Límites de funciones, conceptos y aplicaciones.

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

2. CONCEPTO DE LÍMITE
El concepto de límite es la base fundamental con la que
se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e
integral). Informalmente hablando se dice que el
límite es el valor (L) al que tiende una función f(x)
cuando la variable independiente tiende a un número
determinado (p) o al infinito.

4. No existe un límite concreto No existe un límite concreto
• Ejemplo_1
• En la gráfica de la función vemos que:
• LIMITE POR LA DERECHA
• lím f(x) = 7
• x 2+
•
• LIMITE POR LA IZQUIERDA
• lím f(x) = 5
• x 2-
0 1 2 3 x
7
5
• Ejemplo_2
• En la gráfica de la función vemos
que:
• LIMITE POR LA DERECHA
• lím f(x) = 1
• x 0+
•
• LIMITE POR LA IZQUIERDA
• lím f(x) = 0
• x 0-
0 1 2 x
y
1

5. Si existe limite concreto Si existe límite concreto
• Ejemplo_3
• Según la gráfica vemos que:
• LIMITE POR LA DERECHA
• lím f(x) = 1
• x 1+
• LIMITE POR LA IZQUIERDA
• lím f(x) = 1
• x 1-
• En este caso:
• lím f(x) = 1
• x 1
0 1 2 3 x
y
1
0 5 10 x
y
3
• Ejemplo_4
• Según la gráfica vemos que:
• LIMITE POR LA DERECHA
• lím f(x) = 3
• x 5+
• LIMITE POR LA IZQUIERDA
• lím f(x) = 3
• x 5-
• En este caso:
• lím f(x) = 3
• x 5

6. • Ejemplo_5
• x – 4
• Lím ------------
• x 1 x – 2
•
• x y
• ------------------------
• 0,99 2,9802
• 0,999 2,9980
• 1 ?
• 1,001 3,0020
• 1,01 3,0202
• 1,1 3,2020
• Como se puede intuir, el límite de la
función cuando x1 es 3
• Ejemplo_6
• x – 3
• Lím ----------
• x 3 x2 – 9
•
• x y
• ------------------------
• 2,99 0,1669
• 2,999 0,1667
• 2,9999 0,1666
• 3 ?
• 3,0001 0,1666
• 3,001 0,1667
• Como se puede intuir, el límite
de la función cuando x3 es
1/6 = 0.16666666…

7. • El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para cualquier sucesión de
valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes
imágenes es L.
•
• lím f(x) = L1 lím f(x) = L2
• x +oo x –oo
• En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal.
(O dos, si L1 es distinto de L2 )
• Ejemplo
• f(x) = x / (x – 3)
• Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003
• Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003
• Para x = 100000  y = 1,00003
• Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco
y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.
LIMITES EN EL INFINITO

8. • Otro ejemplo
• y = x / (x2 – 4)
• Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001
• Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001
• Para x = 100000  y = 0,00001
• Para x = 1000000  y = 0,000001
• Está ya claro que:
• Lím f(x) = 0
• x+oo
• Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores
idéntica, aunque ahora negativos.
• Lím f(x) = 0
• x – oo
• La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0.
• Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas
horizontales: y = L1 e y = L2

9. Ejemplo gráfico
L2
L1
0
Y
X
Lim f(x) = L2
x-oo
Lim f(x) = L1
x+oo

10. • Ejemplo 1
• Si representamos la función:
• x 3
• f(x)= ------ = 1 + -------
• x – 3 x – 3
• Hipérbola de centro (3, 1)
• Vemos que en x=3 la función no existe. Sin
embargo existe en las proximidades de x=3,
donde la gráfica tiende a juntarse con una
recta vertical.
• Decimos que presenta una asíntota vertical en
el punto xo=3.
• Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no
es lo mismo el trazo a la derecha que a la
izquierda de xo=3
LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO
0 3 x
Y
1

11. • Para ver cómo se comporta la función en las
proximidades de x=3 habrá que calcular sus
límites laterales:
• Límite por la derecha:
x 3
• lím -------- = ----- = + oo
• x3+ x - 3 +0
• pues x vale algo más de 3.
• Límite por la izquierda:
x 3
• lím -------- = ----- = - oo
• x3- x - 3 - 0
• pues x vale algo menos de 3.
• Los límites laterales nos ayudan a definir la
tendencia de una función en determinados
puntos críticos.
0 3 x
Y
1

12. • Ejemplo 2
• Si representamos la función:
• – 2.x 6
• f(x)= -------- = – 2 + ------------
• x + 3 x – (– 3)
• Hipérbola de centro ( – 3 , – 2)
• Vemos que en x= - 3 la función no
existe. Sin embargo existe en las
proximidades de x= -3, donde la
gráfica tiende a juntarse con una
recta vertical.
• Decimos que presenta una asíntota
vertical en el punto xo= - 3.
• Sin embargo, a la hora de dibujar la
función, no es lo mismo el trazo a la
derecha que a la izquierda de xo= - 3
- 3 0 x
Y
-2

13. • Para ver cómo se comporta la función en las
proximidades de x=3 habrá que calcular sus
límites laterales:
• Límite por la derecha:
-2.x 6
• lím -------- = ----- = + oo
• x-3+ x + 3 +0
• pues x vale algo más de - 3.
• Límite por la izquierda:
-2.x 6
• lím -------- = ----- = - oo
• x-3- x + 3 - 0
• pues x vale algo menos de - 3.
• Los límites laterales nos ayudan a definir la
tendencia de una función en determinados
puntos críticos.
- 3 0 x
Y
-2

14. • Ejemplo 3
• Queremos representar la función:
• f(x) = x / ( x2 - 4)
• Vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es
+/- 2 / 0
• La función no existe en x=2 ni en x=-2
• Sin embargo sí existe en las proximidades de
dichos valores de x.
• Decimos que presenta una asíntota vertical en el
punto x1= 2 y otra en x2= - 2.
• Veamos su comportamiento en x = 2
• x 2
• lím ---------- = ----- = + oo
• x2+ x2 - 4 +0
• pues x vale algo más de 2 y x2 > 4
• x 2
• lím -------- = ------ = - oo
• x2- x2 - 4 - 0
• pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4
-2 0 2 x
Y

15. • Teníamos f(x) = x / ( x2 - 4)
• Veamos ahora su comportamiento
• en x = - 2
• x - 2
• lím ---------- = ----- = + oo
• x- 2+ x2 - 4 - 0
• pues x vale algo más de – 2 y por
• tanto x2 < 4
• x - 2
• lím -------- = ----- = - oo
• x- 2- x2 - 4 + 0
• pues x vale algo menos de – 2 y por
• tanto x2 > 4
-2 0 2 x
Y
•Los límites laterales nos ayudan a
definir la tendencia de una función
en determinados puntos críticos.

16. Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades
generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
Límite por un escalar. , donde k es un multiplicador escalar.
Límite de una suma.
Límite de una resta.
Límite de una multiplicación.
Límite de una división.
GENERALIDAD DE LOS LÍMITES

17. EJEMPLO 1
Resolver el límite:
Solución:

18. 2.- Resolver el límite
Solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar
algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a
la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos
métodos:
Por lo que aplicando la factorización:

19. EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON
SUSTITUCIÓN SIMPLE

21. 






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
3
4
3
lim
2
2
3
lim
8
4
4
3
lim
8
lim
30
lim
2
2
3
4
2
2
2
1
2
3
2
3
3

22. 






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
3
4
3
lim
2
2
3
lim
8
4
4
3
lim
8
lim
30
lim
2
2
3
4
2
2
2
1
2
3
2
3
3
(3)3 + (3) – 30 = 0
(2)3 − 2 2 + 8 = 12
(1)2 +3 1 +4
4 1 −8
= 1 + 3 + 4 = 8 = -2
4 – 8 -4
(2)2 +3(2)
2 2 −2
=
4+6
4−2
=
10
2
= 5
(4)3 −3 4 2+4 4 −3
(4)2 −8 4
=
64 −48+16 −3
16−32
=
29
−16

23. EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON DIFERENCIA DE
CUADRADOS O FACTORIZACIÓN

25. 


















9
81
lim
4
8
lim
2
4
lim
1
1
2
lim
2
4
2
2
3
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

26. 


















9
81
lim
4
8
lim
2
4
lim
1
1
2
lim
2
4
2
2
3
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(−1)2+2 −1 +1
−1 +1
=
0
0
; lim
𝑥→−1
𝑥+1 (𝑥+1)
𝑥+1
= 𝑥 + 1 = −1 + 1 = 0
0
0
; lim
𝑥→−2
𝑥−2 (𝑥+2)
𝑥+2
= ( x – 2 ) = (-2 – 2) = - 2
0
0
; lim
𝑥→ 2
𝑥−2 (𝑥2 +2𝑥+4)
(𝑥+2)(𝑥−2)
=
𝑥−2 𝑥+2 𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥−2)
= ( x +2) = ( 2 + 2 ) = 4
0
0
; lim
𝑥→ 2
𝑥−3 𝑥3 + 3𝑥3+9𝑥2+27𝑥+9
(𝑥−3)(𝑥+3)
=
𝑥3 + 3𝑥3+9𝑥2+27𝑥+9
(𝑥+3)
=
8+24+36+54+9
5
=
131
5

27. 
x
lim
x + 1
x - 1
=

x
lim
x + 1
x - 1
=
x
lim
x + 1
x - 1
= + 
x
lim
x + 1
x - 1
= - 

x
lim
x + 1
x - 1
=
x
lim
1 +
1
x
1 -
1
x
= 1
Indet
k
0
Indet


No hay indeterminación
4
2
= 2
Cálculo de límites
𝑐
∞
= 0 ;
𝑐
0
= ∞
0
0
= Indeterm. (factorizar o racionalizar)
∞
∞
= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚.
(𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒)

28. 
x
lim
x2
- 1
x - 1
=

x
lim
x + 1
x - 1
=
x
lim
1 +
1
x
1 -
1
x
= 1
Indet
0
0
Indet


x
lim
(x - 1)(x + 1)
x - 1
= 2
Cálculo de límites (II)

29. 
x
lim
x
1 - 1 - x
= 2
Indet
0
0
x
lim
x(1 + 1 - x)
(1 - 1 - x) (1 + 1 - x)
=
x
lim ( 1 + 1 - x) =

x
lim
x2
+ x
x
=
Indet


x
lim
1 +
1
x
1
= 1

x
lim
x2
+ x
x
=
Indet


x
lim
1 -
1
x
-1
= -1
x
lim
x2
- x
-x
=
Cálculo de límites (III)