...

1. Derivada direccional
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el vector gradiente
en negro, y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la dirección
de en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la
dirección de la mayor tasa de incremento de una función.
Definición general
La derivada direccional de una función real de n variables:
En la dirección del vector:

2. Es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente
Donde " " denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En
cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa
de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y
dirección dada por en dicho punto.
Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después
de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector
de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en
otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando
lo que se quiere es la tasa de incremento de por unidad de distancia.int a,b,c;
a+b=c
Restricción al vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a
un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten
en una misma.
Demostración

3. El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que existe una función diferenciable . La derivada
direccional según la dirección de un vector unitario es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo
cual lleva, por ser diferenciable la función1 f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el
vector
Notaciones alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde es la parametrización de una curva para la cual es tangente y la cual
determina su magnitud.

4. Propiedades:
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones
definidas en la vecindad de un punto , donde son diferenciables:
 Regla de la suma:
 Regla del factor constante:
Donde es cualquier constante.
 Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
 Regla de la cadena: Si es diferenciable en el punto es
diferenciable en , entonces:
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable
resulta que la aplicación:

5. Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano: