Razonamiento matematico, curso de nivelación para ingresantes a la Facultad.

1. Curso de Razonamiento
matemático
Tema: Planteo de
Ecuaciones

2. El Arte de Plantear una Ecuación
Un problema muy remoto que se solían
plantear los juristas romanos decía.
“una viuda estaba obligada a repartirse con el
hijo que debía nacer una herencia de 3500
monedas que le dejo su marido. Si nacía una
niña, la madre, de acuerdo con las leyes
romanas, debería recibir el doble de la hija.

3. • Si nacía un niño, la madre recibía la mitad
de la parte del hijo. Pero nacieron
mellizos: un niño y una niña”
•

4. • Solución:
• Observa el siguiente esquema:
• Niña Mama Niño
• + + = 3500
• Recibe el Recibe el doble
• doble de la niña de la mama
• Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes
nos resulta S/. 500 cada parte

5. • Por lo tanto el reparto debe efectuarse del
siguiente modo:
• Niña S/ 500
• Mama S/ 1000
• Niño S/ 2000
• Como podemos observar, para resolver el
problema, luego de interpretar
adecuadamente el texto, hemos ido
transformando las condiciones de una
igualdad que bien pudo haberse incluido
variables para originar una ecuación.

6. • Niña Mama Niño
• X + 2X + 4X = 3500
• 7X = 3500
• X = 500

7. Traducción de ciertos enunciados dados en
forma verbal a su forma simbólica matemática
• Enunciado Expresión Matemática
(Forma Verbal) (Forma Simbólica)
• La suma de dos números (X) + (X+1) + 3
Consecutivos mas 3
• Yo tengo S/ 20 mas que tu Yo : 20 + X Tu: X
• El cuadrado de la suma de (X + Y)2
dos números X e Y
• La suma de los cuadrados X2 + Y2
de dos números X e Y
• El cuádruplo de lo que tengo 4Y + 20 Tengo: Y
Aumentado en 20

8. • Enunciado Expresión Matemática
(Forma Verbal) (Forma Simbólica)
• El cuádruplo, de lo que tengo 4(X + 20) tengo X
aumentado en 20
• Yo tengo S/ 40 menos que tu Y = X – 40 yo= x-40
o también se dice tu tienes tu= X
S/ 40 mas que yo
• A excede a B en 4 lo cual se
puede enunciar Como: el exceso A – B = 4 A = X + 4
de A sobre B es 4 o la diferencia B = X
entre A y B es 4

9. EN CONCLUSIÓN
• Ahora podemos concluir que en líneas
generales plantear una ecuación consiste
básicamente en realizar la tarea que
indica el siguiente esquema:
• Forma Verbal Forma Simbólica
Enunciado Traducción Lenguaje Matemático

10. Ejercicios Aplicativos
• 1) Un número es tal que, su doble
aumentado en 23, resulta igual a 71 hallar
dicho número:
• A) 48 B) 36 C) 24 D) 12 E) 9
• Solución: Sea el número: x
2x + 23 = 71 2x = 71 – 23 2x = 48
Por lo tanto el Número es X = 24

11. • 2) Una cantidad es tal que su triple,
aumentado en 4 equivale al doble de
dicha cantidad aumentada en 6 hallar el
quíntuplo de dicha cantidad:
• A) 56 B) 80 C) 60 D) 40 E) 20
• Solución:
• Sea la cantidad desconocida: B
• 3B + 4 = 2(B + 6) B = 8
• Entonces el quíntuplo será 5B 5x8 = 40

12. • 3) Carmen compra 3 kilos de manzana. Observa
que si consume 7; el doble de la cantidad de
manzanas que quedan es igual a la cantidad de
manzanas que había inicialmente más 1.
cuántas manzanas había en los 3 kilos.
• A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 26
• Solución: sea el Número de manzanas: M
• Si consume 7 quedan (M – 7)
• El doble de lo queda 2(M - 7)
• Entonces: 2 (M - 7) = (M + 1) 2M-14 = M + 1
• M = 15

13. • 4) En un edificio de 3 pisos hay en total 30
departamentos en el segundo piso hay 2
departamentos más que en el primero y
en el tercer piso hay el doble del número
de departamentos que hay en el segundo.
Indicar el número de departamentos que
hay en el primer piso:
• A) 6 B) 8 C) 10 D) 16 E) 12
• Solución:

14. • Solución:
• Sea el número de departamentos del 1º piso: D
• En el segundo piso: D + 2
• En el tercer Piso: 2(D + 2)
• como el total de departamentos es 30
• Entonces: D + D + 2 + 2 (D + 2) = 30
• 4D = 30 – 6
• D = 24/4
• D = 6
• Por lo tanto en el 1º piso hay 6 departamentos.

15. • 5) En un examen bimestral de matemática
de 20 preguntas, un alumno contesta
todas ellas obteniendo 40 puntos si una
pregunta bien contestada vale 4 puntos y
una incorrecta vale (-1) ¿Cuántas
preguntas contesto correctamente?
• A) 10 B) 11 C) 13 D) 12 E) 6
• Solución:

16. • Solución:
• Sea “x” la cantidad de preguntas contestadas
correctamente puntaje obtenido = 4x
• Si 20 son todas las preguntas, entonces (20-x)
expresa la cantidad de preguntas mal contestadas.
• Puntaje obtenido = (-1)(20-x).
• La suma de ambos puntajes es 40 entonces
resolviendo tenemos:
• 4x + (-1)(20-x) = 40
• 5x = 60
• x = 12
• el alumno contesto correctamente 12 Preguntas

17. • 6) Se debe repartir 60 canicas entre Juan y Ana,
de modo que a Juan le corresponda el doble de
lo que le corresponde a Ana. Indicar el número
de canicas que le corresponde a Ana.
• A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
• Solución:
• Sea el número de canicas de Juan x
• Entonces el número de canicas de Ana es 60–x
• A Juan le corresponde el doble de Ana
• x = 2(60-x) 3x = 120 x = 40
• a Juan le corresponde 40 canicas

18. • 7) Una persona tiene S/ 20000 y otra S/
7500 cada una ahorra anualmente S/ 500
¿dentro de cuántos años la fortuna de la
primera será el doble de la segunda?
• A) 6 años
• B) 8 años
• C) 10 años
• D) 20 años
• E) 15 años

19. • Solución:
• Sea “x” el número de años que ahorran cada
persona. Ahorro total de cada persona = 500X
• Capital con ahorro de la primera persona es
igual = 20000 + 500X
• Capital con ahorro de la segunda persona es
igual = 7500 + 500X del enunciado:
• 20000 + 500X = 2 (7500 + 500X)
• 1000X – 500X = 20000 – 1500
• 500X = 5000
• X = 5000/500
• X = 10 años

20. • 8) Encontrar un número tal que
dividiéndolo por 10 y a este cociente
dividiéndolo por 3, la suma de estos
cocientes es 600
• A) 450
• B) 3500
• C) 40000
• D) 4500
• E) 5000

21. • Solución:
• Sea el número X
• Dividido por 10 X/10 = cociente
• Al cociente X/10 lo dividimos por 3
X/10 entonces X
3 30
x + x = 600 3X + X = 600(30)
10 30 4X = 600(30)
X = 4500
1 150

22. • 9) Juan le dice a Pedro: dame S/ 18000 y
así tendré doble dinero que tú y Pedro le
contesta, más justo es que tú me des S/
15000 y así tendremos los dos iguales
cantidades. ¿Cuánto tenia Pedro?
• A) S/ 48000
• B) S/ 114000
• C) S/ 84000
• D) S/ 96000
• E) S/ 10000

23. • Solución:
• Sea X: dinero que tenía Juan
• y: dinero que tenía Pedro
• Del enunciado: Juan le dice a Pedro dame S/
18000 y así tendré doble dinero que tú
• X + 18000 = 2( Y – 18000)
• X = 2Y – 36000 – 18000
• X = 2Y – 54000 (I)
• Pedro le contesta, más justo es que tú me des
S/ 15000 y así tendremos los dos igual cantidad
• (Y - 18000) + 15000 = (X + 18000) – 15000
• Y – 3000 = X + 3000 X = Y - 6000 (II)

24. • Igualamos (I) y (II)
• X = 2Y – 54000 (I) X = Y - 6000 (II)
2Y – 54000 = Y – 6000
2Y – Y = -6000 + 54000
Y = 48000 X = 48000 - 6000
X = 42000
Entonces Pedro Y = 48000 soles
Juan X = 42000 soles

25. • 10) Hallar un número cuyo cuadrado,
disminuido en 119 es igual a 10 veces el
exceso del número con respecto a 8
• A) 13
• B) 10
• C) 7
• D) 3
• E) 5

26. • Solución:
• Sea el número pedido: X
• el cuadrado del número = X2
• Luego, planteamos la ecuación según el
enunciado del problema:
• X2 – 119 = 10(X – 8) X2 – 10X – 39 = 0
• X2 – 119 = 10X – 80 x -13 = 3x
• X2 – 10X = -80 + 119 x 3=-13x
• X2 – 10X = 39 -10x
• X2 – 10X – 39 = 0 (x-13) = 0 (x+3) = 0
• X = 13 X = -3
X = 13

27. PROBLEMAS RESUELTOS
• 1) En una fiesta, la relación de mujeres y
hombres es de 3 a 4 En un momento
dado se retiran 6 damas y llegan 3
hombres con lo que la relación es ahora
de 3 a 5. Indique cuantas mujeres deben
llegar para que la relación sea de 1 a1
• A) 22 B) 44 C) 20 D) 24 E) 21

28. • Solución: Mujeres Hombres
• Antes 3n 4n
• -6 +3
• Ahora 3n-6 4n+3
• Luego 3n-6 = 3 15n-30 = 12n+9 n= 13
• 4n+3 5
• Entonces ahora hay 33 mujeres y 55 hombres
entonces deben llegar X mujeres para que la
relación sea 1 a 1. Cuando dos cantidades
están en relación 1 a1 significa que deben ser
iguales 33 + x = 55 x = 22
• Respuesta: A deben llegar 22 mujeres.

29. • 2) Si subo una escalera de 4 en 4 escalones,
doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5
escalones, ¿Cuántos escalones tiene la
escalera?
• A) 55
• B) 60
• C) 65
• D) 70
• E) 75

30. • Solución:
• Sea x el número de escalones de la escalera
• esc 4 esc 5
• esc4 esc 5
•
• x escalones x escalones
• # de pasos = x/4 # de pasos = x/5
• En el primer caso, se dieron 3 pasos más que
en el segundo caso, por lo tanto.
• x - x = 3 5x – 4x = 60 x = 60
• 4 5
• La escalera tiene 60 escalones.

31. • 3) Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros,
gasto S/. 44; pero si compro 7 lapiceros y
3 cuadernos, gasto S/. 36 ¿Cuánto cuesta
1 cuaderno y cuanto 1 lapicero?
• A) S/.4 y S/.3
• B) S/.2 y S/.5
• C) S/.5 y S/.3
• D) S/.3 y S/.5
• E) S/.6 y S/.4

32. • Solución: costo de 1 cuaderno : S/ C
• costo de 1 lapicero : S/ L
• 7 C + 3L = 44 (A) 3 7 C + 3L = 44
• 3 C + 7L = 36 (B) -7 3 C + 7L = 36
• 21C + 9L = 132
• -21C – 49L = -252
• - 40L = -120
• L = 3
• 3C + 7(3) = 36 3C = 36 -21 C = 15/3 C = 5
Por lo tanto un lapicero cuesta S/.3 y y un
cuaderno cuesta S/.5

33. • 4) Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10 g cada una
y otro cajón con 54 manzanas de 25 g cada una.
¿Cuántas manzanas deben intercambiarse para que,
sin variar el número de manzanas de cada cajón,
ambos adquieran el mismo peso?
• A) 15
• B) 16
• C) 17
• D) 18
• E) 19

34. • Solución: supongamos que intercambiamos x
manzanas.
• 84 manzanas c/u 10g 54 manzanas c/u 25g
• 1ra caja peso 840g 2da caja peso 1350g
• Por una manzana que intercambiamos de cada caja, la
que sale de la 1ra. Caja pesa 10g y la que sale de la
2da pesa 25g, Entonces la 1ra caja gana 15g y la 2da
pierde 15g Entonces ambas cajas tendrán el mismo
peso
• Es decir: 840 + 15x = 1350 – 15x 30x = 510
• Por lo tanto x = 17 manzanas

35. • 5) Lo que tu ganas y lo que yo gano suman S/.
600. Si tu ganas S/. 80 más y yo S/. 80 menos,
tendríamos las misma cantidad de dinero.
¿Cuánto tenemos cada uno?
• A) 380 y 220
• B) 390 y 220
• C) 280 y 200
• D) 380 y 210
• E) 280 y 220

36. • Solución:
• de los dos datos podemos plantear lo siguiente:
• Tu + Yo = 600
• +80 -80
• Entonces de la condición final retrocedemos así:
• Tu + Yo
• + 80 -80
• = (La suma de ambos es 600)
• Estas cantidades serian iguales
• Yo tengo S/. 380 y Tu tienes S/. 220
300
300
380
220

37. • 6) El Papá de José acude al hipódromo con
S/.4300 y cuando ya ha perdido S/. 700 más de
lo que no ha perdido, apuesta lo que queda y lo
triplica. ¿Gano o perdió?¿Cuánto?
• A) 1200 soles
• B) 1300 soles
• C) 1400 soles
• D) 1100 soles
• E) 1050 soles

38. • Solución:
• Al inicio tenia S/. 4300
• Dinero S/. 4300
•
• 2x + 700 = 4300 x = 1800
• Entonces, le queda S/. 1800
• Luego apuesta lo que le queda y lo triplica
• 3(1800) = 5400 ahora tiene 5400
• Por lo tanto: Gano 5400 – 4300 = 1100 soles
No ha perdido: x Ha perdido: x + 700

39. • 7) Un comerciante compra carteras al precio de
75 soles cada una y además le regalan 4 por
cada 19 que compra. Si se recibió en total 391
carteras, ¿cuál fue la inversión del comerciante?
• A) S/: 24225
• B) S/: 24220
• C) S/: 24235
• D) S/: 24230
• E) S/: 24245

40. • Solución:
• Compra Le regalan Recibe
• 19 + 4 = 23 x
• 391 Recibió en Total
• Compra Le regala Recibe
• 19 + 4 = 23
• x17 x17 x17
• + =
• Entonces el número de carteras que compro es
323 por dato el costo de cada cartera es S/.75
• 323 x 75 = S/. 24225
17
323 391
68

41. • 8) Halle dos números consecutivos cuya
suma es igual a la cuarta parte del primero
mas los cinco tercios del segundo. Dé
como respuesta el consecutivo del mayor
de dichos números.
• A) 7
• B) 8
• C) 9
• D) 11
• E) 10

42. • Solución:
• Sean los números: n y (n + 1)
• Luego, del enunciado planteamos:
• n + (n+1) = 1(n) + 5 (n+1) n = 8
• 4 3
• los números son: 8 y 9
• Por lo tanto el consecutivo del mayor es 10
• Respuesta: E
10

43. • 9) En una granja se observa 40 animales y 100
patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la
diferencia del número de cada especie?
• A) 10
• B) 20
• C) 30
• D) 40
• E) 50
• Solución:

44. • Solución:
• Sea el número cerdos: x entonces como el total
de animales son 40, el número de gallinas será
40 – x
• El número de patas es: 4(x) + 2(40 - x) = 100
• 4x +80 – 2x = 100 x = 10
• Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas
• Nos piden la diferencia de estos números
• Es decir: 30 – 10 = 20
• Respuesta: B
20

45. • El problema anterior
lo podemos
esquematizar en el
siguiente cuadro:
• Total de patas:
• 4x+80-2x=100 x=10
• Entonces hay 10
cerdos y 30 gallinas
• Nos piden:
• 30-10 = 20
cerdos gallinas
# animales x 40 - x
# patas 4x 80 – 2x
20

46. • 10) Tengo 56 soles entre monedas de 10 y
2 soles. Si el número de monedas de 10
excede en 2 al número de monedas de 2
soles, halle la cantidad de monedas que
tengo:
• A) 8 monedas
• B) 10 monedas
• C) 12 monedas
• D) 14 monedas
• E) 16 monedas

47. • Solución:
• Sea el número de
monedas de 2 soles igual
a x, entonces
• Tengo 56 soles
• 10(x+2) + 2x = 56
• 10x+ 20 + 2x = 56
• x = 3
• Luego:
• # monedas de S/.10 = 5
• # monedas de S/.2 = 3
• Por lo tanto tengo:
• 5 + 3 = 8 monedas.
Monedas
de S/.10
Monedas
de S/. 2
# monedas X + 2 X
Valor en
soles
10(X+2) 2(x)
8

48. • 11) Un carpintero vendió 3 sillas más que
mesas, pero tanto en las sillas como en las
mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos artículos
vendió, si las mesas las vende a S/. 360 más
que las sillas y recaudo S/. 9600 en total?
• A) 9 Artículos
• B) 10 Artículos
• C) 11 Artículos
• D) 12 Artículos
• E) 13 Artículos

49. • Solución:
• Sea el # de mesas: x entonces el número de
sillas es igual x + 3. De la recaudación total que
es 9600 soles, a las sillas le corresponde 4800
soles y a las mesas también 4800 soles, esto
es, según el dato del problema.
• Cada mesa lo vendió en 4800/x soles
• Cada silla lo vendió en 4800/x+3 soles
• Por dato cada mesa lo vendió a 360 soles mas
que cada silla. Esto significa que la diferencia de
precios es de 360 soles.

50. • Entonces planteamos la siguiente ecuación:
• 4800 - 4800 = 3600
• x x+3
• Simplificando:
• 40 - 40 = 3
• x x+3
• Resolviendo: X = 5
• Vendió 5 mesas y 8 sillas, o sea lo que vendió
• 5 + 8 = 13 artículos
• Respuesta: E