Ecuacion Matricial de Asentamientos.pdf
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Diapositivas preparadas para la clase de Geotecnia en el Posgrado de Geotecnia de la UAQ.
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- 1. Ecuación Matricial de Asentamientos Ing. Rafael Ortiz Hernández Geotecnia División de Investigación y Posgrado Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Querétaro
- 2. Antecedentes
- 3. Dr. Leonardo Zeevaert Wiechers Ingeniero civil y Educador. Veracruz, 27 de noviembre de 1914 – Ciudad de México, 16 de febrero de 2010. Titulado como Ingeniero Civil por la UNAM. Maestro en Ciencias en Ingeniería Estructural por el MIT. Doctorado en Mecánica de Suelos por el UI con Terzaghi. Maestro de Posgrado del Instituto de Ingeniería en la UNAM. Una de sus obras más importantes fue el diseño de la cimentación de la Torre Latinoamericana.
- 4. Dr. Zeevaert y su enseñanza Dr. Zeevaert tiene varias publicaciones que realizó para impartir sus clases de Mecánica de suelos. De esas publicaciones, en la geotecnia mexicana tenemos 2 como referencia: • Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions • Interacción Suelo-Estructura de Cimentaciones Superficiales y Profundas Sujetas a Cargas Estáticas y Sísmicas
- 5. Dr. Zeevaert y sus cálculos Ya que la formación académica del Dr. Zeevaert fue la ingeniería estructural, el aplico una metodología matricial a los cálculos de los suelo, de forma análoga a los materiales rígidos como los elementos de concreto y acero pero considerando la naturaleza elástica, elasto-plástica y elasto-plástica viscosa del terreno. De cierta forma, estas matrices forman la base de un elemento finito 2D para el calculo de asentamiento.
- 7. ISE La interacción entre la estructura de cimentación y el suelo consiste en encontrar un sistema de reacciones que aplicadas simultáneamente a la estructura de cimentación y a la masa de suelo produzca la misma configuración de desplazamientos diferenciales entre los dos elementos.
- 8. ISE El procedimiento de establecer las expresiones de compatibilidad para el cálculo de los esfuerzos de contacto se denomina como Interacción suelo-estructura, por lo tanto, será necesario tratar a la masa de suelo como un medio continuo en donde la acción de una carga en un punto “i” de la masa de suelo ejerce su influencia en un punto “j” de ésta.
- 10. Propiedades esfuerzo-deformación-tiempo Se requiere el conocimiento de las propiedades esfuerzo- deformación-tiempo de los estratos del terreno. • Permabilidad, k • Coeficiente de Consolidación, cv • Coeficiente de Compresibilidad Volumétrica, mv • Módulo de deformación unitaria, M
- 11. Propiedades esfuerzo-deformación-tiempo A su vez, estas propiedades dependen de las características de los suelos: • Historial del estado de esfuerzos del material • Tipo de estructura de esqueleto • Cementación o fuerzas cohesivas intergranulares (succión) • Forma, dimensiones y resistencia de los granos • Estado de densidad del suelo • Grado de saturación (succión) • Permeabilidad (succión)
- 12. Desplazamientos verticales Llamando 𝛼𝑁 a la deformación volumétrica de un estrato 𝑁 para un tiempo determinado 𝑡, y Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 al incremento medio de esfuerzo en un punto 𝑗 para el mismo estrato N debido a la carga aplicada en un área tributaria 𝜎𝑖.
- 13. Desplazamientos verticales Espesor Espesor Espesor Espesor Deformación volumétrica Incremento de esfuerzo medio Carga aplicada en área tributaria
- 14. Desplazamientos verticales La deformación del estrato 𝑁 en este punto es: Δ𝛿𝑗𝑖 𝑁 = 𝛼𝑁 ∙ Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 El desplazamiento vertical de la superficie en el punto 𝑗 será la suma de las deformaciones de todos los estratos: 𝛿𝑗𝑖 = 𝐴 𝑁 𝛼𝑁 ∙ Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁
- 15. El valor de Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 en cualquier punto de la masa del suelo se puede expresar en función de la carga unitaria superficial 𝑞𝑖 aplicada en un área tributaria 𝑎𝑖. Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 = 𝐼𝑗𝑖 𝑁 ∙ 𝑞𝑖 En donde 𝑁 indica el estrato en cuestión, el punto 𝑖 se entiende localizado al centro del área tributaria 𝑎𝑖 donde se aplica la carga unitaria 𝑞𝑖 y 𝑗 el punto donde se calculan los efectos resultantes.
- 16. Desplazamientos verticales Espesor Espesor Espesor Espesor Deformación volumétrica Incremento de esfuerzo medio Carga aplicada en área tributaria
- 17. Desplazamientos verticales Utilizando las ecuaciones: Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 = 𝐼𝑗𝑖 𝑁 ∙ 𝑞𝑖; 𝛿𝑗𝑖 = 𝐴 𝑁 𝛼𝑁 ∙ Δ𝜎𝑗𝑖 𝑁 Tenemos: 𝛿𝑗𝑖 = 𝐴 𝑁 𝛼𝑁 ∙ Iji N ∙ 𝑞𝑖 Supongamos que un área tributaria está cargada con 𝑞𝑖 = +1 se obtendrá el desplazamiento unitario vertical en 𝑗 debido a la carga unitaria en 𝑖: 𝛿𝑗𝑖 = 𝐴 𝑁 𝛼𝑁 ∙ Iji N
- 18. Desplazamientos verticales Disponiendo el calculo de las influencias 𝐼𝑗𝑖 de esfuerzo unitario como se muestra abajo, se pueden calcular los desplazamientos verticales unitarios de la superficie debido a la carga 𝑞𝑖 = +1 aplicada en el área tributaria del punto (1).
- 19. 𝛿𝑗𝑖 = 𝐴 𝑁 𝛼𝑁 ∙ Iji N 𝛿11 𝛿31 𝛿31 𝛿41 = 𝐼11 𝐴 𝐼21 𝐴 𝐼11 𝐵 𝐼21 𝐵 𝐼31 𝐴 𝐼41 𝐴 𝐼31 𝐵 𝐼41 𝐵 𝐼11 𝐶 𝐼21 𝐶 𝐼11 𝐷 𝐼21 𝐷 𝐼31 𝐶 𝐼41 𝐶 𝐼31 𝐷 𝐼41 𝐷 T ∙ 𝛼𝐴 𝛼𝐵 𝛼𝐶 𝛿𝑗𝑖 = 𝐼𝑗𝑖 𝑁 𝑇 ∙ 𝛼𝑁
- 21. Utilizando la ecuación 𝛿𝑗𝑖 = 𝐼𝑗𝑖 𝑁 𝑇 ∙ 𝛼𝑁 para los puntos 1, 2, 3, … i, se forma la matriz general para todos los puntos deseados como sigue: 𝛿𝑗𝑖 = 𝛿𝑗1 𝑇 𝛿𝑗2 𝑇 𝛿𝑗3 𝑇 𝛿𝑗4 𝑇 = 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 𝛿31 𝛿41 𝛿32 𝛿42 𝛿13 𝛿23 𝛿14 𝛿24 𝛿33 𝛿43 𝛿34 𝛿44
- 22. Ecuación Matricial de Asentamientos (o Hundimientos) La matriz traspuesta y multiplicada por la matriz columnar de las cargas unitarias aplicadas en las áreas tributarias 𝑎 proporciona la matriz columnar de los desplazamientos verticales de la superficie carga. Se obtiene: 𝛿𝑗𝑖 = 𝛿𝑗1 𝑇 𝛿𝑗2 𝑇 𝛿𝑗3 𝑇 𝛿𝑗4 𝑇 = 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 𝛿31 𝛿41 𝛿32 𝛿42 𝛿13 𝛿23 𝛿14 𝛿24 𝛿33 𝛿43 𝛿34 𝛿44 𝛿𝑖 = 𝛿𝑗𝑖 ∙ 𝑞𝑖 ECUACIÓN MATRICIAL DE ASENTAMIENTOS
- 23. Ecuación Matricial de Asentamientos (o Hundimientos) La ecuación 𝛿𝑖 = 𝛿𝑗𝑖 ∙ 𝑞𝑖 puede desarrollarse a: 𝛿1 𝛿2 𝛿3 𝛿4 = 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝛿13 𝛿14 𝛿23 𝛿24 𝛿31 𝛿32 𝛿41 𝛿42 𝛿33 𝛿34 𝛿43 𝛿44 ∙ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 Si las áreas tributarias se escogen iguales se obtendría una matriz simétrica de desplazamientos unitarios, 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖
- 24. Referencias: Zeevaert, L. (1973). Foundation engineering for difficult subsoil conditions. Van Nostrand Reinhold Company. Zeevaert, L. (1980). Interacción suelo-estructura de cimentaciones superficiales y profundas, sujetas a cargas estáticas y sísmicas. Limusa.