El documento explica el concepto de límite matemático. Un límite describe el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico. Para que una función tenga un límite, sus límites laterales izquierdo y derecho deben ser iguales. El documento provee ejemplos gráficos de diferentes tipos de límites y presenta teoremas para calcular límites algebraicamente.

1. 1
Límites
Noción Intuitiva y Gráfica
Sesión 14
El cálculo se puede definir como
un estudio de los límites.
Entonces, ¿Cuál es el significado
del concepto “Límite” en las
matemáticas?
La noción de límite de una
función está asociada con el
comportamiento de la función
(es decir y ) cuando el valor de
la variable independiente x se
acerca a un valor determinado.
Por ejemplo:
Estudiemos el comportamiento de f(x)= 3x-2
cuando x se acerca a 2 por ambos lados.
3.7
3.97
3.997
3.9997
4
4.0003
4.003
4.03
4.3
1.9
1.99
1.999
1.9999
2
2.0001
2.001
2.01
2.1
y = 3x-2x
Podemos concluir que f(x)
o y tiende a 4 cuando x
tiende a 2.
Pues bien, podemos decir que el
límite de f (x)= 3x-2, cuando x tiende
a 2 es igual a 4.
En símbolos matemáticos, escribimos:
Se lee “el límite cuando x tiende a 2
de 3x-2 es 4”
2x
42x3lím
→
=−
En conclusión, el límite de una
función es el comportamiento de la
función cuando x se acerca a un
valor determinado del dominio de la
función.
Por lo tanto, para saber si una
función tiene límite hay que estudiar
su comportamiento tanto por la
izquierda como por la derecha de x.

2. 2
Retomando f(x)= 3x-2 y, estudiando
cuando x se acerca o tiende a 2 por la
izquierda, tenemos el siguiente compor-
tamiento de f (x):
Se lee “el límite cuando x tiende al 2
por la izquierda es 4”
3.7
3.97
3.997
3.9997
4
1.9
1.99
1.999
1.9999
2
y = 3x-2x
El límite se
expresa como:
lím 3x-2 = 4
x 2-
Cuando x se acerca o tiende al 2 por la
derecha tenemos el siguiente compor-
tamiento de f(x):
Se lee “el límite cuando x tiende al 2 por
la derecha es 4”
y = 3x-2x
4
4.0003
4.003
4.03
4.3
2
2.0001
2.001
2.01
2.1
El límite se
expresa como:
lím 3x-2 = 4
x 2+
Los dos límites anteriores se
conocen como límites
unilaterales pues estudian el
comportamiento de la función
por un lado de x.
aa- a+
x
y
Definición de Límites Unilaterales
Sea f(x) una función:
lím f(x) = L
x a-
lím f(x) = L
x a+
Definición Intuitiva de Límite
Esto quiere decir que el límite de la función es
igual a L cuando x a por ambos lados (izquierda
y derecha de a). Es decir, cuando x está cerca,
pero difiere de a, f(x) está cerca de L.
lím f(x) = L
x a
Si y sólo si:
lím f(x) = L
x a ±
En conclusión, para que una función tenga
límite es necesario que sus límites
unilaterales sean iguales.
Si
Entonces el límite de la función existe y es
igual a L.
lím f(x) = L
x a-
y lím f(x) = L
x a+
lím f (x) = L
x a

3. 3
Para que una función tenga límite es
necesario que sus límites unilaterales sean
iguales.
Si
Entonces la función no tiene límite cuando
x tiende a a.
lím f(x) = L
x a
-
y lím f(x) = M
x a
+
lím f(x) = no existe
x a
Podemos encontrar el límite de una
función cuando x a de varias formas:
Evaluando la función con valores
cercanos a a por ambos lados,
(como en el ejemplo anterior).
A través de la observación de su
gráfica.
Con teoremas establecidos.
Estudiaremos el límite de
funciones cuando x a a
través de la observación de
sus gráficas a partir de los
siguientes ejemplos:
Por lo tanto:
lím f(x) = 4
x 2-
lím f(x) = 4
x 2+
lím f(x) = 4
x 2
Por lo tanto :
lím f (x)=6
x 3
lím f(x)=6
x 3-
Como se puede
observar, no es
necesario que f(3)
esté definida para
que la función tenga
límite, pues el límite
es cuando x está
cerca de 3 no
cuando es igual a 3.
lím f(x)=6
x 3+
lím f(x) = 7
x 2 –
lím f(x) = 9
x 2+
Por lo tanto: lím f (x) = no existe
x 2

4. 4
lím f(x) = - ∞
x 0-
lím f(x) = + ∞
x 0+
Por lo tanto: lím f(x) = no existe
x 0
lím f(x) = 0
x 0-
lím f(x) = 3
x 0+
lím f(x)= no existe
x 0
lím f(x) = 6
x 4 -
lím f(x) = 6
x 4+
lím f(x) = 6
x 4
lim f(x) = no existe
x -3
-
lím f(x) = 0
x -3 +
Por lo tanto: lím f(x) = no existe
x -3
Teoremas de Límites de Funciones
Algebraicas
Existen fórmulas establecidas para
calcular límites sin la necesidad de
graficar o darle valores cercanos a
“a” a la función, éstas fórmulas o
teoremas son los siguientes:
Función Constante
lím c = c
x a
Función Identidad
lím x = a
x a

5. 5
Función Constante e
Identidad
lím cx = ca
x a
Funciones x
n
lím x
n
=a
n
x a
Funciones cx
n
lím cx
n
= ca
n
x a
Suma y Resta de
Funciones
lím [f(x) ± g(x)] = f(a) ± g(a)
x a
Producto de Funciones
lím [f (x)*g (x)]= f (a)*g (a)
x a
Cocientes de Funciones
)a(g
)a(f
)x(g
)x(f
lím =





x a

6. 6
Funciones Elevadas a
Potencias Enteras
lím [f(x)]n
=[f(a)]n
x a
Funciones Elevadas a Potencias
Fraccionadas (raíces)
lím [f(x)]1/n
=[f(a)]1/n
x a