derivada direccional por daniel nieto "Santiago mariño"

1. Alumno:
 Nieto L. Daniel A
CL 26.065.735
Ing. Electrónica
San cristobal, 27 de Enero 2018.

2. Derivada Direccional
La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado,
representa la tasa (el ritmo) de cambio de la función en la dirección de dicho
vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que éstas son
derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes, o sea las derivadas
parciales son derivadas direccionales en la dirección de los versores canónicos.
Normalmente se elige como vector un vector unitario o versor para la dirección
de la derivada direccional.
Recordemos que cada uno de los ejes coordenados tiene asociado un versor o
vector unitario que se denomina canónico, por ejemplo en R3 es: versor î para el
eje x, versor ǰ para el eje y, ý el versor ǩ para el eje z. Aclaremos que se denomina
versor o vector unitario a todo vector cuyo módulo sea una unidad de longitud. Así,
la expresión canónica en R3 para un vector en general es: v = v1.î + v2. ǰ + v3.ǩ.
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el
vector gradiente en azul, y el vector unitario escalado por la derivada direccional
en la dirección de en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque
apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.
Definición
La derivada direccional de una función escalar ϕ en la dirección de un vector
unitario (siendo ŭ el vector unitario: ŭ = u / | u | ) se define como el siguiente límite:

3. Además la derivada direccional del campo escalar ϕ en la dirección de ese
vector puede ser escrita en términos de su gradiente por el producto escalar del
vector unitario ŭ:
La derivada direccional en un punto, es máxima en la dirección del vector
gradiente en dicho punto y su valor es el módulo de dicho vector gradiente. La
derivada direccional es mínima en la dirección de menos el vector gradiente y su
valor es menos el módulo de dicho vector gradiente.
O sino, por ejemplo, sea f una función de dos variables x e y, ý sea
un vector unitario, con Ѳ como el ángulo que forma este vector
con el eje x. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de ŭ se
denota por Dŭf, y es:
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable . La
derivada direccional según la dirección de un vector unitario es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo
cual lleva, por ser diferenciable la función f, a:

4. Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el
vector :
Notaciones alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
donde es la parametrización de una curva para la cual es tangente y la cual
determina su magnitud.
Interpretación Geométrica
Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de en el punto en
la dirección de un vector unitario arbitrario . Para esto consideramos la
superficie con ecuación (la gráfica de ), y sea .
Entonces el punto está sobre . El plano vertical que pasa por el
punto en la dirección del vector intersecta a la superficie en la curva .
La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa de
cambio de en la dirección de .

5. Si es otro puntosobre lacurva , y si y sonlas proyeccionessobre el
plano de losvectores y , entoncesel vector esparaleloal vector ,y por
consiguiente:
Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u
para algún escalar . Así pues,
y la razón de cambio está dada por:

6. y al tomar el límite cuando obtenemos la tasa de cambio instantánea de
(con respecto a la distancia) en la dirección de , la cual se llama derivada
direccional de en la dirección de .
Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones y
definidas en la vecindad de un punto , donde son diferenciables:
 Regla de la suma:
 Regla del factor constante:
donde es cualquier constante.
 Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
 Regla de la cadena: Si es diferenciable en el punto y es diferenciable
en , entonces:

7. Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de en
, del tipo:
En este caso la derivada direccional es de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable
resulta que la aplicación:
es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano: