas de deslizamiento y se trazan los respectivos planos,
representados por las líneas Ab1, Ab2… a cada de una de estas cuñas de deslizamiento se les
calcula el peso, multiplicando su respectiva área por el peso especifico γ. (Medrano, 2008)

A una escala adecuada se dibuja el peso de cada una de las cuñas sobre la línea φ, desde el punto A,
obteniéndose los puntos a1, a2… Una vez graficados estos puntos, desde cada uno de ellos se traza una
paralela a la línea ψ que corte al respectivo plano de falla, que esta representando su peso c1, c2…
(Medrano, 2008)

Las líneas a1c1, a2c2… corresponden al valor del empuje que realiza cada una de las cuñas de falla, en la
misma escala de fuerza utilizada para los pesos en la línea de empuje φ. Ahora se dibuja una línea que
contenga todos los puntos c encontrados: a esta línea se le conoce como la línea de empuje de Culmann.
(Medrano, 2008)

Se traza una línea paralela a φ y que sea a la línea de Culmann, el punto donde ocurre esta tangencia
corresponde al máximo valor del empuje, el cual se puede medir en la línea ac, si se traza una línea que vaya
desde A hasta c, y se prolongue por toda la sección analizada, se encontraría la cuña de deslizamiento donde
ocurre éste máximo valor de empuje.
(Medrano, 2008)

Finalmente se encuentra el punto de aplicación ubicando el centro de gravedad de todo el cuerpo y
trazando una paralela a la cuña de deslizamiento del empuje máximo hasta interceptar el muro.
(Medrano, 2008)

Problemas
Por la simplicidad recomiendo
realizar los ejemplos 9.1 a 9.5 del
libro de Braja M. Das (Fundamentos
de Ingeniería Geotécnica) Edición
2001, en las páginas 313 a 322.
Los problemas no resueltos se
encuentran en las páginas 334 a
338.

Método semiempírico de
Terzaghi para Empujes

Método semiempírico de Terzaghi
El método determina el empuje activo en muros de poca altura
(hasta 7 metros). Consiste en 4 pasos.
1. Clasificar el terreno a retener.
2. Clasificar la superficie del relleno y tipos de carga.
3. Obtener valores Kh y Kv
4. Calcular empujes
5. Determinar altura de empuje

1. Clasificar el terreno a retener
Se tienen 5 tipos:
I. Suelo granular grueso, sin finos
II. Suelo granular grueso, con finos limosos
III. Suelo residual, con cantos, bloques de piedra, gravas,
arenas finas y finos arcillosos en cantidad apreciable.
IV. Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas limosas
V. Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos
de modo que el agua proveniente de cualquier fuente no
penetre entre los fragmentos.

1. Clasificar el terreno a retener
Como se puede observar la clasificación va de suelos puramente
friccionantes (I) a suelos cohesivos de baja y alta plasticidad (IV
y V), pasado por suelos con cohesión y fricción (II y III).
Por lo anterior los suelos de tipo IV y V no son deseables como
suelo de relleno (por ser de tipo expansivos) y se deben
descartarse.

2. Clasificar la superficie del relleno y tipos de carga.
Se tienen 4 tipos:
1. La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin
sobrecarga alguna.
2. La superficie del relleno es inclinada, a partir de la corona del
muro, hasta un cierto nivel, en que se torna horizontal.
3. La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una
sobrecarga uniformemente repartida.
4. La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una
sobrecarga lineal, paralela a la corona del muro y
uniformemente distribuida.

Kh, Kv, Empujes y Alturas – Caso 1
Se obtienen de acuerdo al tipo de caso,
para el caso 1:
𝐸ℎ =
1
2
𝐾ℎ𝐻2
𝐸𝑣 =
1
2
𝐾𝑣𝐻2
Donde H es la altura del muro y Kh y Kv
son coeficientes de empuje horizontal y
vertical.
(Juárez, 2002)

El empuje deberá aplicarse a la altura H/3, medida del paño inferior del
muro.
En el caso de que trabaje con relleno del tipo V, el valor de H considerado
en los cálculos se debe reducir en 1.20 m, respecto al usual y el empuje
que se obtenga debe considerarse aplicado a la altura:
𝑑′
=
1
3
𝐻 − 1.20 𝑚
d’ se mide desde el nivel inferior del muro.

Para el caso 2:
Criterios para la utilización de las gráficas
(Juárez, 2002)

Para el caso 2:
Para materiales tipo V, el valor de H considerado en los cálculos se debe reducir en 1.20 m.
(Juárez, 2002)

Para el caso 3 donde la superficie del relleno es horizontal y sobre ella
actúa una sobrecarga uniformemente repartida el problema se puede
resolver aplicando la formula:
𝑝 = 𝐶𝑞
Siendo 𝑝 la presión horizontal producto de la sobrecarga, por lo que la
resultante del empuje se puede expresar como:
𝐸𝑝 = 𝐶𝑞𝐻
Aplicada a la mitad de la altura del soporte.

Donde q es el valor de la sobrecarga uniformemente repartida, H la altura
del soporte y C se determina de cuerdo a la siguiente tabla:
Valores de C, en función del tipo de relleno
Tipo de relleno C
I 0.27
II 0.30
III 0.39
IV 1.00
V 1.00

Para el caso 4 en el que la superficie del relleno es horizontal y sobre ella
actúa una sobrecarga lineal, paralela a la corona del muro y
uniformemente distribuida, el problema se puede resolver aplicando la
formula:
𝑝 = 𝐶𝑞′
Donde 𝑃 es el empuje producto de la sobrecarga lineal, 𝑞´ es el valor de
la sobrecarga lineal paralela a la corona del muro y 𝐶 se determina de
cuerdo a la tabla del caso 3.

El criterio del punto de aplicación de P es el siguiente:
Para fines de revisar la estabilidad del soporte se considera que la sobrecarga q´ contribuye
considerando que la influencia de la carga va disminuyendo con la profundidad en un ángulo de 60°,
en este caso, provocando una sobrecarga en la losa de la cimentación de q´/ab
(Juárez, 2002)

Comentarios
El método se refiere a muros bien drenados y con cimentación firme, en
cuyo caso la fricción y la adherencia entresuelo y muro están dirigidas
hacia abajo, ejerciendo un efecto estabilizante que tiende a reducir el
empuje.
Si el muro descansa en terreno blando su asentamiento puede hacer que
la componente vertical de empuje llegue a invertirse. Esto aumenta el
empuje en forma considerable, por lo que Terzaghi recomienda que, en
este caso, los valores del empuje que se obtengan en las graficas
anteriores se incrementen sistemáticamente en un 50%

Revisión de Muros de
Contención

Revisión de Muros de Contención
Los muros de contención se deben
verificar de las siguientes fallas:
• Deslizamiento del muro
• Volteo del muro
• Deslizamiento profundo
• Deformación excesiva del muro
• Fisuración excesiva del muro
• Rotura por esfuerzo cortante

Verificar que la geometría de la cimentación
del muro resista los empujes horizontales de
la masa del suelo.

Verificar que los momentos provocados por
los empujes del terreno sea menor a los
momentos resistentes generados por el suelo
de apoyo.

Verificar que el suelo que conforma el desnivel
del terreno puede estar en equilibrio.

Verificar que el muro puede resistir las
deformaciones provocados por los empujes
del terreno sin sobrepasar los límites de
servicio del muro.

Verificar que el armado de acero y el concreto
del muro puede resistir las deformaciones
provocados por los empujes del terreno

Verificar que el material del muro puede
resistir los esfuerzos cortantes provocados por
los empujes del terreno

Referencias
Eulalio Juárez Badillo. (2002). Mecánica de Suelos II (Vol. 2). Editorial
Limusa.
Rodolfo Crescenciano Medrano Castillo. (2008). Mecánica de Suelos.
Secretaria de Educación Pública.
Das Braja, M. (2001). Fundamentos de ingeniería geotécnica. México DF
Thomson.
http://ingenieriacivil-emi.blogspot.com/2015/09/empuje-de-tierras.html
https://victoryepes.blogs.upv.es/2019/11/27/empuje-de-tierras-mejor-
coulomb-o-rankine/

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