Límite de funciones de varias variables

1. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (F.V.V.)
EL CONCEPTO DE LÍMITE
Definición: Sea 𝑓 una función de dos variables, tal que el interior del dominio 𝐷
contenga al punto (𝑎, 𝑏). Decimos que el límite de 𝑓(𝑥, 𝑦) cuando (𝑥, 𝑦) tiende a
(𝑎, 𝑏) es 𝐿 y escribimos:
lim
𝑥,𝑦 (𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿
si para todo 𝜀 > 0 existe δ > 0 tal que si (𝑥, 𝑦)𝜖𝐷, 0 < (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2< 𝛿
implica que 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 𝜀
• Observe que 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 es la distancia entre los números f (x, y) y L ; mientras
que (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2 es la distancia entre el punto (𝑥, 𝑦) y el punto (𝑎, 𝑏).
• Por lo tanto, la definición establece que la distancia entre 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝐿 se puede
hacer arbitrariamente pequeña, siempre que (𝑥, 𝑦) esté suficientemente cercano
a (𝑎, 𝑏) (pero no iguales).

2. • En la figura se ilustra la definición de límite mediante un diagrama de
correspondencia entre elementos de dominio y sus respectivas
imágenes.
• Dado 𝜀 > 0 tenemos el intervalo pequeño (L - 𝜀, L + 𝜀) alrededor de
𝐿, entonces podemos encontrar un disco Dδ , llamado también bola
abierta 𝐷(𝐴, 𝛿) con centro en 𝐴 = (𝑎, 𝑏) y radio δ > 0 tal que 𝑓
hace corresponder todos los puntos en Dδ [excepto tal vez (𝑎, 𝑏)] en
el intervalo (L - 𝜀, L + 𝜀).

3. PROPIEDADES (TEOREMAS) DE LOS LÍMITES DE LAS F.V.V.)
• Los teoremas de límites funciones de varias variables son similares a los correspondientes y
conocidos de funciones de una variable real.
• Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites; el límite
del producto es el producto de sus límites (en el caso de que estos existan).
• El límite del cociente es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del
denominador sea diferente de cero.
• Las demostraciones de estas propiedades son análogas a sus correspondientes en una
variable, por este motivo no se las presentará.
• Una propiedad importante que sirve para demostrar que el límite no existe es:
Si el límite existe entonces los límites iterados también deben existir y ser iguales; es decir,
de manera equivalente:
lim
𝑥 𝑎
lim
𝑦 𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ lim
𝑦 𝑏
lim
𝑥 𝑎
𝑓(𝑥, 𝑦) implica que el: lim
𝑥,𝑦 (𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) no existe:
• A partir de aquí, en ciertos casos, se pueden utilizar los teoremas de límites para su cálculo.
• Ejemplo 1: lim
𝑥,𝑦 (𝑎,𝑏)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑑 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏 + 𝑑

4. Ejemplo 2: Calcular el límite: lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑦4−𝑥4
𝑦2+𝑥2
Solución:
lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑦4
− 𝑥4
𝑦2 + 𝑥2
= lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑦2
− 𝑥2
𝑦2
+ 𝑥2
𝑦2 + 𝑥2
= lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑦2 − 𝑥2 = 0
Ejemplo 3: Demostrar que: lim
𝑥,𝑦 (0,0)
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0.
Solución:
Puesto que el límite del denominador es igual a cero, necesitamos utilizar la definición de límite.
Por lo general se empieza acotando la distancia 𝑓 𝑥, 𝑦 − 0 , así:
0 <
3𝑥2
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
≤
3𝑥2
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
≤ 3 𝑦 = 3 𝑦2 ≤ 3 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3 𝑥, 𝑦 − (0,0) ≤ 3𝛿
• Entonces, dado 𝜀 > 0, elegimos 𝛿 =
𝜀
3
, y así tenemos que:
Si 0 < 𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 =
𝜀
3
entonces:
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 − 0 < 3𝛿 = 3
𝜀
3
= 𝜀

5. • Ejercicio 1: Calcular el límite lim
𝑥,𝑦 (−2,1)
𝑥3 + 2𝑥2 𝑦 − 𝑦2 + 2 .
Sugerencia utilice la propiedad de la suma de límites.
• Ejercicio 2: Demuestre que el lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑥
𝑥2+𝑦2 no existe. Sugerencia:
analice los límites iterados
• Ejercicio 3: Demuestre que el lim
𝑥,𝑦 (0,0)
𝑥4+3𝑥2+3𝑦2+𝑦4
𝑥2+𝑦2 = 3.
Sugerencia: utilice la definición de límite.