Este documento presenta un modelo de sistemas complejos basado en mapas lógicos acoplados. Introduce conceptos clave como sistemas dinámicos, caos, redes complejas y el mapa lógistico. Luego describe la construcción del modelo, que toma una red y asigna un mapa lógistico a cada nodo. Estos mapas están acoplados a través de la media local de cada nodo con sus vecinos. Finalmente, analiza la dinámica del sistema y muestra que puede exhibir biestabilidad.

1. Sistemas complejos: Un modelo de mapas
log´ısticos acoplados
Mario As´ıs C´anovas
Universidad de Zaragoza
Zaragoza, 8 Julio 2015
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados

2. Introducci´on
La teor´ıa de sistemas complejos es un campo de investigaci´on
multidisciplinar, con origen en la d´ecada de los setenta, que
actualmente atrae gran inter´es por su variedad de aplicaciones. La
organizaci´on o evoluci´on de las especies en un ecosistema, la
distribuci´on de los recursos de un grupo comercial o su cotizaci´on
en bolsa a lo largo del tiempo, as´ı como el desarrollo de procesos
qu´ımicos encadenados o la trayectoria descrita por un aut´omata
son ejemplos de sistemas complejos. Esta materia trata de
caracterizar comportamientos comunes de este tipo de sistemas,
describir lo que entendemos por complejidad y modelizar y estudiar
la din´amica de esta clase de objetos.
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Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados

3. Sistemas complejos
¿Qu´e es un sistema complejo?
Como hemos visto, se manejan conceptos algo abstractos y quiz´a
demasiado generales. No existe una definici´on universalizada de
que entendemos por sistema y sistema complejo. Damos una
definici´on que, aunque nada rigurosa,nos permite hacernos una
idea de a qu´e nos estamos refiriendo con esta terminolog´ıa.
Definici´on
Un sistema es un conjunto de elementos dotados de relaciones
entre ellos y que act´uan como un todo.
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4. Sistemas complejos
En general el concepto de sistema complejo bebe directamente de
la noci´on de emergencia.
Definici´on
Una propiedad de un sistema es emergente si no puede ser
reducida al comportamiento particular de sus componentes.
Es decir, es una propiedad que se asocia a las interacciones
que tienen lugar entre los mismos y que es imposible sin dicha
interacci´on.
Un sistema complejo es un sistema en el que el
conocimiento de los elementos que lo conforman no es
suficiente para caracterizar su comportamiento. Esto es, es un
sistema que presenta propiedades emergentes.
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5. Sistemas complejos
Propiedades de los sistemas complejos
Listamos ahora algunas propiedades que, aunque no los
caracterizan, suelen estar asociadas con los sistemas complejos.
Retroalimentaci´on
Din´amica no-lineal
Auto-organizaci´on
Memoria
Formaci´on de patrones
Caos
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6. Sistemas complejos
Formaci´on de patrones en un aut´omata celular
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7. Sistemas complejos
Tras esta introducci´on general se hace necesario dar un marco
matem´atico que nos permita hacer un estudio riguroso de sistemas
concretos y modelizarlos, definimos el t´ermino sistema din´amico.
Definici´on
Llamamos sistema din´amico a la terna (S, φ, T) donde S es un
conjunto arbitrario, al que llamamos espacio de estados,
T = Z ∨ R, y lo llamamos conjunto de tiempos, y φ = {φt} es
una familia de aplicaciones φt : S −→ S definida para t ≥ 0,
satisfaciendo:
φ0 = 1S
φs+t = φs ◦ φt, ∀t, s ≥ 0
Si el conjunto de tiempos es Z diremos que el sistema din´amico es
discreto, y si es R diremos que es continuo.
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8. Redes complejas
Redes complejas
Tambi´en podemos hablar de complejidad al referirnos a una red.
La teor´ıa de grafos nos da el trasfondo matem´atico adecuado para
este estudio.
Definici´on
Decimos que una red es una red compleja si posee propiedades
topol´ogicas que difieren en gran medida de aquellas presentes en
un grafo aleatorio.
Entre las propiedades que suelen considerarse para construir
medidas de complejidad se incluyen: grados de los nodos y
distribuci´on de grados, longitud de los caminos m´ınimos,
di´ametro y cercan´ıa, clusterizaci´on, motivos, estructuras
comunitarias, espectro del grafo.
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9. Redes complejas
Algunos tipos de redes
Redes aleatorias: Se construyen uniendo m pares de nodos
escogidos al azar. Esta construcci´on aleatoria es tan sencilla
que su estructura no parece atender a ninguna funci´on
concreta. Esta es la raz´on por la que no se le atribuye
complejidad a estas redes.
Figure: Grafo aleatorio de Erd¨os-Renyi.
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10. Redes complejas
Redes scale-free: Las redes scale-free est´an presentes en
gran cantidad de situaciones, por ejemplo, la red telef´onica o
la red el´ectrica. Estas redes acumulan gran cantidad de
enlaces en unos pocos nodos, mientras la mayor´ıa de los
nodos est´an poco enlazados. La distribuci´on de los enlaces
sigue una ley potencial. La presencia de estas redes esta
justificada por su resistencia a fallos aleatorios.
Figure: Grafo de Barab´asi-Albert.
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11. Redes complejas
Redes small-world: Las redes small-world son redes entre la
aleatoriedad y la regularidad que poseen caminos cortos entre
sus nodos. Est´an presentes en el cerebro, en redes sociales y
de empresas. Un ejemplo conocido son las redes de amigos y
su ley de los seis grados de separaci´on.
Figure: Grafo de Watts-Strogatz.
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12. El mapa log´ıstico
Caos en sistemas din´amicos
Damos primero la definici´on de caos, una conducta a menudo
asociada a los sistemas complejos.
Definici´on
Diremos que un sistema din´amico (S, φ, T) es ca´otico si satisface:
Es sensible a condiciones iniciales:
∃δ > 0 tal que ∀x0 ∈ S y ∀Ux0 entorno de x0 se tiene que
∃y0 ∈ Ux0 y un t > 0 tal que:
d(φt(x0), φt(y0)) > δ
Es topol´ogicamente transitivo en S:
Dados U y V abiertos en S, ∃x0 ∈ U ∧ t > 0 tal que
φt(x0) ∈ V
Posee un conjunto de ´orbitas peri´odicas denso en S.
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13. El mapa log´ıstico
El teorema de Sarkovskii da una condici´on necesaria para la
aparici´on de reg´ımenes ca´oticos en un sistema din´amico:
Definici´on
Llamamos orden de Sarkovskii a la ordenaci´on de los n´umeros
naturales dada como sigue:
3 5 7 9 11 . . . (2n + 1) · 20 . . .
3 · 21 5 · 21 7 · 21 9 · 21 11 · 21 . . . (2n + 1) · 21 . . .
3 · 22 5 · 22 7 · 22 9 · 22 11 · 22 . . . (2n + 1) · 22 . . .
...
...
3 · 2k 5 · 2k 7 · 2k 9 · 2k 11 · 2k . . . (2n + 1) · 2k . . .
...
...
. . . 2n 2n−1 . . . 23 22 2 1
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14. El mapa log´ıstico
Teorema
(Teorema de Sarkovskii) Sea el sistema din´amico (I, φ, Z) con I un
intervalo cerrado, y denotemos por al orden de Sarkovskii. Sea
φn : I −→ I una funci´on continua con una ´orbita de periodo m.
Entonces, φn tiene ´orbitas de periodo m´ınimo k, ∀k m. En
particular, si φn tiene una ´orbita de periodo m´ınimo 3, entonces
tiene ´orbitas de periodo m´ınimo k, ∀k ∈ N.
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15. El mapa log´ıstico
El mapa log´ıstico
El mapa log´ıstico es un sistema din´amico definido sobre [0, 1]
mediante la ecuaci´on de recurrencia:
xn+1 = pxn(1 − xn) con p ∈ (0, 4) (1)
Este sistema modeliza de forma muy sencilla la din´amica de
poblaciones de una especie restringida por la sobrepoblaci´on y es el
ladrillo fundamental del modelo que construiremos despu´es. La
expansi´on est´a controlada por el t´ermino pxn, proporcional a la
poblaci´on actual xn y al par´ametro p, al que llamamos ratio de
crecimiento. La sobrepoblaci´on lleva al sistema a una contraci´on,
expresada con el t´ermino (1 − xn).
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16. El mapa log´ıstico
Figure: Diagrama de bifurcaci´on del mapa log´ıstico.
Pasado un cierto n´umero de iteraciones el mapa tiende a tomar
unos valores concretos, independientemente de las condiciones
iniciales escogidas. En el eje y representamos estos valores para
cada valor de p.
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17. Construcci´on del modelo
El modelo de mapas acoplados
Ahora pasamos a construir un modelo que relaciona varios mapas
log´ısticos entre s´ı, de acuerdo a la estructura de una red dada:
Primer paso: Tomamos un grafo no dirigido G que
represente las relaciones entre los mapas log´ısticos.
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18. Construcci´on del modelo
Segundo paso: Tomamos un valor inicial en [0, 1] para cada
nodo i, al que llamamos estado inicial del nodo i y denotamos
por xi,0.
Tercer paso: Definimos el sistema mediante la siguiente
ecuaci´on de recurrencia para cada nodo i:
xi,n+1 = p(3¯xi,n + 1)xi,n(1 − xi,n) con p ∈ (0, 1) (2)
Donde ¯xi,n es la media local del nodo i, que viene dada por:
¯xi,n =
1
Ni
j∈vi
xj,n (3)
Donde Ni es el n´umero de nodos vecinos de i (su grado) y vi
su conjunto de vecinos.
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19. Construcci´on del modelo
Para hacernos una idea de como se comporta el sistema animamos
la evoluci´on de dos nodos cualesquiera. Tomamos una red all-to-all
de 100 nodos y p = 0.97.
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20. Din´amica y biestabilidad del modelo
Estudio de la din´amica del sistema
En la animaci´on se intuye que la din´amica del sistema se concentra
en la diagonal ∆. El estudio en estas condiciones es mucho m´as
sencillo, la evoluci´on de cualquier nodo viene dada por:
xn+1 = p(3xn + 1)xn(1 − xn) (4)
Los puntos fijos se calculan tomando xn+1 = xn = x:
x = p(3x + 1)x(1 − x) (5)
Cuyas soluciones son:
O = 0, x± =
1
3
(1 ± 4 −
3
p
) (6)
El punto O es estable para todo valor de p y los puntos x± surgen
cuando p > 0.75 y solo x+ es estable, y lo es para 0.75 < p < 1.
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21. Din´amica y biestabilidad del modelo
Como el sistema presenta dos zonas estables, diremos que es
biestable en ∆. No obstante, ∆ es una regi´on cerrada del espacio
de fases, por tanto la estabilidad de estos puntos sobre ∆ no
implica la estabilidad global. Veamos como afecta una
perturbaci´on que nos saque fuera de ∆ al sistema. Llamaremos θ a
cualquiera de los estados estables en la diagonal, y la perturbaci´on
queda:
xi,n = θ + ϕxi,n con θ = O ∨ x+ (7)
Definimos en base a esto la perturbaci´on de la media local de un
nodo como:
ϕ¯xi,n =
3
Ni
j∈vi
ϕxj,n (8)
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22. Din´amica y biestabilidad del modelo
Sustituyendo este valor en la ecuaci´on del sistema y tomando la
parte lineal (que es la que rige la estabilidad) la perturbaci´on
avanza como sigue:
ϕxi,n+1 = p(3θ + 1)(1 − 2θ)ϕxi,n + pθ(1 − θ)ϕ¯xi,n (9)
Y la media local:
ϕ¯xi,n+1 = p(3θ +1)(1−2θ)ϕ¯xi,n +3pθ(1−θ)×
1
Ni
j∈vi
ϕ¯xj,n (10)
Y para simplificar esta expresi´on introducimos el t´ermino:
1
Ni
j∈vi
ϕ¯xj,n = σi,nϕ¯xi,n (11)
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23. Din´amica y biestabilidad del modelo
La matriz de la linealizaci´on del sistema de perturbaciones queda:
p(3θ + 1)(1 − 2θ) pθ(1 − θ)
0 p(3θ + 1)(1 − 2θ) + 3pσi,nθ(1 − θ)
(12)
Y la ´unica parte dependiente de la red es σi,n. Supondremos
σi,n = σ constante. Para θ = O, los valores propios de la matriz de
estabilidad quedan λ1 = λ2 = p y por tanto este estado es estable
para todo p. Si θ = x+ :
λ1 = 2 − 2p − p 4 −
3
p
(13)
λ2 = λ1 +
σ
3
(3 − 2p + p 4 −
3
p
) (14)
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24. Din´amica y biestabilidad del modelo
En valor absoluto, λ1 es menor que 1 para todo valor de p
considerado. La p´erdida de estabilidad deber´a provenir de λ2.
Llamamos pc al valor de p en el que este punto fijo pierde la
estabilidad.
0 < σ < 1: En este caso pc = 1 y el estado x+ es estable en
todo el recorrido. La biestabilidad es simple para todo p.
−1 < σ < 0: En esta situaci´on, existe un pc < 1. Por tanto la
biestabilidad simple se pierde antes de alcanzar p = 1. No
obstante, la biestabilidad sigue siendo posible en otro tipo de
reg´ımenes.
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25. Se observa que el sistema presenta biestabilidad (dos zonas
estables distintas que coexisten) independientemente de la red
escogida, aunque el valor del par´ametro en que la din´amica
puntual pierde la estabilidad pc s´ı es dependiente de la red
escogida.
Como uno de los estados estables es nulo y otro no, es
razonable que llamemos a uno de ellos apagado de la red y al
otro encendido.
Tanto pc como σ son par´ametros asociados al sistema que
son dependientes de la red. Resultan estar relacionados de
forma casi lineal, y sus valores aumentan cuanto m´as
compacta es la red.
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