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Las leyes de De Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica, y fueron
creadas por Augustus De Morgan (Madurai,1806-Londres,1871).

[editar] Las leyes de De Morgan

Las Leyes De Morgan sirven para declarar que la suma de n variables proposicionales
globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas
individualmente y que inversamente, el producto de n variables proposicionales
globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.




[editar] Demostración formal

                      si y solo si                      y                       .

para cualquier x:          ó

        ó



Por lo tanto

  inclusión:



        ó

[editar] Con proposiciones

La prueba utiliza la asociatividad y la distributividad d e las leyes   y   .

       Verdad
       Si verdad por n
La realidad es producto del azar , y al azar en realidad se producen infinidad de universos , que
a su vez en Probabilidad Imposible se pueden clasificar en líneas generales en dos tipos de
universos , universos de sujetos u opciones infinitos , y universos de opciones limitadas .

Un universo es un conjunto de N elementos que forman una realidad susceptible de estudio
estadístico , pudiéndose definir a los N elementos como sujetos u opciones , en función del tipo
de naturaleza de los elementos que forman N , una naturaleza cuya cualidad cuantitativa
residirá en la forma de medirse su magnitud .

En función del tipo de universo al que pertenezca N , los elementos de N se pueden definir
como sujetos en tanto que opciones , o se pueden definir como opciones limitadas a priori . La
pri

cipal característica del Segundo Método de la Probabilidad Imposible frente a la estadística
tradicional , es que , si mientras la estadística tradicional diferenciaba claramente entre
modelos de estudio estadístico en base a estadísticos de tendencia central o dispersión , para
el estudio de las puntuaciones directas, el estudio de la probabilidad o frecuencia relativa se
reservaba estrictamente para el estudio de la frecuencia de una serie de opciones
determinadas en la realidad , en la medida que mediante el Segundo Método todo sujeto es
susceptible de ser estudiado en tanto que opción , y toda opción en tanto que sujeto , por
universo de sujetos u opciones infinitos se entenderá aquel universo de sujetos u opciones
cuyas puntuaciones directas, obtenidas de la medición individual de cada sujeto , son
estudiadas mediante estadística de la probabilidad o probabilidad estadística , mediante el
cociente de la puntuación directa , obtenida de la medición individual , de cada sujeto, entre el
sumatorio de todas las puntuaciones directas de toda la muestra .

En la teoría de conjuntos, encontramos situaciones en las que, los conjuntos
considerados son subconjuntos de algún conjunto conocido, que nos sirve de referencia.

Definición Conjunto universo
Se denomina conjunto universal o universo al conjunto de todos los elementos que
intervienen en el tema o situación de interés. Se simboliza U.

Ejemplo
Sean los conjuntos:
A: Las vocales.
B: Las consonantes.
C: El abecedario español.
Sabemos que las vocales y las consonantes están en el abecedario español, por tanto, C
es el conjunto universo o sea C = U. Conjunto vacío y conjunto unitario. Extendemos la
noción intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de unicidad de
elementos mediante la introducción de los conjuntos vacío y unitario.

Conjunto vacío y conjunto unitario
Extendemos la noción intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de
unicidad de elementos mediante la introducción de los conjuntos vacío y unitario.

Definición Conjunto vacío.

Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se simboliza ∅. El
conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
Definición Conjunto unitario.

Un conjunto que tiene solamente un elemento se denomina conjunto unitario.

Ejemplo
Son conjuntos vacíos:
A: la letra W de la palabra RAMON.
B: los meses que tienen 27 días.
Son conjuntos unitarios:
C: las vocales de la palabra SOL.
D: los números naturales entre 6 y 8.

En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que
pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.


Contenido
[ocultar]

        1 Conjuntos
        2 Operaciones con conjuntos
        3 Leyes fundamentales
        4 Ejemplo con dos conjuntos
        5 Referencias
        6 Véase también
        7 Enlaces externos



[editar] Conjuntos
Artículo principal: Conjunto.




Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un
conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la
manera en la que se lo representa.
Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

       El conjunto universal, referencial o universo de discurso, que normalmente
       se denota por las letras           , es un conjunto cuyo objeto de estudio son
       los subconjuntos del mismo. En la figura tenemos:



       Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de
       pertenencia. Dado un elemento x, pertecece a un conjunto dado. Esto se indica
       como:



Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica:



       Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un
       subconjunto de A, y se indica como:



Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica:



       Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
       Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de
       que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

[editar] Operaciones con conjuntos
Veamos las operaciones con conjuntos, para ello lo ilustraremos con el ejemplo de la
figura, donde puede ver el conjunto universal adoptado: U y dos conjuntos el A y el B,
así como los elementos que pertenecen a cada uno:




Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

       Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos
       los elementos de A y de B.



       Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
       contiene todos los elementos comunes de A y B.



       Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
       contiene todos los elementos que no pertenecen a A.




       Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A  B que
       contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.




Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al
conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.1 Es decir:



Con esta notación, se expresaria:




       Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
       conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer
       (segundo) elemento pertenece a A (a B).
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El
conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la
intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la
intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de
la lógica proposicional



Ley Asociativa

                 Las "Leyes Asociativas" significan que no importa cómo se agrupen los
                 números cuando los sumas o cuando los multiplicas.

                 (En otras palabras no importa cuál calculas primero.)

                 Ejemplo de suma: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5)
                 Porque 6 + 5 = 2 + 9 = 11

                 Ejemplo de multiplicación: (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)
                 12 × 5 = 3 × 20 = 60




Ley Conmutativa

0
                 Las "Leyes Conmutativas" significa que puedes intercambiar números de
                 cualquier manera y aún así obtener la misma respuesta cuando los sumes. O
                 cuando los multipliques.

                 Ejemplos:
                 Puedes intercambiar cuando sumas: 3 + 6 = 6 + 3
                 Puedes intercambiar cuando multiplicas: 2 × 4 = 4 × 2

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Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica

  • 1. Las leyes de De Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica, y fueron creadas por Augustus De Morgan (Madurai,1806-Londres,1871). [editar] Las leyes de De Morgan Las Leyes De Morgan sirven para declarar que la suma de n variables proposicionales globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables proposicionales globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente. [editar] Demostración formal si y solo si y . para cualquier x: ó ó Por lo tanto inclusión: ó [editar] Con proposiciones La prueba utiliza la asociatividad y la distributividad d e las leyes y . Verdad Si verdad por n
  • 2. La realidad es producto del azar , y al azar en realidad se producen infinidad de universos , que a su vez en Probabilidad Imposible se pueden clasificar en líneas generales en dos tipos de universos , universos de sujetos u opciones infinitos , y universos de opciones limitadas . Un universo es un conjunto de N elementos que forman una realidad susceptible de estudio estadístico , pudiéndose definir a los N elementos como sujetos u opciones , en función del tipo de naturaleza de los elementos que forman N , una naturaleza cuya cualidad cuantitativa residirá en la forma de medirse su magnitud . En función del tipo de universo al que pertenezca N , los elementos de N se pueden definir como sujetos en tanto que opciones , o se pueden definir como opciones limitadas a priori . La pri cipal característica del Segundo Método de la Probabilidad Imposible frente a la estadística tradicional , es que , si mientras la estadística tradicional diferenciaba claramente entre modelos de estudio estadístico en base a estadísticos de tendencia central o dispersión , para el estudio de las puntuaciones directas, el estudio de la probabilidad o frecuencia relativa se reservaba estrictamente para el estudio de la frecuencia de una serie de opciones determinadas en la realidad , en la medida que mediante el Segundo Método todo sujeto es susceptible de ser estudiado en tanto que opción , y toda opción en tanto que sujeto , por universo de sujetos u opciones infinitos se entenderá aquel universo de sujetos u opciones cuyas puntuaciones directas, obtenidas de la medición individual de cada sujeto , son estudiadas mediante estadística de la probabilidad o probabilidad estadística , mediante el cociente de la puntuación directa , obtenida de la medición individual , de cada sujeto, entre el sumatorio de todas las puntuaciones directas de toda la muestra . En la teoría de conjuntos, encontramos situaciones en las que, los conjuntos considerados son subconjuntos de algún conjunto conocido, que nos sirve de referencia. Definición Conjunto universo Se denomina conjunto universal o universo al conjunto de todos los elementos que intervienen en el tema o situación de interés. Se simboliza U. Ejemplo Sean los conjuntos: A: Las vocales. B: Las consonantes. C: El abecedario español. Sabemos que las vocales y las consonantes están en el abecedario español, por tanto, C es el conjunto universo o sea C = U. Conjunto vacío y conjunto unitario. Extendemos la noción intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de unicidad de elementos mediante la introducción de los conjuntos vacío y unitario. Conjunto vacío y conjunto unitario Extendemos la noción intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de unicidad de elementos mediante la introducción de los conjuntos vacío y unitario. Definición Conjunto vacío. Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se simboliza ∅. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
  • 3. Definición Conjunto unitario. Un conjunto que tiene solamente un elemento se denomina conjunto unitario. Ejemplo Son conjuntos vacíos: A: la letra W de la palabra RAMON. B: los meses que tienen 27 días. Son conjuntos unitarios: C: las vocales de la palabra SOL. D: los números naturales entre 6 y 8. En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc. Contenido [ocultar] 1 Conjuntos 2 Operaciones con conjuntos 3 Leyes fundamentales 4 Ejemplo con dos conjuntos 5 Referencias 6 Véase también 7 Enlaces externos [editar] Conjuntos Artículo principal: Conjunto. Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.
  • 4. Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos: El conjunto universal, referencial o universo de discurso, que normalmente se denota por las letras , es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo. En la figura tenemos: Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, pertecece a un conjunto dado. Esto se indica como: Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica: Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como: Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica: Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos. [editar] Operaciones con conjuntos
  • 5. Veamos las operaciones con conjuntos, para ello lo ilustraremos con el ejemplo de la figura, donde puede ver el conjunto universal adoptado: U y dos conjuntos el A y el B, así como los elementos que pertenecen a cada uno: Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.1 Es decir: Con esta notación, se expresaria: Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).
  • 6. Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión. Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional Ley Asociativa Las "Leyes Asociativas" significan que no importa cómo se agrupen los números cuando los sumas o cuando los multiplicas. (En otras palabras no importa cuál calculas primero.) Ejemplo de suma: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) Porque 6 + 5 = 2 + 9 = 11 Ejemplo de multiplicación: (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5) 12 × 5 = 3 × 20 = 60 Ley Conmutativa 0 Las "Leyes Conmutativas" significa que puedes intercambiar números de cualquier manera y aún así obtener la misma respuesta cuando los sumes. O cuando los multipliques. Ejemplos: Puedes intercambiar cuando sumas: 3 + 6 = 6 + 3 Puedes intercambiar cuando multiplicas: 2 × 4 = 4 × 2