Leonardo Marcano Saia

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
I.U.P Santiago Mariño
Derivación e Integración de
Funciones de Varias
Variables
Autor:
Leonardo Marcano
C.I:27.330.756

2. Índice
• Introducción.
• Límite y continuidad de una función en el Espacio R3.
• Derivadas parciales.
• Diferencial total.
• Gradientes.
• Divergencia.
• Rotacional.
• Plano tangente.
• Recta normal.
• Conclusión.
• Bibliografía.
• Anexos.

3. Introducción
En este apartado estudiaremos el concepto de límite de una
función de varias variables y varias de las técnicas que se usan
en su cálculo. Luego establecemos la definición de función
continua y cómo estudiar la continuidad de una función de
varias variables. Se empieza con campos escalares y después se
extiende la definición a los campos vectoriales.

4. LímiteycontinuidaddeunafunciónenelEspacioR3.
Límite escalar
Límite en un punto de una función real de variable real
y = f (x) de la forma: f :D⊂ IR→IR donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x),
cuando x tiende a 0 x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0 x ≠ x y tal que
| − |< δ 0 x x se tenga que | f (x) − L |< ε .
Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de
proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L.
Es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método para
calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para
verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
Tenemos que destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el
valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.

5. Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea
de proximidad en el conjunto IR al espacio 𝐼𝑅 𝑛 . Para ello se introduce la
definición de bola abierta en n (que equivale al concepto de entrono de un
punto en IR.

9. Limites direccionales
Los límites direccionales no nos garantizan que exista el límite,
simplemente se usan para ver que no existe. Entonces si el límite para
un valor y=mx es distinto que para otro y=nx se puede asegurar que no
existe el límite, lo mismo que si no existe para una dirección. Pero
aunque el límite sea siempre el mismo para todas las direcciones no se
puede garantizar nada y a veces para ver que no hay límite se usan
otras direcciones, la que dices y=mx^2 sería la dirección dada por una
familia de parábolas y el fin es el mismo, demostrar que no existe.
Porque aunque fuese igual para todas las y=mx^2 te faltaría probar
que coincide con cualquier otra dirección por ejemplo mx^3, 1-e^(mx),
cos(mx), etc.

10. Derivadas parciales
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas
variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo
las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo
vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc.
Diferencia total
El diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a
una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los
del gradiente de la función.

11. Gradiente
La generalización del concepto de gradiente para funciones
vectoriales de varias variables es el concepto de matriz
Jacobiana.
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻
seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con
la divergencia, esta última se denota con un punto de producto
escalar entre el operador nabla y el campo). También puede
representarse mediante 𝛻𝑓 o usando la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .

12. Divergencia
Divergencia La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia
entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra
un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente
contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia
es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en
un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del
punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia
viene dada por la ecuación

13. donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el
límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha
superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que se calcula de la siguiente
forma:
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo
es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de
dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es
negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen,
por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el
campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería
nulo. En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la
ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades
sea que su divergencia es nula

14. Rotacional
Rotacional Se entiende por rotacional al operador vectorial que
muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un
punto. También se define como la circulación del vector sobre un
camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella
misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).

15. Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se
reduce a un punto.
El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un
vector), sino solo su componente según la dirección normal a 𝛻𝑠 y
orientada según la regla de la mano derecha.
Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites,
considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea
continuo y diferenciable en todos sus puntos.

16. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por
el determinante de la siguiente ecuación:

17. Plano tangente
Se llama plano tangente a una superficie en un punto al plano que
contiene a todas las rectas tangentes de todas las curvas trazadas
sobre la superficie que pasan por el punto. Si no todas las tangentes
están sobre el mismo plano, entonces se dice que no existe el plano
tangente. Analíticamente, esto significa que, para que exista el plano
tangente a una superficie en un punto de la misma, la función que
define la superficie ha de ser diferenciable en ese punto.
Si la función está expresada en forma explícita 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦), su plano
tangente en el punto P ha de contener todas las rectas tangentes a la
superficie en el punto P. En particular, ha de contener las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes x e y, por lo que los vectores: 𝑣
𝑡𝑥 = 1,0, 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) y 𝑣𝑡𝑦 = 0,1, 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) están contenidos en el
plano.

19. Recta Normal
Se llama recta normal a una superficie en un punto de la misma, a la recta que pasa
por P(𝑋0, 𝑌0 , 𝑍0) y tiene por vector director al vector normal a la superficie en
dicho punto; es decir, la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P.
Como vector normal a la superficie y se pueden usar de manera indistinta
cualquiera de los vectores gradiente 𝛻𝑓 𝑋0, 𝑌0 o 𝛻𝐹 𝑋0, 𝑌0 . Las ecuaciones
paramétricas de la recta normal son:
{𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋0, 𝑌0, 𝑍0} + {−𝑓𝑥 (𝑥0, 𝑦0) . −𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), 1} 𝑡
O
{𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋0, 𝑌0, 𝑍0} + {𝐹𝑥 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝐹𝑦 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝐹𝑧 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) } 𝑡
Las ecuaciones simétricas de la recta normal son:

21. Conclusión
La derivación e integración representan cálculos de importancia
para todo el que quiera ahondar en algún problema matemático, para
ello se parte por el tema pasado de funciones de varias variables, esta
vez se incluyo el tema de limites de dichas funciones y su resolución,
por otra parte también se tomo en cuenta la continuidad de esos
limites así como su derivada, secuencialmente también se estudio lo
que es derivadas parciales, diferencial total, gradiente, rotacional,
divergencia, plano tangente y recta normal.

22. Bibliografía
Medina Luis (2019) plano tangente y recta normal
https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_
Y_RECTA_NORMAL
Rúa maxwell (2011) rotacional y divergencia
http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetism
o/ magnetismo_rotacionalydivergencia.html
Wikipedia (2019) gradiente, diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total

23. Anexos
•https://youtu.be/pWccSRU3ntM
•https://www.youtube.com/watch?v=zDeeJBKiAfI
•https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
•https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg