El documento explica el cálculo del momento de inercia de áreas planas, el cual es igual al producto del área elemental por el cuadrado de la distancia al eje. Describe cómo calcular el momento de inercia con respecto a ejes diferentes al centroide usando el teorema de los ejes paralelos. También explica que el momento de inercia de un área compuesta es la suma de los momentos de inercia de cada una de sus áreas individuales. Proporciona ejemplos numéricos de aplicación de estos conceptos.

1. ESTATICA
U-4.- PROPIEDADES DE ÁREAS PLANAS Y
LÍNEAS
CÁLCULO DE MOMENTO DE
SEGUNDO ORDEN POR
ÁREAS SIMPLES

2. El momento de segundo orden de un área se conoce como
MOMENTO DE INERCIA, y es igual al producto del
elemento de área por el cuadrado de la distancia al eje.
MOMENTO DE INERCIA:


A
X dA
y
I 2


A
Y dA
x
I 2
Nota: El término “inercia” es una designación incorrecta, ya que una
superficie no posee “inercia” como es el caso de la masa, pero se le
asigno el nombre por la semejanza con la integral desarrollada por
Euler de momento de inercia de masa.

3. MOMENTO DE INERCIA:
El momento de inercia de un área se utiliza en el diseño
de los miembros de una armadura y en el cálculo de la
distribución de esfuerzos en un miembro estructural con
carga.

4. MOMENTO DE INERCIA:


A
X dA
y
I 2


A
Y dA
x
I 2
12
24
24
3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
0
bh
h
h
b
y
b
bdy
y
I
h
h
h
h
X 



















12
24
24
3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
0
hb
b
b
h
x
h
hdx
x
I
b
b
b
b
Y 




















5. Frecuentemente es necesario calcular el momento de
Inercia de una sección con respecto a un eje distinto al
que pasa por el centroide.
MOMENTO DE INERCIA EN EJES DIFERENTES AL
CENTROIDE:
3
3
3
3
3
0
3
0
2 bh
h
b
y
b
bdy
y
I
h
h
X 














 
3
3
3
3
3
0
3
0
2 hb
b
h
x
h
hdx
x
I
b
b
Y 














 
para calcularlo se emplea el teorema de Ejes Paralelos.

6. Si se requiere el momento de Inercia con respecto al eje
x-x´ en vez de con respecto al eje centroidal x-x, se
aplica la misma definición de momento de Inercia.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O DE STEINER:
La distancia y, se toma a partir del eje centroidal x-x
hacia la faja elemental y la distancia D, es la distancia
entre el eje paralelo x´-x´ y el eje centroidal x-x


A
X
dA
y
I
2
1
1
x1
y1
dA
y
D
A
x
y

7. Por definición
TEOREMA DE LOS EJES PARALEOS O DE STEINER:
pero y´=(y+d), entonces:


A
X
dA
y
I 2
1

 




A
A
X
dA
d
yd
y
dA
d
y
I )
2
(
)
( 2
2
2
1


 


A
A
A
X
dA
d
ydA
d
dA
y
I 2
2
2
1
•La primera integral, es el momento de Inercia del área
con respecto a su eje centroidal.
•El segundo término es el momento de primer orden con
respecto al eje centroidal x-x (por lo tanto es igual a
cero).
•El tercer término es el área total de la figura por la
distancia la cuadrado.

8. Entonces:
TEOREMA DE LOS EJES PARALEOS O DE STEINER:
TEOREMA DE EJES PARALELOS
Donde:
Ix´ = es el momento de Inercia con respecto al eje x´-x´
Ix = es el momento de Inercia con respecto al eje
centroidal x-x
A = área de la sección.
d = distancia entre ejes x-x / x´-x´.
2
1 Ad
I
I X
X



9. SEGUNDO MOMENTO DE AREAS COMPUESTAS:
El momento de Inercia de toda área, es la suma de los
momentos de Inercia de cada una de las áreas
individuales con respecto al eje deseado.
Los pasos para determinar el momento de Inercia
centroidal de un área compuesta son:
Aplicación del teorema del eje paralelo y momentos de
inercia de áreas compuestas:
1. Se determina el centroide del área
2. A partir de un eje que pasa por el centroide, se aplica
el teorema de los ejes paralelos a cada una de las
áreas geométricas simples.
Nota: En algunos casos puede ser más fácil llevar a cabo los cálculos
en forma tabular, en particular si hay que considerar varias figuras.

10. Aplicación del teorema del eje paralelo y momentos de
inercia de áreas compuestas (respecto al eje Xc)
PARTE AREA dy Ad2 Ix´ Ix
1 4a2 3a/2 9a4 4a4/12 28a4 /3
2 2a2 0 0 2a4/3 2a4/3
3 4a2 3a/2 9a4 4a4/12 28a4 /3
TOTAL 10a2 58a4/3

11. Aplicación del teorema del eje paralelo y momentos de
inercia de áreas compuestas (respecto al eje Xc)
PARTE AREA dy Ad2
y Ix´ Ix
1 16a2 0 0 64a4/3 64a4/3
2 -3a2 0 0 -a4 -a4
2 -3a2 0 0 -a4 -a4
TOTAL 10a2 58a4/3 58a4/3

12. Aplicación del teorema del eje paralelo y momentos de
inerci de áreas compuestas (respecto al eje Yc)
PARTE AREA dx Ad2
x Iy¨ Iy
1 16a2 0 0 64a4/3 64a4/3
2 -3a2 5a/4 75a4/16 9a4/16 -21a4/4
2 -3a2 5a/4 75a4/16 9a4/16 -21a4/4
TOTAL 10a2 65a4/6
Y´ Y
Ix > Iy; 116a4/6 > 65a4/6