Números racionales

FACULTAD DE CIENCIAS
E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA:
ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA BÁSICA CICLO PRE – UCH
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe
www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938
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TEMA: NÚMEROS RACIONALES SEMESTRE: 2016 - I
TURNO: Mañana PABELLÓN: B AULA: 502 B SEMANA: 2 FECHA: 22/02/16
NÚMEROS RACIONALES
El estudiante de Pitágoras
El antiguo matemático griego Pitágoras creía que todos los
números son racionales (se pueden escribir en forma de
fracción), pero uno de sus estudiantes, Hipaso, demostró
que no se puede escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se
cree que usando geometría) y que es por lo tanto irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números
irracionales, porque creía que todos los números tienen valores
perfectos. Como no pudo demostrar que los "números
irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la
borda y se ahogó!
DEFINICIÓN. - Se llama fracción a todo par de números
enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no
sea múltiplo del segundo y éste sea distinto de cero:
Sea la fracción:
b
a
que también se puede representar como par
ordenado (a, b), donde a recibe el nombre de numerador y b
denominador.
Generalizando:
(𝑎, 𝑏)   𝑥 ( − {0})  𝑎    𝑏  ( − {0})
Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al
CERO, porque la división entre cero no está definida.
DEFINICIÓN. - Una fracción es una manera de expresar que
una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes. El
numerador indica el número de partes consideradas y el
denominador el número de partes en que se ha dividido la
cantidad en cuestión. Así 3/10 significa que se están
considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la
cantidad.
1
10
1
10
1
10
3
10
Nota: Con frecuencia, en la práctica, a la cantidad que se divide
se le considera como todo y se la representa con el número 1.
DEFINICIÓN. - Números fraccionarios o fracción, es uno o el
conjunto de varias partes alícuotas del módulo o unidad que no
constituyan un número natural de unidades.
mI
C
R
I
N
Z
Q FRACCIONES

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LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS. - Se
representa una fracción escribiendo el numerador encima del
denominador separados por un trazo horizontal.
Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el
numerador y después el denominador seguido, en general de la
denominación “avos” y por excepción con las denominaciones
medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc.
Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la
fracción
b
a
se leería “a” betésimas o simplemente “a”
PARTIDO por “b”
7
5
⇒ cinco séptimos
4 3
3 0 0
⇒ trescientos, cuarenta y tresavos
n
m
⇒ “m” enésimas
d
c
⇒ “c” d edésimas
 La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama
unidad fraccionaria:
100
1
;
35
1
;
4
1
FRACCIONES INVERSAS. - Dos fracciones se dice que son
entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el
denominador de la otra. Así la fracción inversa
5
3
es
3
5
y la
fracción inversa de
n
m
es
m
n
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. - Simplificar una
fracción, es hallar otra igual a ella de términos menores. Se dice
que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple
expresión, cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando
el numerador y denominador son primos entre sí.
Ejemplo:
Simplificar
7 0
4 2
35
21
70
42

Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la
fracción, pero no se ha reducido a su más simple expresión, ya
que a su vez:
5
3
35
21

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS
I.Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES
MENOR que el denominador.
Ejemplos:
;
41
8
;
73
35
;
11
4
;
3
1
; en general: 1
b
a
  a < b
II. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es
mayor que el denominador.
Ejemplos:
;
3
41
;
7
8
;
2
11
;
5
6
; en general: 1
n
m
  a > b
III. Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo
denominador.
Ejemplos:
;
15
11
;
15
41
;
15
8
;
15
6
IV. Fracciones heterogéneas: Aquella que tienen distinto
denominador.
Ejemplos:
;
13
6
;
71
8
;
5
7
;
35
1
V. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el
numerador y denominador son iguales.
Ejemplos:
;
2
2
;
3
3
; en general = 1
a
a
 a  0
VI. Número mixto: Es la suma de un número entero con una
fracción, tal como
3
1
2 que se expresa como
3
1
2 que se
puede reducir a fracción:
3
7
3
16
3
1
2
3
1
2 



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REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN
DENOMINADOR:
Se halla el M.C.M. de los denominadores y él será el
denominador común, y se multiplica cada numerador por el
cociente de dividir el referido M.C.M. por el denominador
correspondiente: Dar común denominador a las siguientes
fracciones:
12
7
;
7
3
;
6
5
M.C.M. (6; 7; 12) = 84 entonces:
84
49
12
7
;
84
36
7
3
;
84
70
6
5

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN
Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual
denominador al número racional de igual denominador y cuyo
numerador es la suma de los numeradores. Es decir, que:
m
ba
m
b
m
a 

SUSTRACCIÓN
Definición: Definida la adición de dos números racionales,
definiremos la sustracción como la operación inversa, diciendo
que: la sustracción de dos números racionales  y  ( > )
llamadas, respectivamente, minuendo y sustraendo, tienen por
objeto hallar otro número racional  llamada diferencia, tal que
 
Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números
racionales se reduce a un común denominador. Se restan los
numeradores y se pone de denominador el común. Así:
8
15
8
3
8
18
8
3
4
9

MULTIPLICACIÓN
Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen
por objeto, dados dos números racionales  y , llamados
respectivamente, multiplicando y multiplicador hallar otro
número racional  que sea respecto al multiplicando , lo que
el multiplicador  es respecto a la unidad.
Con esta definición dada, no hay contradicción con la
definición dada en números naturales.
a. Ejemplo:
Si el multiplicador fuese fraccionario  x
5
3
=p. el producto
tienen que ser a , lo que
5
3
es de 1, luego:
5
3
p
1
5
3
p


de 
b. Ejemplo:
Consideremos las situaciones siguientes:
Consideremos el siguiente Cuadrado:
Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado:
1
3
1
6
1
2
1
3
de
2
1
de
6
1
3
1
 se escribe
3
1
3
1
2
1

DIVISIÓN
Considerada la división como operación inversa de la
multiplicación, daremos la siguiente definición:
Definición: Dados DOS números racionales,  el dividendo y
 el divisor,   0 y  

 la división de números racionales
tiene por objeto hallar otro número racional  tal que  .  = 
Esta definición está justificada porque no hay contradicción la
definición dada de división en números naturales y además
porque satisface la ley de uniformidad.
Regla General: Para dividir dos números racionales, se
multiplica el dividendo por la inversa del divisor. Así:
10
9
14
9
5
7
9
14
5
7


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MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO DE NÚMEROS RACIONALES
DEFINICIÓN 1.- Se llama máximo común divisor de varios
números racionales, al mayor número racional divisor común
de aquellos.
Corolario 1: El máximo común divisor de varios números
racionales, será la fracción cuyo numerador sea el máximo
común divisor de los numeradores de las fracciones
irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las
expresadas fracciones irreductibles.
M.C.D.
7 0
3
7 )1 4 ;(3 5 ;M .C.M
1 2 )9 ;(6 ;M .C.D
7
1 2
;
1 4
9
;
3 5
6






Corolario 2: Todo número racional divisor común de varios
números racionales, será divisor de su máximo común divisor.
DEFINICIÓN 2.- Se llama mínimo común múltiplo de
números racionales, al menor número racional que es múltiplo
común de todos ellos.
Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados
por fracciones irreductibles, su mínimo común múltiplo será la
fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los
numeradores y el denominador el máximo común divisor de los
denominadores. Así:
M.C.M. =
7
3 6
7 )1 4 ;(3 5 ;M .C.D.
1 2 )9 ;(6 ;M .C.M
7
1 2
;
1 4
9
;
3 5
6






Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios
números racionales, será múltiplo de su mínimo común
múltiplo.
FRACCIÓN COMPLEJA
Definición. - Se llama fracción compleja al cociente indicado
en forma de fracción, de dos números de los cuales uno por lo
menos NO es número natural.
Ejemplo:




















1 7
1
1 1
3
8
1
4
3
7
1
1
3
4
Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a
fracción simple, las operaciones se deben efectuar en este
orden:
1º Multiplicación
2º División
3º Sumas
4º Restas
5º Potenciación y luego radicación
NÚMEROS DECIMALES
Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales
aquellas cuyo denominador es una potencia de 10, es decir, la
unidad seguida de ceros. Ejemplo:
;
1000
8
;
100
65
;
10
157
Así como en las aplicaciones de la aritmética de los números
naturales se prefiere utilizar la numeración decimal; en las de
los números racionales son las fracciones decimales las más
usadas, y por esto, a pesar de que todas las proposiciones que
corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya
estudiadas para las fracciones en general, merece un estudio
especial.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
I. Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de
cifras decimales.
Ejemplos:
375,284; 0,325; 62,0078142
II. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras
decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no
periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen
período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en
forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o
periódicas mixtas:
i. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza
inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplos:
0,173173173 .......; 378,666 .......
Para abreviar la escritura de un número decimal periódico, se
acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período;
también se utiliza una barra o un corchete, así los ejemplos
anteriores se pueden representar:
0,173173173......
378,666 .............
0,173 = 0,173 = 0,[173]
378,6 = 378,6 = 378,[6]
ii. Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una
o varias cifras, después de la coma decimal, la parte que no

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constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta.
Ejemplos:
0,6717171 .............
31,00417417 ........
= 0,671
= 31,00417
III. Ilimitadas no periódicas. - Son aquellas donde las cifras
salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada. No se
pueden obtener dividiendo dos números enteros. Pueden ser:
limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no
periódicas trascendentes.
i. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el
que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no
tienen raíz exacta. Ejemplo:
2 = 1,4142136...............
3
2 = 1,2599210...............
3 = 1,7320506...............
3
3 = 1,4422496...............
ii. Número decimal ilimitado no periódico trascendente:
Son ciertas constantes matemáticas como:
 = 3,1415926535897932.....
e = 2,718281.........................
REDUCCION DE FRACCIONES ORDINARIAS A
FRACCIONES DECIMALES
Se reduce el quebrado a su mínima expresión y:
1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2
ó 5 ó los dos a la vez dará origen a una fracción decimal
EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas
cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de
los factores primos 2 ó 5. Así:
4 0 06
7
2 0 01 9
2 1
 como 6 400 = 28
x 52
como el denominador
posee sólo los factores primos 2 y 5, dará origen una fracción
exacta o limitada y como el mayor exponente de los factores
primos es 8, la parte decimal tendrá 8 cifras, efectivamente:
0 0 1 0 9 3 7 5,0
4 0 06
7

2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2
ni 5, dará origen a una fracción decimal periódica pura.
Para saber cuántas cifras tendrá el periodo se procede de la
siguiente forma:
i. Se averigua cuál es el menor número formado por cifras
nueve que sea divisible por los factores primos del
denominador; la cantidad de “nueves” indica la cantidad de
cifras que tendrá el período. Para su resolución ayuda el
siguiente cuadro:
9= 32
99= 32
x 11
999= 33
x 37
9 999= 32
x 11 x 101
99 999= 32
x 41 x 271
999 999= 33
x 7 x 11 x 13 x 37
9 999 999= 32
x 239 x 4649
99 999 999= 32
x 11 x 101 x 73 x 137
Ejemplo
3 3
1
¿Cuántas cifras tendrá el período?
Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves
que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras.
ii. En la forma general, se descompone (después de hacerla
irreductible), el denominador en sus factores primos y se
averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado; calculando
después el M.C.M. de las cifras que nos dan los diversos
factores. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves
tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves, como
se deduce en el cuadro anterior.
Ejemplo
2 3 1
1
¿Cuántas cifras tendrá el período?
como 9 contiene a 3 3 nos da 1
231 3 7 11 como 999 999 contiene a 7 7 nos da 6
como 99 contiene a 11 11 nos da 2
M.C.M. (1, 6, 2) 6
 
 
    
 
 

El período tendrá 6 cifras. En efecto:
1
= 0,004329
231
iii. Si el denominador del quebrado irreductible, posee el factor
primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros
factores primos, dará origen a una fracción decimal periódica
mixta, donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo
indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó
5 (primer caso) y para determinar cuántas cifras tendrá el
periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente.
Ejemplo:
6 3 0
6 2 9

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Como: 630 = 2 x 32
x 5 x 7
Para la parte no periódica (exacta):
2 x 5 . . . exponente mayor = 1
66 )(1 ;M.C.M.
6d an o s7
1d an o s3
el p erío d oPara
2









 La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no periódica
y 6 en el período. Efectivamente:
629
= 0.9984126
630
Ejemplo:
2 2 5 5
2
Como: 2 255 = 5 x 11 x 41
Para la parte exacta (no periódica): 51
... nos da una cifra
Para la parte periódica






cifrascin cod an o s4 1
cifrasd o sd an o s1 1
M.C.M. (2; 5) = 10
 La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período:
2
= 0.00088691796
2255
Efectivamente:
Propiedad: La última cifra del período de la decimal periódica
puro equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador
es primo con 10, será igual o distinta a la última de la parte
entera, según respectivamente, que el numerador de la ordinaria
irreductible termine o no termine en cero.
Así:
30
4,285714
7
 es periódica pura, como el numerador
30 termina en cero, las ultimas cifras del periodo y de la parte
entera son distintas (respectivamente 2 y 1).
REDUCCIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A
ORDINARIA
DEFINICIÓN. - Reducir una fracción decimal a ordinaria, es
hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal, nos da la
fracción decimal propuesta.
A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se
le llama generatriz.
Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal
limitada, tiene por numerador el número natural que se forma
prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y
por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tiene la fracción decimal”.
Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción
decimal, pues si:
p
ci frasP"" 1 0
Eab c.....
ab c.......E.

   comprendidos en este caso aquel que E
sea cero y aquellos en que E tenga más de una cifra.
Observación: La generatriz obtenida
Pp
52
Eab c.....
x

puede o no ser
irreductible. En cualquiera de los dos casos como su
denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla
irreductible. Nunca se introducen factores nuevos, se puede
asegurar comprobando lo dicho por el Teorema
1. Ejemplos: Hallar las generatrices de:
0,2g =
1 0
2
3,125g =
1 0 0 0
3 1 2 5
825,0424g =
0 0 01 0
8 2 5 0 4 2 4
Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por
numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera,
del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la
parte entera el período, y por denominador, un número formado
de tantas cifras 9 como cifras tienen el período.
Sea la fracción decimal periódica pura:
" "
, ......
p cifras
E abc l donde E es la parte entera se “g” la
fracción generatriz:
 
" "
(1) , ...... 10
2 10 , ..... ........
p
p cifras
p
g E abc l multiplicando ambos miembros por
g E abc labc l


(2) – (1)
10P
g – g = E-ab c......E 
g (10P
- 1) = E-ab c......E 
g


P
)99 9 9( = E-ab c......E 
g =


P
9.......9 9 9
E-ab c......E
lo que demuestra el teorema.

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Ejemplos: Hallar las generatrices de:
8,252 =
8252-8 8244
999 999
=
35, 6

=
9
321
9
35356


0,351 =
351-0 351
999 999
=
Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta,
tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se
obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de
la parte no periódica y las del período y el número también
natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera
la parte no periódica, y por denominador un número formado
de tantas cifras 9 como cifras tiene el período, seguido de tantos
ceros como cifras tiene la parte no periódica”.
Sea la fracción decimal periódica mixta:
E, m..................... n abc...........................
"q" cifras "p" cifras
Sea “g” su generatriz:
g = E,m..............n abc.....................
"q" cifras "p" cifras
........................ (1)
Al multiplicar ambos miembros por: 10q
Se obtiene:
10 g = E,m..............n, abc..................... ........................ (2)
q
La expresión (1) por 10p+q
:
10 . g = E,m....n abc.... abc.... ........................ (3)
p+ q

A la expresión (3) le restamos la (2) y como tiene la misma
parte decimal, ésta se elimina obteniéndose:
Em....nab c....Em....ng1 0g1 0 qqp

 10q
g (10p
- 1) =
Em....nab c....Em....n  10q
g
g =


qp
0 0.......0 09.......9 9 9 9
Em....n-ab c....Em....n
Lo que demuestra el teorema.
EJERCICIOS 01
01. ¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua
mineral es igual a a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si
tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda
mi agua mineral habré tomado?
a) 3/10 b) 3/7 c) 4/7 d) 7/10 e) 10/3
02.Hallar una fracción equivalente a 0.375 tal que el producto
de sus términos sea 384. dar como respuesta la diferencia entre
el denominador y el numerador de dicha fracción.
a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16
03. Hallar las fracciones equivalentes a: 95/209, tales que la
suma de sus términos sea divisible por 3 y por 8; además, la
diferencia de esos mismos términos divisible por 7. ¿Cuál es la
fracción cuyos términos son los menores posibles? Dar como
respuesta el denominador
a) 231 b) 147 c) 77 d) 63 e) N.a
04. El denominador de una fracción excede en 5 unidades a su
numerador. Si al numerador le quitamos una unidad, el
quebrado resultante es 2/3. ¿Cuál es el numerador del quebrado
original?
a) 17 b) 13 c) 11 d) 19 e) 18
05. Un número racional irreductible
q
p
x  tiene las siguientes
propiedades:
a)
5
4
5
3
x
b) Si se divide el intervalo [3/5; 4/5], en cinco partes iguales, el
punto x está en el punto medio del tercer intervalo.
Calcular: p + q
a) 5 b) 12 c) 43 d) 25 e) 49
06. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29, son
tales que sus términos son números consecutivos?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
07. Hallar la suma de los valores enteros de K, para que E
también se entera: E =
1
5


K
K
a) 12 b) 8 c) 9 d) 16 e) 18
08. El MCD del numerador y denominador de una fracción
equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta fracción?
a) 180/234 b) 52/65 c) 26/117
d) 65/117 e) 26/39
09. Martín puede hacer una obra en 30hrs. Y César puede hacer
la misma obra en 45hrs. Si los dos trabajan juntos a razón de 6
horas diarias. ¿En cuántos días harán dicha obra?
a) 5 días b) 3 días c) 4 días
d) 1 día e) 6 días
10. En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua. Se
consume 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos lt
de agua hay en la mezcla final?
a) 9 b) 6lt c) 3lt d) 4lt e) 8lt
11. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636...... existen,
tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su
denominador un número de 3 cifras?
a) 17 b) 23 c) 29 d) 39 e) 43
12. ¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días; ¿B y C
pueden en 12 días en hacer la misma obra? A y C en 9 ¿Cuánto
demorarían juntos en hacer una obra?

E INGENIERÍA
Página 8 de 10
a) 3 días b) 4 días c) 3 1/3 días
d) 3 1/2 días e) 4,5 días
13. al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se
eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó.
Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro.
¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar?
a) 27mts b) 18mts c) 54mts
d) 9mts e) 81mts
14. Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/. 300, luego ganara
4/5 de lo que tengo más S/.100 y finalmente perdiera la mitad
del resto, entonces me quedaría S/. 2300. ¿Cuánto tengo?
a) S/.2600 b) S/.3700 c) S/.4200
d) S/.4900 e) S/.5000
15. Hallar el valor de “a”, si:
5 5
2 a
=0,a36363636...........
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 3
16. Hallar: a +b Si:
311
ba
 =0,969696............
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
17. Efectuar: T =


















































n
n
1
1.
4
1
1.
3
1
1.
2
1
1
1
1
4
1
1.
3
1
1.
2
1
1 
a) n(n+1) b)
2
1n
c)
2
n
d)
n
1
e)
2
)1( nn
18.Si 0, 3aa - 1 00 0.0 =0. a Hallar a.
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6
19. Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto
periódico puro. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período?
a) 56 b) 46 c) 26 d) 06 e) 16
20. Hallar N. sabiendo que:
aa
N
53
es equivalente a 13/17.
a) 2886 b) 2860 c) 2847
d) 2873 e) N.a.
EJERCICIOS 02
01. Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya
distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo.
a) 11/52 b) 19/52 c) 49/104
d) 15/26 e) 9/13
02. El denominador de una fracción excede al numerador de
una unidad. Si se agrega a ambos términos de la fracción una
unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es
la fracción original?
a) 3/4 b) 4/5 c) 5/6 d) 6/7 e) 7/8
03. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su
dinero, vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y
en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿Qué fracción
del dinero que tenía originalmente le ha quedado?
a) 23/105 b) 4/35 c) 22/35
d) 13/105 e) 4/105
04. Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días; B
y C lo harían en 12 días; A y C en 15 días. ¿En cuánto tiempo
harán la obra los tres juntos?
d) 8 días e) 9 días
05. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera
en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se
empleó
4
1
de la primera brigada.
3
1
de la segunda y
5
3
de la
tercera. ¿En cuánto tiempo hizo la zanja?
a)7,8 días b) 9 días c) 10 días
d) 11,2 días e) 13 días
06. Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale
a los 3/5 de lo que falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá
empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12
horas?
a) 4 hrs. b) 7 hrs. c) 9hrs.
d) 5hrs. e) 3hrs.
07. El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done
se la deja caer. Determinar el espacio total recorrido hasta
detenerse, si se le deja caer inicialmente desde 17mts. De altura.
a) 85m. b) 102m. c) 93m.
d) 51m. e) 60m.
08. Sabiendo que:
 yzw
xy
,0
2 9
Hallar: x + y + z + w
a) 21 b) 22 c) 19 d) 20 e) 18
09. Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado
por la fracción 17/83. dar la suma de sus cifras.
a) 5 b) 7 c) 4 d) 8 e) 3
10. Hallar a + b, sabiendo que:

 8 17
1 15
ba
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

E INGENIERÍA
Página 9 de 10
TAREA DOMICILIARIA
01. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le
queda. Si ha perdido en total $12. ¿Cuánto tenía el principio?
a) $108 b) $120 c) $132
d) $144 e) $54
02. Sebastián llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la
película; 6 minutos después llega Shiro, y sólo ve los 4/5. si la
película empezó a las 16:00 horas. ¿A qué hora termina?
a) 17:20 b) 17:30 c) 18:30 d)
18:20 e) N.a.
03. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacan
20 000 lt. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos lts falta
para llenarla?
a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts
d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts
04. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote
que da. Si se le deja caer desde un metro de altura. ¿Qué altura
alcanzará después del tercer rebote?
a) 51,20cm b) 21,60cm c) 36,00cm
d) 12,96cm e) 6,40cm
05. Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre, queda 1/7
de él más 9,5. ¿Cuál era la longitud original del rollo?
a) 33 b) 20,5 c) 32,5 d) 21 e) N.a.
06. Marcelo compra lapiceros, la mitad a 5 por S/.6 y la otra
mitad a 6 por S/.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3
por S/.5 y las demás a 4 por S/.7. ¿Cuántos lapiceros habrá
vendido si se sabe que ganó S/. 930?
a) 900 b) 180 c) 2400 d) 3600 e) N.a.
07. Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. Si
han reunido respectivamente los 5/24, los 3/10 y la quinta parte
de dicha suma. ¿qué fracción falta todavía reunir?
a) 11/24 b) 17/24 c) 7/24
d) 13/24 e) 5/24
08. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gastó
la quinta parte; el segundo día gasto 1/8 del resto; el tercer día
los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y
aún le quedó S/.150. ¿Cuál fue la cantidad entregada?
a) S/.500 b) S/.750 c) S/.360
d) S/.450 e) S/.900
09. Sebastián demora 6 días en hacer una obra y Shiro demora
12 días en hacer la misma obra. ¿Cuánto demorarían junto en
hacer una obra?
d) 2 días e) 4/3 días
10. ¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado, si se
resta a sus 2 términos, la mitad de su numerador? Expresarlo en
forma de fracción decimal.
a) 0,8 b) 3,0 c) 0,5 d) 2,5 e) 1,5
11. Hallar la suma de los términos de una fracción, tal que si se
le suma su inversa se obtiene: 41/20.
a) 5 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10
12. Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3
de la longitud total del tubo, la segunda parte es ¼ y la tercera
parte es 2/7 de la longitud total del tubo. Si la cuarta parte mide
11/14 de metro, ¿Cuál es la longitud del tubo?
a) 28mts b) 6mts c) 12mts
d) 5mts e) 7mts
13. El producto del numerador por el denominador de un
quebrado es 525114. ¿Cuál es dicho quebrado, si al
simplificarlo se obtiene 14/31?
a) 151/344 b) 77/688 c) 154/341
d) 182/403 e) 217/242
14. Al tesorero de una sección de 5to. Grado le falta 1/9 del
dinero que se le confió. ¿Qué parte de los que le queda restituirá
lo perdido?
a) 1/8 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/7 e) 1/9
15. Si:
a b
1
=0,037037037......... Hallar: “a + b”
a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9
16. Si .)5(.0
11
xx
A
 Hallar A
a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
17. Si 4.0
3 7
a b
n n
 Hallar: a + b
a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) 2
17. Calcula las siguientes expresiones:
a. 
















6
1
23
4
1
2
9
3
5
3
3
b. 

















 

3
27
6
3
1
31
c.     
232
641510384:16
d.     
332
27,08,03,0

E INGENIERÍA
Página 10 de 10
e. 

2,0:8,5
2,1:6,35,28,0
f. 





 1
2
1
8
1
:
12
3
:
6
2
g. 








3
2
5
13
31
24
7
8
1
5
3
h. 




6
1
2
3
7
3
5
8
:
7
2
4
3
5
1
3
2
i.
1 1
2 3
1 21
1 1
1 1
1 1
1 1
4 3

 
 
 
j.
23
5
34
1 1
6 12 3
1
6 8
4


 
  
 
k.
7 1 3 4
1
8 4 2 9
1 1 1 7
2 1
2 10 14 5
  
  
l.
3 1 7 1
3
5 8 24 13
2
5
3
 
   
 

m.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3






BIBIOGRAFIA:
ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003) Compendio
académico de matemática Editor: Lumbreras Lima
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2008)
Aritmética Análisis del número y sus aplicaciones Edición: 3a
ed. Editor: Instituto de Ciencias y Humanidades Lima
REFERENCIA:
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/
www.jacobiperu.com

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