CÁLCULO II

1. Cálculo II
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
PLANOS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS INCOMPLETAS

2. Planos y superficies cuádricas incompletas
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3. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Índice
1. Espacio tridimensional............................................................................................................................ 4
2. Ecuación general del plano.................................................................................................................... 6
3. Superficie cuádricas incompletas........................................................................................................ 11

4. Planos y superficies cuádricas incompletas
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1. Espacio tridimensional
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio
tridimensional, y se denota por ℝ3
. Cada terna ordenada (𝑥; 𝑦; 𝑧) se denomina punto del
espacio tridimensional.
1.1 Punto en el espacio
Para localizar el punto (𝑎; 𝑏; 𝑐) se puede empezar en el origen O y moverse 𝑎 unidades
a lo largo del eje x, luego 𝑏 unidades paralelas al eje y y luego 𝑐 unidades paralelas
al eje z.
Por ejemplo, vamos a representar los puntos (−4; 3, ; −5) y (3; −2; −6).
Figura 1.a Figura 1.b
Figura 2.a Figura 2.b

5. Planos y superficies cuádricas incompletas
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1.2 Planos coordenados
A saber:
• Se tienen tres ejes coordenados: Eje 𝑥 , Eje 𝑦 , Eje 𝑧
• Se tienen tres planos coordenados:
Plano 𝑥𝑦 : Formado por los ejes 𝑥 e 𝑦, todos los puntos de este plano tienen 𝑧 = 0,
por ejemplo: 𝐴(3; 4; 0) y 𝐵(3; – 5; 0)
Plano 𝑥𝑧 : Formado por los ejes 𝑥 y 𝑧, todos los puntos de este plano tienen 𝑦 = 0,
por ejemplo: 𝑃(5; 0; 6) y 𝑄(– 3; 0; 4)
Plano 𝑦𝑧 : Formado por los ejes 𝑦 y 𝑧, todos los puntos de este plano tienen 𝑥 = 0,
por ejemplo: 𝑀(0; 7; 6) y 𝑁(0; 2; 5)
• El espacio se divide en 8 octantes (ver figura 3)
• Primer octante: región del espacio tridimensional donde x, y, z positivos
Figura 3
Figura 4.a Figura 4.b
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑧 = 0

6. Planos y superficies cuádricas incompletas
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2. Ecuación general del plano
La ecuación general de un plano es de la forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
Donde: A, B y C son constantes, no todos nulas
Discusión de la ecuación de una superficie
2.1 Cortes con los ejes coordenados
• Con el eje x: Hagamos, 𝑦 = 0 y 𝑧 = 0 → 𝑥 = 𝑥0
• Con el eje y: Hagamos, 𝑥 = 0 y 𝑧 = 0 → 𝑦 = 𝑦0
• Con el eje z: Hagamos, 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0 → 𝑧 = 𝑧0
2.2 Cortes con los planos coordenados (Trazas)
• Con el plano 𝑥𝑦 : 𝑧 = 0
• Con el plano 𝑦𝑧 : 𝑥 = 0
• Con el plano 𝑥𝑧 : 𝑦 = 0
2.3 Secciones planas paralelas a los planos coordenados
• Paralelos a 𝑥𝑦 : 𝑧 = 𝑘.
• Paralelos a 𝑦𝑧 . 𝑥 = 𝑘.
• Paralelos a 𝑥𝑧 : 𝑦 = 𝑘.
Figura 5
Para este caso particular
A, B y C son números
reales positivos y D un
número negativo.

7. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Ejemplo 1.
Bosqueje el gráfico del plano 𝑥 = 5 en el primer octante, teniendo en cuenta los puntos de
corte con los ejes coordenados y las trazas.
Solución.
Puntos de corte:
con el eje x: 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 → 𝑥 = 5 → (5; 0; 0)
con el eje y: 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 → 0 = 5 (no hay solución) → no hay corte
con el eje z: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 0 = 5(no hay solución) → no hay corte
Intersección con los planos coordenados (Trazas)
Traza en el plano xz: 𝑦 = 0 → 𝑥 = 5 (recta en el plano 𝑥𝑧)
Traza en el plano yz: 𝑥 = 0 → 0= 5 (no hay solución) → no hay traza
Traza en el plano xy: 𝑧 = 0 → 𝑥 = 5 (recta en el plano 𝑥𝑦)
2.1 Planos paralelos a los planos coordenados
x
y
z
(5;0;0)

8. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Ejemplo 2.
Bosqueje el gráfico del plano 2𝑥 + 3𝑧 = 6 (considerando 𝑦 ≥ 0), teniendo en cuenta los
puntos de corte con los ejes coordenados y las trazas.
Solución.
Puntos de corte:
con el eje x: 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 → 𝑥 = 3 → (3; 0; 0)
con el eje y: 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 → 0 = 6 (no hay solución) → no hay corte
con el eje z: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 𝑧 = 2 → (0; 0; 2)
Intersección con los planos coordenados (Trazas)
Traza en el plano xz: 𝑦 = 0 → 2𝑥 + 3𝑧 = 6 (recta en el plano 𝑥𝑧)
Traza en el plano yz: 𝑥 = 0 → 𝑧 = 2 (recta en el plano 𝑦𝑧)
Traza en el plano xy: 𝑧 = 0 → 𝑥 = 3 (recta en el plano 𝑥𝑦)
2.2 Planos paralelos a los ejes coordenados

9. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Ejemplo 3.
Bosqueje el gráfico del plano 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12 , en el primer octante teniendo en cuenta
los puntos de corte con los ejes coordenados y las trazas.
Solución.
Puntos de corte:
con el eje x: 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 → 𝑥 = 4 → (4; 0; 0)
con el eje y: 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 → 𝑦 = 3 → (0,3; 0)
con el eje z: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 𝑧 = 6 → (0; 0; 6)
Intersección con los planos coordenados (Trazas)
Traza en el plano xz: 𝑦 = 0 → 3𝑥 + 2𝑧 = 12 (recta en el plano 𝑥𝑧)
Traza en el plano yz: 𝑥 = 0 → 4𝑦 + 2𝑧 = 12 (recta en el plano 𝑦𝑧)
Traza en el plano xy: 𝑧 = 0 → 3𝑥 + 4𝑦 = 12 (recta en el plano 𝑥𝑦)

10. Planos y superficies cuádricas incompletas
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2.3 Planos en su forma general
Donde: A, B y C son constantes, no todos nulas
Nota. Para este caso particular A, B y C son números reales positivos y D un número
negativo.
A𝑥 + B𝑦 + C𝑧 = D

11. Planos y superficies cuádricas incompletas
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3. Superficies cuádricas
Se llama superficie cuadrática al conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen
una ecuación de la forma:
Estudiaremos solo los casos, cuando los coeficientes: D = E = F = 0
Ejemplos:
a) 𝑧 = 3𝑥2
+ 4𝑦2
b) 𝑥2
− 4𝑦2
+ 𝑧2
= 9 c) 𝑥2
+ 𝑧2
= 4
Nota: Toda ecuación de la forma (*) NO representa necesariamente una superficie, por
ejemplo: 𝑥2
+ 2𝑦2
+ 4𝑧2
+ 5 = 0 o 𝑥2
+ 2𝑦2
+ 𝑧2
= 0.
3.1 Superficies cuádricas incompletas (Cilindros)
Un cilindro es una superficie generada por el desplazamiento de una recta llamada
generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta
fija y siempre mantiene contacto con curva plana fija llamada directriz.
Observación: La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de la superficie
cilíndrica
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
+ 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 (∗)

12. Planos y superficies cuádricas incompletas
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3.2 Cilindros particulares
Nota 1: En este curso sólo consideraremos, que la directriz es una curva contenida en
uno de los planos coordenados y las generatrices son paralelas a los ejes coordenados.
A estos cilindros se les conoce como cilindros rectos.
Nota 2: La ecuación de una superficie cilíndrica recta, cuyas generatrices son
perpendiculares al plano coordenado donde está su directriz, carece de la variable no
medida en ese plano coordenado, en consecuencia, se puede demostrar que una
ecuación incompleta representa un cilindro.
Ejemplos:
𝑦 = 𝑥2
𝑦2
+ 𝑧2
= 4
𝑥2
+ 2𝑧2
= 9
𝑧2
− 𝑥2
= 1
Cilindro
parabólico
Cilindro
circular
Cilindro
elíptico
Cilindro
hiperbólico

13. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Ejemplo 4.
Bosqueje el gráfico del cilindro parabólico 𝑧 = 4 − 𝑥2
, (considerando 𝑧 ≥ 0) teniendo en
cuenta los puntos de corte con los ejes coordenados, trazas y alguna sección plana.
Solución.
Puntos de corte:
con el eje x: 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 → 𝑥 = ±2 → (−2,0,0) 𝑦 (−2,0,0)
con el eje y: 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 → 0 = 4(inconsistente) → no hay corte
con el eje z: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 𝑧 = 4 → (0,0,4)
Intersección con los planos coordenados (Trazas)
Traza en el plano xz: 𝑦 = 0 → 𝑧 = 4 − 𝑥2
(parábola en el plano 𝑥𝑧)
Traza en el plano yz: 𝑥 = 0 → 𝑧 = 4 (recta en el plano 𝑦𝑧)
Traza en el plano xy: 𝑧 = 0 → 𝑥 = 2, 𝑥 = −2 (rectas en el plano 𝑥𝑦)
Sección plana paralela al plano xz:
Sección plana para: 𝑦 = 6 → 𝑧 = 4 − 𝑥2
(parábola en el plano 𝑦 = 6)

14. Planos y superficies cuádricas incompletas
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Bibliografía básica
✓ STEWART, James (2013). Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas. México D.F.:
Cengage Learning. https://bit.ly/38qnV2O . A revisar: Capítulo 12 Vectores y geometría del
espacio. Sección 12.1 Sistema tridimensional de coordenadas (Páginas 786 – 791) y sección
12.6 Cilindros y superficies cuádricas (Página 827)
✓ Material multimedia: Gráfica de planos y superficies cuádricas incompletas. Link: Gráfica de
planos y superficies cuádricas incompletas.