probabilidad condicionada

1. Probabilidad 2ª parte

2. Probabilidades
Vamos a estudiar los conceptos de:
Sucesos excluyentes
Sucesos independientes
Empecemos por sucesos excluyentes o mutuamente excluyentes

3. Sucesos mutuamente excluyentes
Excluir significa “dejar fuera”, de manera que dos sucesos
serán excluyentes o mutuamente excluyentes si ellos no tienen
elementos comunes (es decir uno excluye al otro)
Observe cuidadosamente la siguiente urna
Esta urna tiene bolitas rojas, bolitas azules y bolitas verdes.
Supongamos que se elige una bolita al azar, entonces hay tres
tipos de sucesos que son de interés

4. Sucesos mutuamente excluyentes
El suceso “que la bolita sea azul” que lo denotamos por la letra A
El suceso “que la bolita sea roja” que lo denotamos por la letra R
El suceso “que la bolita sea verde” que lo denotamos por la letra V
Observe que ninguno de estos sucesos tienen elementos comunes, de
manera que entre ellos son mutuamente excluyentes.
Podemos calcular la probabilidad de obtener una bolita azul, esto es
5
Pr( )
12
A 

5. Sucesos mutuamente excluyentes
De igual forma podemos calcular la probabilidad de sacar una bolita roja,
esto es
4
Pr( )
12
R 
Y la probabilidad de obtener una bolita verde, que es
3
Pr( )
12
V 
Ahora bien, nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita
roja o una bolita azul?

6. Sucesos mutuamente excluyentes
Es decir, estamos preguntando ¿con que probabilidad puede ocurrir el
suceso R (sacar bolita roja) o A (sacar bolita azul)?
4 5 9
Pr( ) Pr( ) Pr( )
12 12 12
R o A R A
    
Es decir, cuando los sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad
de la ocurrencia de uno de ellos es simplemente la suma de cada una de las
probabilidades

7. Sucesos mutuamente excluyentes
¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja o una bola verde?
Los sucesos bola roja, R, y bola verde, V, son mutuamente excluyentes, de
modo que la probabilidad de que ocurra uno de ellos es
4 3 7
Pr( ) Pr( ) Pr( )
12 12 12
R o V R V
    

8. Veamos ahora el concepto de sucesos independientes...
Nos vamos a apoyar en la urna anterior con las bolitas de color roja,
azul y verde
Pero ahora sacaremos dos bolitas, una tras otra y con reposición.
Esto significa que sacamos la primera bolita, anotamos su color, y la
regresamos a la urna, y luego hacemos la segunda extracción.
Definamos el suceso “la primera bolita extraída fue de color azul, que
llamaremos suceso A1; y definamos el suceso “la segunda bolita extraída
fue de color azul”, que llamaremos A2.

9. Sucesos independientes
Queremos calcular la probabilidad del siguiente suceso “la primera bolita
sea azul y la segunda bolita también sea azul”.
En términos de nuestra notación de sucesos, queremos calcular la
probabilidad de que ocurra el suceso A1 y que ocurra el suceso A2.
Mire cuidadosamente los siguiente cuadritos, el primer cuadro denotará las
formas de obtener una bola cualquiera y el segundo cuadro las formas de
obtener una bola cualquiera de la segunda extracción
12 12 = 144 formas diferentes

10. Sucesos independientes
Ahora vamos a calcular las formas diferentes de obtener una bola azul en
la primera extracción y una bola azul en la segunda extracción:
5 5 = 25 formas diferentes
Luego la probabilidad de obtener dos bolitas azules de dos extracciones con
reposición (con reemplazo) es
25
144

11. Sucesos independientes
Por otro lado, la probabilidad de que en la primera extracción la bolita
sea azul, esto es
5
Pr( 1)
12
A 
Una vez repuesta la bolita, la probabilidad de sacar en la segunda
extracción una bolita azul, esto es
5
Pr( 2)
12
A 

12. Sucesos independientes
De manera que podemos ver que la probabilidad de obtener A1 y A2, es
igual al producto de la probabilidad de A1 por la probabilidad de A2, esto es
Pr( 1 2) Pr( 1)Pr( 2)
A y A A A

Y cuando esto ocurre, se dice que los sucesos A1 y A2 son independientes.
De otra forma A y B dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de
uno en nada altera la ocurrencia del otro.

13. Sucesos independientes
Con la misma urna, nuevamente sacaremos dos bolitas, pero esta vez lo
haremos sin reposición (sin reemplazo).
Esto significa que una vez que hagamos la primera extracción, la bolita no es
devuelta a la urna, o sea que en la segunda extracción tendremos una bolita
menos.
Sea el suceso “la primera bolita es azul”, que denotaremos por A1
Sea el suceso “la segunda bolita es roja”, que denotaremos por R2
Queremos calcular la probabilidad de que la primera bolita sea azul y la
segunda bolita sea roja, ¿cómo la calculamos?

14. Sucesos independientes
Como antes, utilicemos nuestros cuadraditos para saber todos los
posibles resultados de estas dos extracciones sin reposición
12 11 = 132 formas diferentes
Luego, vamos a ver nuestros resultados para que la primera sea azul, y la
segunda sea roja (sin reemplazo)
5 4 = 20
Luego la probabilidad de A1 y R2 es
20
132
(una bolita menos, la que no
fue reemplazada)

15. Sucesos independientes
Con el ejemplo anterior queremos decir que cualquier suceso que dependa de
la primera extracción afectará a cualquier otro suceso que dependa de la
segunda extracción, y por lo tanto ellos no serán independientes (se dice que
son dependientes)
A modo de ejemplo, calcular la probabilidad de que (siempre sin reemplazo)
en la primera extracción salga bolita verde (V1) y en la segunda extracción
salga bolita verde (V2)
3 2 6
12 11 132
 

16. Reglas de probabilidad
• Eventos mutuamente excluyentes
– Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de
uno impide la ocurrencia del otro
– Por ejemplo
• si un bebé es masculino, no puede ser femenino
• si un niño salió positivo para E. histolytica, no puede ser
negativo
– La probabilidad de que ocurran eventos mutuamente
excluyentes, es la probabilidad de que ocurra un evento u
otro y se puede obtener la probabilidad sumando las
probabilidades de cada evento.
– Es la ley aditiva de la probabilidad

17. Reglas de probabilidad
• Ejemplo
– 100 recién nacidos en un maternidad de Celaya
– 55 fueron mujeres y 45 hombres
• La probabilidad de ser mujer fue de 55/100 = 0.55
• La probabilidad de ser hombre fue de 45/100=0.45
• La probabilidad de tener cualquier sexo = 0.55 + 0.45 =
1.00

18. Reglas de probabilidad
• Ejemplo
– 200 niños con prueba para E. histolytica
– 59 dieron resultado positivo
– 151 dieron resultado negativo
• La probabilidad de dar positivo para E. histolytica
fue de 59/200= 0.295
• La probabilidad de dar negativo para E. histolytica
fue de 151/200 = 0.705
• La probabilidad ser positivo o negativo es de 0.295
+ 0.705 = 1.00

19. Reglas de probabilidad
• Eventos independientes
– Dos eventos son independientes si la ocurrencia de un
evento no afecta la ocurrencia del otro.
– Ejemplo
• Si nace un bebé varón, no afecta en que el siguiente sea
mujer.
– La probabilidad de dos eventos independientes es de que
ambos se presenten y se obtiene multiplicando las
probabilidades individuales de cada evento.
– Es la ley multiplicativa de la probabilidad.

20. Reglas de probabilidad
• Ejemplo
– En un banco de sangre se determinaron los grupos sanguíneos:
Grupo n %
0 45 45
A 29 29
B 21 21
AB 5 5
Total 100 100
¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes dos personas
sean del grupo 0? ¿Es mutuamente excluyente o
independiente?

21. Reglas de probabilidad
• El hecho de que la siguiente personas sea
del grupo 0 no impide que la segunda, sea
del grupo 0, por lo tanto es independiente.
– Sus probabilidades individuales, se multiplican:
– 0.45 x 0.45 = 0.2025 = 20.25%

22. Reglas de probabilidad
• Ejemplo
– 100 recién nacidos en un maternidad de Celaya
• 55 fueron mujeres y 45 hombres
• La probabilidad de ser mujer fue de 55/100 = 0.5
• La probabilidad de ser hombre fue de 45/100=0.4
¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos nacimientos sean
hombres?

23. Reglas de probabilidad
• Ejemplo
– Son eventos mutuamente excluyentes, por lo
tanto se suman las probabilidades individuales.
0.45 + 0.45 = 0.9 = 90%

24. Probabilidad condicional

25. Ejemplo 1:
• Si P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 y P(A∩B)=0,18.
Calcular:
• a) P(A|B)
b) P(B|A)
• Solución:
En este problema, simplemente vamos a
reemplazar los datos en la fórmula.
• a) Usamos la fórmula de probabilidad
condicional:

26. • b) Usamos la fórmula de probabilidad
condicional, teniendo en cuenta que vamos
a calcular la probabilidad de que ocurra B,
dado que ha ocurrido A.

27. • Ejemplo 2:
• Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el
chocolate, mientras que al 60% le gusta el
chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a
un amigo que le gusta el chocolate, le guste
la fresa?
• Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un
amigo le guste la fresa, y que a un amigo le
guste el chocolate.

28. • Evento A: que a un amigo le guste de
fresa. P(A) = ?
• Evento B: que a un amigo le guste el
chocolate. P(B) = 60 %.
• Evento A y B: que a un amigo le guste la
fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %.
• Ahora calculamos la probabilidad de que a
un amigo le guste la fresa, dado que le gusta
el chocolate.
La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el
chocolate es del 41,67 %.

29. • Ejemplo 3:
El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales
y el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y
estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber
aprobado también estática?
• Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar
estática.
• Evento A: aprobar resistencia de materiales. P(A) = 76 %.
• Evento B: aprobar estática. P(B) = 45 %.
• Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática. P(A∩B) = 30 %, y es
lo mismo que: P(B∩A) = 30 %
• Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó
resistencia de materiales.
Para Camilo, la probabilidad de aprobar estática, dado que aprobó resistencia
de materiales es de 39,47 %.