El documento explica los conceptos de solución general y solución particular para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. También describe cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas utilizando los métodos de la ecuación característica, variación de parámetros y coeficientes indeterminados.

1. Una solución de una EDO 2°O en un intervalo abierto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) es una función y(x) que
tiene derivadas 𝑦´
= 𝑦´
𝑥 𝑒 𝑦´´
= 𝑦´´
(𝑥) que satisfacen la ecuación diferencial para todo 𝑥
perteneciente a 𝐼
Solución general: Resolver la ecuación significa determinar su solución general que incluirá
dos constantes arbitrarias.
Solución particular: Encontrar una función que satisfaga la ecuación diferencial y que pase
por determinado punto del plano y que en ese punto tenga una pendiente dada permitirá
establecer una función de la familia doblemente infinita de curvas que representa la solución
general, denominada solución particular.
Tema 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales
de Segundo Orden
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Segundo
Orden
Son de la forma: 𝑦´´
+ 𝑝1 𝑥 𝑦´
+ 𝑝0 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥 (𝐴)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Segundo
Orden con Coeficientes Constantes Homogeneas
Son de la forma: 𝑦´´
+ 𝑎 𝑦´
+ 𝑏 𝑦 = 0. Donde a y b son constantes reales.
Ing. Adelma Grágeda

2. Cálculo de las soluciones
Se escribe la ecuación característica,en la que se reemplaza
𝑦´´
= λ2
𝑦´ = 
 2 + 𝑎  + 𝑏 = 0 Ecuación característica o
Ecuación auxiliar de la EDOL 2°OCC H
Sus soluciones se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática:
a) Si 1 ≠ 2 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆 𝟐 𝒙
 =
−𝑎 ± 𝑎2 − 4𝑏
2
b) Si 1 = 2 =  𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒙 𝒆 𝒙
c) Si 1 𝑦 2 ∈ ∁𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠
 =
−𝑎 ± 𝑎2 − 4𝑏
2
 =
−𝑎 ± −(4𝑏 − 𝑎2)
2
 =
−𝑎 ± (4𝑏 − 𝑎2) −1
2
 =
−𝑎 ± (4𝑏 − 𝑎2) 𝑖
2
 = −
𝑎
2
± 𝜔 𝑖
𝒚 = 𝒆−
𝒂
𝟐
𝒙
( 𝑪 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒙)

3. Resolución de las EDOL 2°O CC no H
Las ecuaciones son de la forma:
La solución general de la ecuación (A) se puede expresar como una suma de dos
funciones:
𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒛 𝒙
𝑦´´
+ 𝑎 𝑦´
+ 𝑏 𝑦 = 𝑟 𝑥 (𝐴)
Se asocia a estas ecuaciones la ecuación homogénea.
𝑦´´ + 𝑎 𝑦´ + 𝑏 𝑦 = 0
Donde:
𝒚 𝒉 es la solución general de la ecuación homogénea
𝒛 𝒙 es una solución de la ecuación no homogénea sin constantes arbitrarias, es
parte de la solución general de la ecuación no homogénea pero no es una
solución particular.
Para obtener 𝑧 𝑥 también llamada 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝 (solución propuesta) se pueden aplicar
dos métodos, el método de variación de parámetros o el método de los
coeficientes indeterminados.

4. Se emplea la expresión general
1.- Método de variación de parámetros - Analítico
Cálculo de las bases
Cálculo del Wronskiano
𝑊 =
𝑢1 𝑥 𝑢2 𝑥
𝑢1´ 𝑥 𝑢2´ 𝑥
Si 1 ≠ 2 𝑢1 𝑥 = 𝑒1 𝑥
𝑢2 𝑥 = 𝑒2 𝑥
Si 1 = 2 =  𝑢1 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑢2 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥
Si 1 𝑦 2 ∈ ∁𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑢1 𝑥 = 𝑒−
𝑎
2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 𝑢2 𝑥 = 𝑒−
𝑎
2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑥
𝑧 𝑥 = −𝑢1 𝑥
𝑢2 𝑥 𝑟 𝑥 𝑑𝑥
𝑊(𝑥)
+ 𝑢2 𝑥
𝑢1 𝑥 𝑟 𝑥 𝑑𝑥
𝑊(𝑥)
Donde:
𝑢1 𝑥 y 𝑢2 𝑥 son las bases calculadas con la ecuación característica
𝑊 𝑥 es el determinante Wronskiano que se calcula con el valor absoluto de un
determinante formado con las bases y sus derivadas

5. Ejemplo
y´´ − 4 𝑦´ + 4 𝑦 = 𝑒2𝑥 arc tg 𝑥
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
Ecuación Homogénea: 𝑦´´
− 4 𝑦´
+ 4 𝑦 = 0
Ecuación Característica: 2
− 4  + 4 = 0
Raíces de la Ecuación Característica:
𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑥 𝑒2𝑥
a) Cálculo de 𝑦ℎ
b) Cálculo la solución propuesta 𝑧(𝑥)
𝑟 𝑥 = 𝑒2𝑥
arc tg 𝑥
 =
4 ± 42 − 4. 4
2
 = 2
Bases y sus derivadas primeras
𝑢1 𝑥 = 𝑒2 𝑥
𝑢2 𝑥 = 𝑥 𝑒2 𝑥
𝑢1´ 𝑥 = 2 𝑒2 𝑥
𝑢2´ 𝑥 = 𝑒2 𝑥 + 2𝑥 𝑒2 𝑥 = 1 + 2𝑥 𝑒2 𝑥

6. Cálculo del Wronskiano
𝑊 =
𝑒2 𝑥 𝑥 𝑒2 𝑥
2 𝑒2 𝑥 1 + 2𝑥 𝑒2 𝑥
𝑊 = 𝑒4𝑥
𝑧 𝑥 = − 𝑒2 𝑥
𝑥 𝑒2 𝑥 𝑒2𝑥 arc tg 𝑥 𝑑𝑥
𝑒4𝑥 + 𝑥 𝑒2 𝑥
𝑒2 𝑥 𝑒2𝑥 arc tg 𝑥 𝑑𝑥
𝑒4𝑥
𝑧 𝑥 = −𝑢1 𝑥
𝑢2 𝑥 𝑟 𝑥 𝑑𝑥
𝑊(𝑥)
+ 𝑢2 𝑥
𝑢1 𝑥 𝑟 𝑥 𝑑𝑥
𝑊(𝑥)
𝑧 𝑥 = − 𝑒2 𝑥
𝑥 arc tg 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑒2 𝑥
arc tg 𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥 = − 𝑒2 𝑥
1
2
𝑥2
+ 1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
𝑥
2
+ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
ln(𝑥2
+ 1 𝑥 𝑒2𝑥
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑧(𝑥)
𝑦 = 𝐶1 𝑒2𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒2𝑥 + − 𝑒2 𝑥 1
2
𝑥2 + 1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
𝑥
2
+ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
ln(𝑥2 + 1 𝑥 𝑒2𝑥

7. 2.- Método de los coeficientes indeterminados
Dada una determinada función r(x) en la ecuación diferencial A, se propone una
solución 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝(𝑥) sin constantes relacionada a la forma de r(x) empleando la
tabla 2 de la guía teórica de la cátedra.

8. Ejemplo
𝑦´´
+ 2 𝑦´
+ 17 𝑦 = cos 𝑥
Ecuación Homogénea: 𝑦´´
+ 2 𝑦´
+ 17 𝑦 = 0
Ecuación Característica: 2
+ 2  + 17 = 0
Raíces de la Ecuación Característica:
 =
−2 ± 22 − 4. 17
2
 =
−2 ± −64
2
 =
−2 ± 64 −1
2
 =
−2 ± 8 𝑖
2
 = −1 ± 4 𝑖
𝑦ℎ = 𝑒− 𝑥 (𝐶1 cos 4𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥)
a) Cálculo de 𝑦ℎ

9. b) Cálculo la solución propuesta 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝
𝑟 𝑥 = cos 𝑥 = 𝑝 𝑚 𝑥 cos 𝑤𝑥
𝑝 𝑚 𝑥 = 1
𝑚 = 0 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜)
𝑤 = 1 ±𝑤 𝑖 = ±𝑖 No son raices de la ecuación característica
 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑝 𝑚 𝑥 cos 𝑤𝑥 + 𝑞 𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑥
 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥
Cálculo de las constantes A y B
Se deriva la ecuación 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝 y se reemplaza en la ecuación
𝑦´´ + 2 𝑦´ + 17 𝑦 = cos 𝑥
Para calcular las constantes indeterminadas A y B ya que la solución general
debe contener solo dos constantes indeterminadas por ser una ecuación de
segundo orden.
(Forma de r(x) en la tabla 2)
(Polinomio de grado cero)
Entonces por la tabla 2 la solución propuesta es

10. 16 𝐴 + 2 𝐵 = 1
−2𝐴 + 16 𝐵 = 0
𝐴 =
8
130
𝐵 =
1
130
 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝 =
8
130
cos 𝑥 +
1
130
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝
𝑦 = 𝑒− 𝑥
(𝐶1 cos 4𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥) +
8
130
cos 𝑥 +
1
130
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Solución general:
17 𝑦 = 17𝐴 cos 𝑥 + 17𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑦´ = −2𝐴 sen 𝑥 + 2𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑦´´ = −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥
_____________________________ ____________________________________________
𝑦´´ + 2𝑦´ + 17 𝑦 = (16𝐴 +2B) cos 𝑥 + 16𝐵 − 2𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥
𝑦 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦´ = −𝐴 sen 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑦´´ = −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥
Ing. Adelma Grágeda