En la presente presentación se describe el segundo teorema de Castigliano en el cual se puede aprender a como usar este teorema para calcular las reacciones de los apoyos además de poder calcular las deflexiones y giros.
1. U N I V E R S I D A D P O L I T É C N I C A
S A L E S I A N A
2. SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
• Este teorema es de gran utilidad para la solución de estructuras estáticamente
indeterminadas. Para su aplicación se hace necesario elegir una estructura que sea
estable y estáticamente determinada, esto es, que sea isostática.
• Se aplica netamente en estructuras hiperestáticas, permitiéndonos calcular la reacción
redundante, para que la estructura se transforme en isostática.
3. • La estructura isostática, llamada también fundamental o primaria, se obtiene cambiando
o retirando soportes de tal modo que la estructura pueda desplazarse libremente.
Posteriormente se reinstalan las reacciones en los soportes cambiados o retirados para
regresar a la estructura a su posición original.
• A estas fuerzas de reacción desconocidas se les llama “Redundantes” y son las incógnitas
principales del método. Una vez calculadas las redundantes es posible mediante
equilibrio estático, conocer el resto de las incógnitas.
4. • El teorema dice:
“La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura,
en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de
la energía interna de deformación estructural con respecto a la acción aplicada.”
• El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos, obteniéndose en el primer
caso la componente de deflexión en la dirección de la fuerza y en el segundo la rotación
en el plano del momento.
5. • Para la siguiente viga se tiene que es indeterminada de grado 1 (tiene una redundante) y
se desea obtener las posibles estructuras primarias.
• Primer Caso. Retirar el soporte izquierdo, quedando una viga en voladizo con
empotramiento en el extremo derecho lo que la hace estable y estaticamente
determinada. El soporte (1) bajará verticalmente la distancia 𝛿𝑝.
6. • Para regresar al punto (1) a su posición original será necesario reinstalar la reacción 𝑅1 y
retirar la carga aplicada P. Esta fuerza desconocida desplazará el punto (1) la cantidad 𝛿𝑅,
de la misma magnitud que 𝛿𝑝. A esta fuerza se le llama Redundante 𝑅 = 𝑅1.
7. • Segundo Caso. Cambiando el empotramiento en (2) por un apoyo simple fijo, queda una
viga simplemente apoyada que es estable y estáticamente determinada. Al cambiar el
empotramiento por un apoyo simple permitimos que la viga pueda girar un ángulo 𝜃𝑝.
• Puesto que la viga original está empotrada no debe girar y será necesario reinstalar el
momento 𝑀2, para que el extremo (2) gire un ángulo 𝜃𝑀 de la misma magnitud que 𝜃𝑝.
8. • El momento 𝑀2, necesario para que la viga regrese a su posición inicial, es el redundante
𝑅 = 𝑀2.
• En resumen, el redundante o los redundantes serán las fuerzas desconocidas que actúan
en los soportes que se retiran o que se cambian.
El teorema se escribe de la siguiente manera:
𝜕𝑀
𝜕𝑅
= 0
𝑅= Redundante o fuerza de reacción desconocida.
9. Para armaduras predominan las deformaciones por carga axial y la energía interna de
deformación se reduce a:
0
𝐿
𝑀𝑥
𝜕𝑀𝑥
𝜕𝑅
𝑑𝑥
𝐴𝐸
= 0
𝑀𝑥= Ecuación de momentos a lo largo del elemento estructural o estructura.
𝑅= Redundante.
𝐿= Longitud de cada barra.
10. Para armaduras en las que predominan las deformaciones por carga axial y la energía
interna de deformación se reduce a:
𝑖=1
𝑛
𝑆𝑖
𝜕𝑆𝑖
𝜕𝑅
𝐿
𝐴𝐸
= 0
𝑆𝑖= Fuerza interna en cada una de las barras.
𝐿= Longitud de cada barra.
𝐴= Área de la sección transversal de cada barra.
𝐸= Módulo de elasticidad del material del que está hecha cada barra.
11. Para estructuras curvas como los arcos, el trabajo se escribe:
0
𝜃
𝑀𝜃
𝜕𝑀𝜃
𝜕𝑅
𝑟𝑑𝜃
𝐸𝐼
= 0
𝐸𝐼= Rigidez a la flexión. Módulo elástico por momento de inercia de la sección.
12. RESOLUCIÓN DE EJERCICIO
• Encontrar las reacciones de los apoyos por el segundo teorema Castigliano.
14. • Debido a que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio y 3 incógnitas, eso significa que
tenemos una viga hiperestática de grado 1.
• El segundo teorema se aplica que la deflexión con la desviación vertical es igual a cero.
∆=
0
𝐿
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑃
𝑑𝑥
𝐸𝐼
= 0
• Para poder aplicar el segundo teorema tenemos que considerar una de las dos reacciones
verticales que tenemos, como la carga P vertical, con la cual vamos a derivar parcialmente
la ecuación de momento, en este caso la reacción en considerar sería 𝑅𝐵 ya que esa es la
que mejor nos conviene.
16. • Una vez sacado éstas ecuaciones se procede a sacar la ecuación de momento.
• El análisis lo vamos hacer de derecha a izquierda ya que las ecuaciones que sacamos
posteriormente están en función de 𝑅𝐵.
• El primer intervalo de derecha a izquierda queda:
• Hacemos el corte de la viga:
20. • Una vez obtenido 𝑅𝐵 podemos calcular los valores de las reacciones que están en función
de 𝑅𝐵.
21. RESOLUCIÓN DE EJERCICIO 2
• Encontrar la deflexión al centro de la viga usando el segundo teorema Castigliano.
22.
23.
24.
25. EJERCICIOS PROPUESTOS
• Determine la deflexión en el punto A de la viga, por el segundo teorema de
Castigliano.
• E= 29,000 ksi
• I= 2,000 in^4
26. • Determine el desplazamiento vertical del punto C de la viga por el segundo teorema de
Castigliano.
• E= 200 Gpa
• I= 150E-06 mm^4
27. • Determinar el desplazamiento del punto B de la viga que se muestra en la figura.
• E= 200 Gpa
• I= 500E06 mm^4
28. BIBLIOGRAFÍA
• Galuarte, D., n.d. Teoremas de Castigliano | PDF | Elasticidad (Física) | Rigidez. Scribd.
Recuperado de: https://es.scribd.com/doc/183178581/Teoremas-de-Castigliano
• Pineda, M., 2021. Recuperado de: https://www.studocu.com/pe/document/universidad-nacional-
de-huancavelica/analisis-estructural/segundo-teorema-de-castigliano/16510730
• García, M., 2015. Segundo teorema de castigliano. Es.slideshare.net. Recuperdo de:
https://es.slideshare.net/chriizthiiaan7/segundo-teorema-de-castigliano-58260513
• Pineda, J., n.d. SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO - PDFCOFFEE.COM. pdfcoffee.com.
Recuperado de: https://pdfcoffee.com/segundo-teorema-de-castigliano-12-pdf-free.html
