Diferencia de medias y proporciones

INFERENCIAS ESTADISTICA
PRUEBA DE HIPOTESIS II
Profesor: Kennedy Hurtado Ibarra.
Licenciado en Matemática y Física
Especialista en Estadística Aplicada
Magister en Estadística Aplicada
Doctor en Ciencias de la Educación
Celular: 3002426058
Kennedyhurtado@dcc.uniatlantico.edu.co
Referencia: Llinas Humberto, Estadística Inferencial.
Canavo George, Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos.
Montgomery Douglas. Probabilidad y Estadística para Ingeniería.

Prueba para la diferencia de dos proporciones
Volvamos sobre el problema de comparación de dos proporciones poblacionales.
Teorema:
Sea 𝑃1 la proporción de éxitos observada en una muestra aleatoria de tamaño 𝑛1,
procedente de una población con proporción 𝑃1 de éxitos, y sea 𝑝2 la proporción de
éxitos observada en una muestra aleatoria independiente de tamaño 𝑛2, procedente
de una población con proporción de éxitos 𝑃2 . Supongamos que se cumple alguna de
las siguientes dos condiciones:
(a) 𝑛1 ≥ 30 y 𝑛2 ≥ 30;
(b) 𝑛1 𝑝1≥ 5, 𝑛1(1−𝑝1) ≥ 5, 𝑛2𝑝2 ≥ 5 y 𝑛2(1−𝑝2) ≥ 5.
Entonces, una prueba de hipótesis con nivel de signiﬁcancia α para la diferencia de
proporciones 𝑝1 - 𝑝2 es como se presenta en la tabla, siendo:

Tipodehipótesis Regladedecisiones
H0 : P1 -P2 = 0 Si Z ≥Zα/2 o si Z ≤-Zα/2; entonces,se
H1 : P1 -P2≠ 0 RechazaH0; delocontrario,seacepta H0
Doscolas(Pruebabilateral)
H0 :P1 -P2 ≥ 0 Si Z ≤-Zα; entonces,
H1 : P1 -P2 < 0 seRechazaH0; delocontrario,seacepta H0
Colaalaizquierda(Pruebaunilateral)
H0 : P1 -P2 ≤ 0 Si Z ≥Zα; entonces,
H1 : P1 -P2 > 0 seRechazaH0; delocontrario,seacepta H0
Colaaladerecha

Z =
𝑝1 − 𝑝2
𝑝0(1 −𝑝0)
𝑛1
+
𝑝0 (1−𝑝0)
𝑛2
; el estadístico de prueba correspondiente con:
𝑝0 =
𝑛1𝑝1+𝑛2𝑝2
𝑛1+ 𝑛2
; En la tabla mencionada,𝑍𝛼/2 el valor de una variable aleatoria a la
derecha del cual se tiene un área de α/2 en la distribución normal estándar.
Ejemplo:
Un rector de cierta universidad afirma que la proporción de hombres que tienen auto en
el campus es mayor a la proporción de mujeres que tienen auto en el campus. Un profesor
de estadística se interesa en la afirmación y entrevista aleatoriamente a 100 hombres y a
100 mujeres. Encuentra que 34 hombres y 27 mujeres tienen autos en el campus. ¿Puede
concluirse con un nivel del 5% que la afirmacion del rector es falsa?

SOLUCION:
Sean 𝑝1 y 𝑝2 las proporciones poblacionales de hombres y mujeres, respectivamente, que
tienen auto en el campus. Entonces, queremos contrastar la hipótesis nula
𝐻0: 𝑃1 - 𝑃2≤ 0
𝐻1: P1 −P2 > 0.
Los datos muestrales son: 𝑛1=100, entonces: 𝑝1 =
34
100
= 0,34
𝑛2= 100 , entonces; 𝑝2 =
27
100
= 0,27
𝑝0 =
100 0,34 +(100)(0,27)
100+100
= 0,305; y el estadístico de prueba está dado por:
Z =
𝑝1 − 𝑝2
𝑝0(1 −𝑝0)
𝑛1
+
𝑝0 (1−𝑝0)
𝑛2
=
0,34 −0,27
0,305 (1 −0,305)
100
+
0.305 (1−0.305)
100
= 1,075
Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0,05 y Zα = 𝑧0,05 = 1,64. Entonces, como Z
= 1,075 es menor que Zα = 1,64, al nivel de significancia del 5%, no se rechaza la hipótesis
nula de que la proporción de hombres que tienen auto en el campus es menor o igual a la
proporciona de mujeres que tienen auto en el campus. Es decir, los datos muestran que la
afirmacioń del rector es falsa.

Ejercicio:
De una muestra aleatoria de 203 anuncios publicados en revistas colombianas, 52
eran de deportes. De una muestra aleatoria independiente de 270 anuncios
publicados en revistas brasileras, 56 eran de deportes. Usando un nivel del 5%,
contrastar frente a una alternativa bilateral, la hipótesis nula de que las
proporciones de anuncios deportivos de las revistas colombianas y brasileras son
iguales.

Prueba para la diferencia de dos medias
En esta sección, examinaremos el caso que se dispone de muestras aleatorias de
dos poblaciones, y en el que el parámetro de interés consiste en la diferencia entre
las dos medias poblacionales.
Ahora, al igual que en capítulos anteriores, basaremos nuestro estudio de tales
pruebas de acuerdo a los siguientes tres casos:
Primer caso:
varianzas poblacionales conocidas o desconocidas y muestras grandes
Como ya se explicado en capítulos anteriores, en esta situación, la distribución
muestral de la diferencia de dos medias muestrales es la distribución normal. Las
hipótesis que podemos probar para la diferencia de dos medias poblacionales µ1
𝑦
µ2
son las siguientes:
𝐻0 : µ1
− µ2
=𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≥ 𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≤ 𝑑0
El estadístico de prueba tiene la forma:
Z=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
σ1
2
𝑛1
+
σ2
2
𝑛2

Tipo de hipótesis Regla de decisiones
H0 : µ1 − µ2 =𝑑0
H1 : µ1 − µ2 ≠ 𝑑0
Dos colas (Prueba bilateral)
Si Z ≥ Zα/2 o si Z ≤ -Zα/2; entonces, se
Rechaza H0; de lo contrario, se acepta H0
H0 : µ1 − µ2 ≥ 𝑑0
H1 : µ1 − µ2 < 𝑑0
Cola a la izquierda (Prueba unilateral)
Si Z ≤ -Zα; entonces,
se Rechaza H0; de lo contrario, se acepta H0
H0 : µ1 − µ2 ≤ 𝑑01
H1 : µ1 − µ2 > 𝑑0
Cola a la derecha (Prueba Unilateral)
Si Z ≥ Zα; entonces,
se Rechaza H0; de lo contrario, se acepta H0

Teorema:
Sean 𝑥1y 𝑥2las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños
𝑛1 𝑦 𝑛2 de poblaciones con medias µ1 ; µ2 y varianzas σ1
2
,σ2
2
respectivamente.
Supongamos que se cumple alguna de las siguientes condiciones:
(a) Ambas poblaciones son normales y ambas varianzas poblaciones σ1
2
, σ2
2
son
conocidas;
(b) Ambas poblaciones son desconocidas o no normales, ambas varianzas
poblacionales σ1
2
, σ2
2
son conocidas o desconocidas y 𝑛1 ≥ 30, 𝑛2 ≥ 30.
Entonces, una prueba de hipótesis con nivel de signiﬁcancia α para la diferencia
µ1 − µ2 es como se presenta en la tabla, siendo:
Z=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
σ1
2
𝑛1
+
σ2
2
𝑛2
; el estadístico de prueba correspondiente y 𝑧α/2 el valor de una
variable aleatoria a la derecha del cual se tiene un área de α/2 en la distribución
normal.

Ejemplo:
Se llevo´ a cabo un estudio entre expertos matemáticos para conocer su opinión sobre
las mujeres matemáticas. Se les pidió´ que evaluaran en una escala de 1 (totalmente en
desacuerdo) a 5 (totalmente de acuerdo) la aﬁrmacion: “Las mujeres matemáticas
tienen la misma oferta de trabajo que los hombres”. Para una muestra aleatoria de 186
hombres de esta profesión, la respuesta media fue de 4.059 con una desviación típica
de 0,839. Para una muestra aleatoria independiente de 172 mujeres matemáticas, la
respuesta media fue 3.680 con una desviación típica de 0,966. Utilice un nivel de
signiﬁcancia del 5% para contrastar la hipótesis nula de que las dos medias
poblacionales son iguales frente a la alternativa de que ambas sean diferentes.

SOLUCION:
Sean µ1 𝑦 µ2 las respectivas medias poblacionales de hombres y mujeres matemáticas.
Queremos contrastar la hipótesis:
𝐻0: µ1 − µ2 = 0
𝐻1: µ1 − µ2 ≠ 0.
Tenemos que:
𝑛1= 186, 𝑥1 = 4,059, 𝑠1 = 0,839;
𝑛2= 172, 𝑥2 = 3,680, 𝑠2 = 0,966
Observemos que podemos aplicar el teorema.
En este caso, 𝑑0= 0 y el valor del estadístico de prueba esta´ dado por:
Z=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
σ1
2
𝑛1
+
σ2
2
𝑛2
=
(4,059 −3,680) −0
0,8392
186
+
0,9662
172
= 3,95
Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0,05 y Zα/2 = 𝑧0,025 = 1,96. Entonces,
como Z = 3,95 es mayor que Zα = 1,96, se rechaza la hipótesis nula al nivel de signiﬁcancia
del 5%.

EJERCICIO:
En un establecimiento escolar suburbano, se seleccionó al azar una muestra aleatoria
de 25 alumnos de quinto grado (grupo 1) de una población de estudiantes
perteneciente a familias en que ambos padres trabajan. Se selecciono´ también una
muestra aleatoria al azar de 15 estudiantes (grupo 2) del mismo grado y
establecimiento escolar entre aquellos estudiantes que pertenecen a familias en que
solamente el padre trabaja. El análisis de los puntajes de rendimiento escolar (en
escala de 1 a 100) de los dos grupos dio los siguientes resultados: un puntaje promedio
de 78 para el grupo 1 y de 85 para el grupo 2. La experiencia muestra que las
poblaciones de puntajes para ambos grupos están distribuidas en forma
aproximadamente normal, con varianzas de σ1
2
= 81 y σ2
2
= 25. Utilizando un nivel de
signiﬁcancia del 5% y con base en estos datos, determinar si se puede concluir que la
media de la población de la que se selecciono´ el grupo 1 es inferior a la media de la
población de la que se selecciono´ el grupo 2.

Segundo caso:
varianzas poblacionales iguales, desconocidas y muestras pequeñas
Ahora, trataremos el caso en el cual los tamaños muestrales no son grandes y las
varianzas.
𝐻0 : µ1
− µ2
=𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≥ 𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≤ 𝑑0
t=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠2
𝑛1
+
𝑠2
𝑛2
; corresponde al valor de una variable aleatoria que tiene distribución t
de Student con ν = 𝑛1 + 𝑛2−2 grados de libertad. En la expresión anterior:
𝑠2
=
𝑛1−1 𝑠1
2 +(𝑛2 −1)𝑠2
2
𝑛1+ 𝑛2−2
, varianza combinada.

H0
: µ1 − µ2 =𝑑0
H1
: µ1 − µ2 ≠ 𝑑0
Si t ≥ tα/2
o si t ≤ -tα/2
; entonces, se
Rechaza H0;
de lo contrario, se acepta H0
H0
: µ1 − µ2 ≥ 𝑑0
H1
: µ1 − µ2 < 𝑑0
Si t ≤ -tα
; entonces,
se Rechaza H0;
H0
: µ1 − µ2 ≤ 𝑑01
H1
: µ1 − µ2 > 𝑑0
Si t ≥ tα
; entonces,
se Rechaza H0;

Teorema:
Sean 𝑥1y 𝑥2las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛1<
30 y 𝑛2 < 30 de poblaciones normales con medias µ1
, µ2
y varianzas σ1
2
, σ2
2
iguales y desconocidas. Entonces, una prueba de hipótesis con nivel de
signiﬁcancia α para la diferencia de medias µ1
− µ2
es como se presenta en la
tabla, siendo:
t=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠2
𝑛1
+
𝑠2
𝑛2
; es el estadístico de prueba correspondiente. En la expresión
anterior:
𝑠2 =
𝑛1 − 1 𝑠1
2
+ (𝑛2 − 1)𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2−2
Adema´s, 𝑡𝛼/2el valor de una variable aleatoria de una variable aleatoria que
tiene distribución t de Student con ν =𝑛1 + 𝑛2−2 grados de libertad a la
derecha del cual se tiene un área de α/2 en esta distribución.

Ejemplo:
Se llevó a cabo un estudio que pretendía valorar el efecto de la presencia de un
moderador sobre el número de ideas generadas por un grupo. Se observaron
cuatro miembros, con y sin moderadores. Para una muestra aleatoria de cuatro
grupos con moderador, el número medio de ideas generadas por grupo fue de
78, con una desviación típica de 24,4. Para una muestra aleatoria independiente
de cuatro grupos sin moderador, el número medio de ideas generadas por
grupo fue de 63,5, con una desviación típica de 20,2. Asumiendo que las
distribuciones poblacionales son normales con igual varianza, contrastar la
hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la
alternativa de que la verdadera media es mayor para los grupos con
moderador. Use un nivel de signiﬁcancia del 10%.

SOLUCION:
Sean µ1
, µ2
las respectivas medias poblacionales para los grupos con y sin
moderador. Queremos contrastar la hipótesis.
H0 : µ1
− µ2
=0
H1 : µ1
− µ2
> 0
𝑛1= 4, 𝑥1= 78,0 𝑠1 =24,4;
𝑛2= 4, 𝑥2= 63,5, 𝑠2 = 20,2
𝑠2
=
𝑛1−1 𝑠1
2 +(𝑛2 −1)𝑠2
2
𝑛1+ 𝑛2−2
=
3 (24,4)
2
+(3)(20,2)
2
4+4−2
= 501,7
Además, el valor del estadístico de prueba está dado por:
t=
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠2
𝑛1
+
𝑠2
𝑛2
= t=
(78,0 −63,5) −0
501,7
4
+
501,7
4
= 0,915

Para una prueba al nivel del 10%, tenemos que α = 0,10 y tα = 𝑡0,10 = 1,44 con ν = 𝑛1 + 𝑛2−2=
6 grados de libertad. Entonces,
como t = 0,915 es menor que tα = 1,44, no puede rechazarse la hipótesis nula de igualdad de
medias frente a la alternativa unilateral al nivel de significancia del 10%. Por lo tanto, los
datos de la muestra no contienen suficiente evidencia que sugiera que, en promedio, se
generan más ideas en los grupos con moderador.
Ejercicio:
Se llevo´ a cabo un experimento para comparar el deterioro abrasivo de dos
materiales laminados diferentes. Se probaron doce piezas del material 1,
exponiendo cada una a una máquina para medir el deterioro. De la misma manera,
se probaron diez piezas del material 2. En cada caso, se observo´ la profundidad del
deterioro. Las muestras del material 1 dieron un deterioro promedio (registrado) de
85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras
del material 2 dieron un promedio de 81 y una desviación estándar muestral de 5.
¿Puede concluirse en el nivel de significancia del 5% que el deterioro abrasivo del
material 1 excede al del material 2 por más de 2 unidades? Asuma que las
poblaciones son aproximadamente normales con varianzas iguales.

Tercer caso: varianzas poblacionales diferentes, desconocidas y muestras pequeñas
Ahora, estudiaremos el caso en el cual los tamaños muestrales no son grandes y las
varianzas poblacionales son diferentes pero desconocidas. En esta situación, para
probar las hipótesis.
𝐻0 : µ1
− µ2
=𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≥ 𝑑0, 𝐻0 : µ1
− µ2
≤ 𝑑0
t =
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
; corresponde al valor de una variable aleatoria que tiene
distribución t de Student con: v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1−1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 −1
; grados de libertad.

Teorema:
Sean 𝑥1 y 𝑥2 las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛1< 30 y
𝑛2 < 30 de poblaciones normales con medias µ1
, µ2
y varianzas σ1
2
, σ2
2
diferntes y
desconocidas. Entonces, una prueba de hipótesis con nivel de signiﬁcancia α para la
diferencia de medias µ1
− µ2
es como se presenta en la tabla, siendo:
t =
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
; es el estadístico de prueba correspondiente. Además, 𝑡α/2 el
valor de una variable aleatoria de una variable aleatoria que tiene distribución t de
Student con: : v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1−1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 −1
; grados de libertad.

Ejemplo:
El departamento de zoología de cierto instituto llevo´ a cabo un estudio para
estimar la diferencia en la cantidad de cierta sustancia química medida en dos
estaciones diferentes de un río. La sustancia se mide en miligramos por litro. Se
reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2. Las 15
muestras de la estación 1 tuvieron un contenido promedio de sustancia química de
3,84 miligramos por litro y una desviación estándar de 3,07 miligramos por litro,
mientras que las 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de
1,49 miligramos por litro y una desviación estándar de 0,80 miligramos por litro. Al
nivel del 5% determine si los contenidos promedios reales de sustancia en estas
dos estaciones son diferentes. Suponga que las observaciones vienen de
poblaciones normalmente distribuidas con varianzas diferentes.

SOLUCION:
Sean µ1 𝑦 µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos promedios
reales de sustancia en las dos estaciones. Queremos contrastar la hipótesis
𝐻1 : µ1 − µ2 = 0 versus H1 : µ1 − µ2 ≠ 0.
Tenemos que:
𝑛1 = 15, 𝑥1 = 3,84, 𝑠1 = 3,07,
𝑛2 = 12, 𝑥2 = 1,49, 𝑠2 = 0,80.
El valor del estadístico de prueba está dado por:
t =
(𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑑0
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
; t =
(3,84−1,49) −0
3,072
15
+
0,802
12
= 2,846
Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0,05 y 𝑡α/2 = 𝑡0,𝑜25 = 2,120 con;

v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1−1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 −1
=
3,072
15
+
0,802
12
2
3,072
15
2
14
+
0,802
12
2
11
= 16,3 se aproxima a 16 grados de libertad.
Entonces, como t = 2,846 es mayor que 𝑡𝛼/2 = 2,120, puede rechazarse la hipótesis nula
de igualdad de medias frente a la alternativa bilateral al nivel del 5%. Por lo tanto,
podemos concluir que los contenidos promedio reales de sustancia para estos dos
lugares son diferentes.

Prueba para la varianza
En esta sección, el interés se centra en pruebas de hipótesis relacionadas con
la varianza de una población distribuida normalmente. Para ello, supondremos
que 𝑠2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una
población distribuida normalmente con media µ y varianza σ2. Entonces, se
desean probar las hipótesis que consideran la uniformidad de una población,
dadas por:
𝐻0: 𝜎2 =𝜎0
2
, 𝐻0: 𝜎2 ≤𝜎0
2
; 𝐻0: 𝜎2 ≥ 𝜎0
2
𝛘2
=
𝑛 −1) 𝑠2
𝜎2
y corresponde al valor de una variable aleatoria que tiene distribución chi-
cuadrada con n − 1 grados de libertad

𝐻0: 𝜎2
=𝜎0
2
𝐻1: 𝜎2
≠ 𝜎0
2
Si 𝝌2
≥ 𝝌2
α/2
o si 𝝌2
≤𝝌2
1− 𝛼/2
; entonces,
se
Rechaza H0;
𝐻0: 𝜎2
≤𝜎0
2
𝐻1: 𝜎2
> 𝜎0
2
Cola a la izquierda (Prueba
unilateral)
Si 𝝌2
≥ 𝝌2
𝛼
entonces,
se Rechaza H0;
de lo contrario, se
acepta H0
𝐻0: 𝜎2
≥ 𝜎0
2
𝐻0: 𝜎2
< 𝜎0
2
Si 𝝌2
≤ 𝝌2
1−𝛼
; entonces,
se Rechaza H0;

Teorema:
Si 𝑆2
es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una
población distribuida normalmente con media µ y varianza 𝜎2, entonces, una
prueba de hipótesis con nivel de signiﬁcancia α para la varianza 𝜎2
es como se
presenta en la tabla, siendo:
𝛘2
=
(𝑛 −1)𝑠2
σ2
el estadístico de prueba correspondiente. Además, 𝛘α
2
2
y 𝛘1−
α
2
2
son los valores de una variable aleatoria que deja un área de
α
2
y 1 −
α
2
,
respectivamente, a la derecha de la distribución chi-cuadrado con n−1 grados de
libertad.

Ejemplo:
Con el ﬁn de cumplir las normas establecidas, es importante que la varianza en
el porcentaje de impurezas de unas remesas de productos químicos no supere
el 4%. Una muestra aleatoria de 20 envíos dio una varianza muestral de 5,62 en
el porcentaje de impureza. Al nivel del 10%, contrastar la hipótesis nula de que la
varianza de la población no es mayor que 4. Supóngase que la distribución de la
población es normal.
SOLUCION:
Sea σ2la varianza poblacional de la concentración de impureza. Queremos
contrastar la hipótesis
𝐻0: σ2
≤ 4 versus 𝐻1 : σ2
> 4.
Tenemos que 𝑆2
= 5,62, n = 20 y σ0
2
= 4. Observemos que podemos aplicar el
teorema En este caso, el valor del estadístico de prueba esta´ dado por:

𝛘2
=
(𝑛 −1)𝑠2
σ0
2 =
(19)(5,62)
4
= 26,69
Para una prueba al nivel del 10%, tenemos que α = 0,10 y 𝛘α; 19
2
= 𝛘0,10; 19
2
= 27,20
con ν = n−1 = 19 grados de libertad.
Entonces, como 𝛘2
= 26,695 es menor que 𝛘0,10; 19
2
= 27,20, no puede rechazarse
la hipótesis nula al nivel del 10%. Por lo tanto, los datos no contienen una evidencia
particularmente importante contra la hipótesis de que la varianza poblacional del
porcentaje de impureza no es mayor que 4.
Prueba para la razón de dos varianzas
Por último, estudiaremos el caso de pruebas de hipótesis relacionadas con dos
varianzas de una poblaciones distribuidas normalmente.

H0
: 𝜎1
2
= 𝜎2
2
H1
: 𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
Si F≥ Fα/2
o si F ≤𝐹1−𝛼/2; entonces, se
Rechaza H0;
de lo contrario, se acepta
H0
H0
: 𝜎1
2
≥ 𝜎2
2
H1
: 𝜎1
2
< 𝜎2
2
Si F ≤ 𝐹1−
α/2
; entonces,
se Rechaza H0;
H0
H0
: 𝜎1
2
≤ 𝜎2
2
H1
: 𝜎1
2
> 𝜎2
2
Si F ≥ Fα
; entonces,
se Rechaza H0;
H0

Teorema:
Si 𝑠1
2
y 𝑠2
2
son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño 𝑛1
y 𝑛2 tomadas de poblaciones normales con varianzas σ1
2
y σ2
2
, respectivamente,
entonces, una prueba de hipótesis con nivel de signiﬁcancia α para la razón de
varianzas
σ1
2
σ2
2 es como se presenta en la tabla, siendo:
F=
𝑠1
2
𝑠2
2 ;
El estadístico de prueba correspondiente. Además, 𝐹α/2(𝑣1, 𝑣2) es el valor de una
variable aleatoria que deja un área de α/2 a la derecha de la distribución F con 𝑣1=
𝑛1 − 1y 𝑣2 = 𝑛2 −1 grados de libertad.

Ejemplo:
Se compararon las varianzas de los vencimientos de dos tipos de bonos.
Para una muestra aleatoria de 17 bonos del primer tipo, la varianza de los
vencimientos (en años al cuadrado) fue de 123,35. Para una muestra
aleatoria independiente de 11 bonos del segundo tipo, la varianza de los
vencimientos fue de 8,02. Al nivel del 2%, determinar si las dos varianzas
poblacionales son diferentes. Asuma que las dos poblaciones tienen
distribución normal.
SOLUCION:
Sean σ1
2
y σ2
2
las respectivas varianzas poblacionales. Queremos contrastar
la hipótesis:
H0 : σ1
2
= σ2
2
H1 : σ1
2
≠ σ2
2

Para este ejemplo,
𝑛1= 17, 𝑠1
2
= 123,35, 𝑛2 = 11, 𝑠1
2
= 8,02.
Observemos que podemos aplicar el teorema. En este caso, el valor del estadístico
de prueba está dado por:
F=
𝑠1
2
𝑠2
2 =
123,35
8,02
= 15,38;
Para una prueba al nivel del 2%, tenemos que α = 0,02 e, interpolando, 𝐹α/2(16,10) =
𝐹0,01(16,10) = 4,53 con 𝑣1 = 𝑛1 −1 = 16 y = 𝑣2 =𝑛2 −1 = 10 grados de libertad.
Claramente, F = 15,38 es mucho mayor que 𝐹0,01(16,10) = 4,53, es decir, podemos
rechazar la hipótesis nula al nivel del 2%. Por consiguiente, hay abrumadora
evidencia de que las varianzas en los vencimientos son diferentes para estos dos
tipos de bonos.

Ejercicio:
Se llevo´ a cabo un experimento para comparar el deterioro abrasivo de dos
materiales laminados diferentes. Se probaron doce piezas del material 1,
exponiendo cada una a una maquina para medir el deterioro. De la misma
manera, se probaron diez piezas del material 2. En cada caso, se observo´ la
profundidad del deterioro. Las muestras del material 1 dieron un deterioro
promedio (registrado) de 85 unidades con una desviación estándar muestral
de 4, mientras que las muestras del material 2 dieron un promedio de 81 y una
desviación estándar muestral de 5. ¿Puede concluirse en el nivel de
significancia del 5% que el deterioro abrasivo del material 1 excede al del
material 2 por más de 2 unidades? Asuma que las poblaciones son
aproximadamente normales con varianzas iguales
Al probar la diferencia en el desgaste abrasivo de los dos materiales , se
asumió que las varianzas poblacionales desconocidas eran iguales. ¿Es esta
justificación correcta? Utilice un nivel de significancia del 10%.

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