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INFORME DE MATEMATICA IV II COMPONENTE.pdf

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TatianaA17

El documento presenta los resultados de 10 ejercicios de aplicación sobre métodos numéricos resueltos por un grupo de estudiantes. Los ejercicios involucran técnicas como interpolación de spline cúbica, métodos de trapecio simple y múltiple, y métodos de Simpson para aproximar soluciones.

Ingeniería
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1 UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL INFORME MÉTODOS NUMÉRICOS INTEGRANTES: GRUPO 04 - CHACON FLORES, PIERO - CORONADO TUÑOQUE, FERNANDO - GAONA CASTRO, EDWARD - HERRERA NIZAMA, RODOLFO - HUANCA CRUZ, DIOSNELL - JAIME SULLON, EVELIN LISBETH - JIMÉNEZ ADRIANZEN, JORGE - PÉREZ POICON, EMERSON - SANCHEZ CALDERON, JHON ASIGNATURA: MATEMÁTICA IV DOCENTE: SOLIS ULLOA, WILLIAM TRUJILLO – PIURA – PERÚ 2022
2 ÍNDICE INTRODUCCIÓN........................................................................................................................ 6 .............................................................................................................................. 7 ....................................................................................................................................................... 7 ..................................................................................................... 7 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:...................................................................................... 8 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 11 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 15 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 19 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN °05: ...................................................................................... 26 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 32 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 36 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 39 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................... 46 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................... 52 ............................................................................................................................ 55 .................................................................................................. 55 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 56 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 58 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 60 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 62 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 64 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 66 ............................................................................................................................ 68 .......................................................................................................... 68 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 69 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 70 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 71 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 72 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 73 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 74 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 75 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 76 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................... 77 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................... 78 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................... 79
3 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................... 80 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................... 81 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................... 82 ............................................................................................................................ 83 ........................................................................................ 83 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 84 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 86 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 88 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 90 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 92 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 94 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 96 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 98 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 100 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 101 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 103 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 105 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 107 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 109 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 111 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 114 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°18:.................................................................................. 128 .......................................................................................................................... 130 ........................................................................ 130 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 131 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 132 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 133 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 135 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 137 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 139 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 141 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 142 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 143 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 145 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 147 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 148
4 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 149 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 150 .......................................................................................................................... 152 ....................................................... 152 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 153 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 155 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 157 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 160 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 163 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 164 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 167 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 170 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 173 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 176 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 179 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 182 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 184 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 185 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 188 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 192 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 194 .......................................................................................................................... 198 ................................................................. 198 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 199 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 201 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 203 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 205 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 207 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 209 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 211 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 213 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 215 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 217 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 219 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 221 .......................................................................................................................... 223
5 ................................................ 223 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 224 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 226 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 229 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 232 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 235 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 238 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 240 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 243 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 246 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 249 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 252 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 255 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 257 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 260 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 263 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 266 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 268 .............................................................................................................................. 270 ............................................................................................................... 270 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 271 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 283 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 296 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 309 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 315 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 328 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 334 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 338 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 340 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 348 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 357
6 INTRODUCCIÓN El presente informe realizado para el curso de Matemática IV tiene como tema principal “MÉTODOS NÚMERICOS”, que son procedimientos mediante el cual casi siempre se obtiene de manera aproximada la solución de ciertos problemas, realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos. Este trabajo fue elaborado por el Grupo 04, cuyos nombres de cada integrante aparecen en la parte de la carátula, con la finalidad de desarrollar todos los ejercicios encomendados por el docente desde la semana 9 hasta la semana 15. Para la elaboración de este trabajo de la segunda componente se proponen diferentes tipos de métodos como: interpolación de spline, método del trapecio simple y múltiple, método de Simpson de un tercio simple y múltiple, método de Simpson de 3/8 simple y múltiple y método de Euler. Para la adecuada realización de los ejercicios tuvimos que aplicar y ampliar nuestros conocimientos obtenidos en clase y gracias a la organización de nuestro grupo se pudo concretar nuestro objetivo. Por último, el contenido de este informe nos mostrará cuán importante son estos diferentes tipos de métodos, ya que nos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas de los problemas y en la práctica profesional los errores pueden resultar costosos y en algunos casos catastróficos. Se espera cumplir con las competencias de la asignatura y haber aplicado de manera correcta nuestros conocimientos.
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8 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(1) = −2 → 𝑎1 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1 + 𝑑1 = −2 𝑠(3) = 4 → { 27𝑎1 + 9𝑏1 + 3𝑐1 + 𝑑1 = 4 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = 4 𝑠(5) = −6 → 125𝑎2 + 25𝑏2 + 5𝑐2 + 𝑑2 = −6 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 = 𝟑 en los dos polinomios e igualamos: 27𝑎1 + 6𝑏1 + 𝑐1 = 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 5ta ecuación
9 ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=3 18𝑎1 + 2𝑏1 = 18𝑎2 + 2𝑏2 En este punto contamos con 𝟔 ecuaciones y 𝟖 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(1) = 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑠´´(5) = 30𝑎2 + 2𝑏2 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 𝟖 ecuaciones c𝐨𝐧 𝟖 incógnitas, el cual es el siguiente: 𝑎1 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1 + 𝑑1 = −2 27𝑎1 + 9𝑏1 + 3𝑐1 + 𝑑1 = 4 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = 4 125𝑎2 + 25𝑏2 + 5𝑐2 + 𝑑2 = −6 27𝑎1 + 6𝑏1 + 𝑐1 = 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 18𝑎1 + 2𝑏1 = 18𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 30𝑎2 + 2𝑏2 = 0 ➢ forma matricial: [ 1 1 27 9 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 125 25 3 1 5 1 27 6 18 2 1 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 −27 −6 −18 −2 −1 0 0 0 0 0 30 2 0 0 0 0 ] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2] = [ −2 4 4 −6 0 0 0 0 ] 6ta ecuación 8va ecuación 7ma ecuación
10 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −0.5 𝑏1 = 1.5 𝑐1 = 3.5 𝑑1 = −6.5 𝑎2 = 0.5 𝑏2 = −7.5 𝑐2 = 30.5 𝑑2 = −33.5 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { −0.5𝑥3 + 1.5𝑥2 + 3.5𝑥 − 6.5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 0.5𝑥3 − 7.5𝑥2 + 30.5𝑥 − 33.5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ➢ Grafica:
11 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(−2) = 3 → 8𝑎1 + 4𝑏1 − 2𝑐1 + 𝑑1 = 3 𝑠(−1) = 1 → { −𝑎1 + 𝑏1 − 𝑐1 + 𝑑1 = 1 −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 𝑑2 = 1 𝑠(1) = 2 → { 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 = 2 𝑠(3) = −1 → 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑆′(𝑋) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟏. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟏 en los dos polinomios e igualamos: 𝒙 = −𝟏 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 7ma ecuación 5ta ecuación 6ta ecuación 8va ecuación
12 3𝑎1 − 2𝑏1 + 𝑐1 = 3𝑎2 − 2𝑏2 + 𝑐2 𝒙 = 𝟏 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 = 3𝑎3 + 2𝑏3 + 𝑐3 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: 𝒙 = −𝟏 −6𝑎1 + 2𝑏1 = −6𝑎2 + 2𝑏2 𝒙 = 𝟏 6𝑎2 + 2𝑏2 = 6𝑎3 + 2𝑏3 En este punto contamos con 10 ecuaciones y 12 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(−2) = −12𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑠´´(3) = 18𝑎2 + 2𝑏2 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 12 ecuaciones c𝐨𝐧 12 incógnitas, el cual es el siguiente: 8𝑎1 + 4𝑏1 − 2𝑐1 + 𝑑1 = 3 −𝑎1 + 𝑏1 − 𝑐1 + 𝑑1 = 1 −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 𝑑2 = 1 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 = 2 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 12ava ecuación ecuación 11ava ecuación 9na ecuación 10ma ecuación
13 3𝑎1 − 2𝑏1 + 𝑐1 − 3𝑎2 + 2𝑏2 − 𝑐2 = 0 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 − 3𝑎3 − 2𝑏3 − 𝑐3 = 0 −6𝑎1 + 2𝑏1 + 6𝑎2 − 2𝑏2 = 0 6𝑎2 + 2𝑏2 = 6𝑎3 + 2𝑏3 −12𝑎1 + 2𝑏1 = 0 18𝑎2 + 2𝑏2 = 0 ➢ forma matricial: [ 8 4 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 3 −2 1 0 −3 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 −6 2 0 0 6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 −12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3] = [ 3 1 1 2 2 −1 0 0 0 0 0 0 ] Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = 0.1087 𝑏1 = 0.65217 𝑐1 = 0.93478 𝑑1 = 1.3913 𝑎2 = −0.02717 𝑏2 = 0.24457 𝑐2 = 0.52717 𝑑2 = 1.25543 𝑎3 = −0.69022 𝑏3 = 2.2337 𝑐3 = −1.46196 𝑑3 = 1.91848 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { 0.1087𝑥3 + 0.65217𝑥2 + 0.93478𝑥 + 1.3913 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] −0.02717𝑥3 + 0.24457𝑥2 + 0.52717𝑥 + 1.25543 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] −0.69022𝑥3 + 2.2337𝑥2 + −1.46196𝑥 + 1.91848 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3]
14 ➢ Graficando:
15 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺(𝟏) = 𝟏; 𝑺(𝟐) = 𝟐; 𝑺(𝟑) = −𝟏; 𝑺(𝟒) = 𝟏 y satisface las dos condiciones adicionales 𝑺´(𝟏) = 𝑺´(𝟒); 𝑺´´(𝟏) = 𝑺´´(𝟒) SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑆(1) = 1 → 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 → { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑏2 + 2𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 → { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 1 → 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 1 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 2 y 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 en los polinomios e igualamos: 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 5ta ecuación
16 12 𝑎1 + 4 𝑏1 + 𝑐1 = 12 𝑎2 + 4 𝑏2 + 𝑐2 ⇒ 12 𝑎1 + 4 𝑏1 + 𝑐1 − 12 𝑎2 − 4 𝑏2 − 𝑐2 = 0 27 𝑎2 + 6 𝑏2 + 𝑐2 = 27 𝑎3 + 6 𝑏3 + 𝑐3 ⇒ 27 𝑎2 + 6 𝑏2 + 𝑐2 − 27 𝑎3 − 6 𝑏3 − 𝑐3 = 0 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=2 12 𝑎1 + 2 𝑏1 = 12 𝑎2 + 2 𝑏2 ⇒ 12 𝑎1 + 2 𝑏1 − 12 𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 X=3 18 𝑎2 + 2 𝑏2 = 18 𝑎3 + 2 𝑏3 ⇒ 18 𝑎2 + 2 𝑏2 − 18 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 En este punto contamos con 10 ecuaciones y 12 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: ➢ Resolvemos las condiciones adicionales planteadas en el problema, las cuales son: 𝑆´(1) = 𝑆´(4); 3 𝑎1 + 2 𝑏1 + 𝑐1 = 48 𝑎3 + 8 𝑏3 + 𝑐3 ⇒ 3 a1 + 2 b1 + c1 − 48 a3 − 8 b3 − c3 = 0 𝑆′′(1) = 𝑆′′(4) 6 𝑎1 + 2 𝑏1 = 24 𝑎3 + 2 𝑏3 ⇒ 6 𝑎1 + 2 𝑏1 − 24 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 12 ecuaciones c𝐨𝐧 12 incógnitas, el cual es el siguiente: 7ma ecuación 9na ecuación 12ava ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 10ma ecuación
17 { 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑏2 + 2𝑐2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 1 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 − 12𝑎2 − 4𝑏2 − 𝑐2 = 0 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 − 27𝑎3 − 6𝑏3 − 𝑐3 = 0 12 𝑎1 + 2 𝑏1 − 12 𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 18 𝑎2 + 2 𝑏2 − 18 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 3 a1 + 2 b1 + c1 − 48 a3 − 8 b3 − c3 = 0 6 𝑎1 + 2 𝑏1 − 24 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 ➢ forma matricial: [ 1 8 0 0 0 0 12 0 12 0 3 6 1 4 0 0 0 0 4 0 2 0 2 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 27 0 0 −12 27 −12 18 0 0 0 0 4 9 0 0 −4 6 −2 2 0 0 0 0 2 3 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 64 0 −27 0 −18 −48 −24 0 0 0 0 9 16 0 6 0 −2 −8 −2 0 0 0 0 3 4 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3] = [ 1 2 2 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 ] Obtenemos la siguiente solución: { 𝑎1 = −1 𝑏1 = 2.98148 𝑐1 = −0.94444 𝑑1 = −0.03704 𝑎2 = 1.03704 𝑏2 = −9.24074 𝑐2 = 23.5 𝑑2 = −16.33333 𝑎3 = −0.03704 𝑏3 = 0.42593 𝑐3 = 0.38889 𝑑3 = −5 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
18 𝑠(𝑥) = { − 𝑥3 + 2.98148 𝑥2 − 0.94444 𝑥 − 0.03704 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 1.03704 𝑥3 − 9.24074 𝑥2 + 23.5 𝑥 − 16.33333 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] −0.03704 𝑥3 + 0.42593 𝑥2 + 0.38889 𝑥 − 5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ Graficando:
19 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { a1𝑥3 + b1𝑥2 + c1x + d1 ;si x ∈ [0; 1] a2𝑥3 + b2𝑥2 + c2x + d2 ; si x ∈ [1; 2] a3𝑥3 + b3𝑥2 + c3x + d3 ; si x ∈ [2; 2.5] a4𝑥3 + b4𝑥2 + c4x + d4 ; si x ∈ [2.5; 3] a5𝑥3 + b5𝑥2 + c5x + d5 ; si x ∈ [3; 4] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(0) = 1.4 → 0a1 + 0b1 + 0c1 + d1 = 1.4 𝑆(1) = 0.6 → { a1 + b1 + c1 + d1 = 0.6 a2 + b2 + c2 + d2 = 0.6 𝑆(2) = 1 → { 8a2 + 4b2 + 2c2 + d2 = 1 8a3 + 4b3 + 2c3 + d3 = 1 𝑆(2.5) = 0.65 → { 15.625a3 + 6.25b3 + 2.5c3 + d3 = 0.65 15.625a4 + 6.25b4 + 2.5c4 + d4 = 0.65 𝑆(3) = 0.6 → { 27a4 + 9b4 + 3c4 + d4 = 0.6 27a5 + 9b5 + 3c5 + d5 = 0.6 𝑆(4) = 1 → 64𝑎5 + 16𝑏5 + 4𝑐5 + 𝑑5 = 1 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 7ma ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación 5ta ecuación
20 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑆′(𝑥) = { 3a1𝑥2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [0; 1] 3a2𝑥2 + 2b2x + c2 ;si x ∈ [1; 2] 3a3𝑥2 + 2b3x + c3 ;si x ∈ [2; 2.5] 3a4𝑥2 + 2b4x + c4 ;si x ∈ [2.5; 3] 3a5𝑥2 + 2b5x + c5 ;si x ∈ [3; 4] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 1, 𝒙 = 2, 𝒙 = 2.5 y 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3𝑎1(1)2 + 2𝑏1(1) + 𝑐1 = 3𝑎2(1)2 + 2𝑏2(1) + 𝑐2 3𝑎1 + 2𝑏1 + 𝑐1 = 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 = 3𝑎3(2)2 + 2𝑏3(2) + 𝑐3 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 = 12𝑎3 + 4𝑏3 + 𝑐3 3𝑎3(2.5)2 + 2𝑏3(2.5) + 𝑐3 = 3𝑎4(2.5)2 + 2𝑏4(2.5) + 𝑐4 18.75𝑎3 + 5𝑏3 + 𝑐3 = 18.75𝑎4 + 5𝑏4 + 𝑐4 3𝑎4(3)2 + 2𝑏4(3) + 𝑐4 = 3𝑎5(3)2 + 2𝑏5(3) + 𝑐5 27𝑎4 + 6𝑏4 + 𝑐4 = 27𝑎5 + 6𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠′′(𝑥) = { 6a1x + 2b1 ;si x ∈ [0; 1] 6a2x + 2b2 ;si x ∈ [1; 2] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [2; 2.5] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [2.5; 3] 6a5x + 2b5 ;si x ∈ [3; 4] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=1 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 6𝑎2(1) + 2 𝑏2 11ava ecuación 13ava ecuación 14ava ecuación 15ava ecuación 12ava ecuación
21 ⟹ 6𝑎1 + 2𝑏1 = 6𝑎2 + 2 𝑏2 X=2 6𝑎2(2) + 2𝑏2 = 6𝑎3(2) + 2 𝑏3 ⟹ 12𝑎2 + 2𝑏2 = 12𝑎3 + 2 𝑏3 X=2.5 6𝑎3(2.5) + 2𝑏3 = 6𝑎4(2.5) + 2 𝑏4 ⟹ 15𝑎3 + 2𝑏3 = 15𝑎4 + 2 𝑏4 X=3 6𝑎4(3) + 2𝑏4 = 6𝑎5(3) + 2 𝑏5 ⟹ 18𝑎4 + 2𝑏4 = 18𝑎5 + 2 𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑆′′(0) = 0 → 6𝑎1(0) + 2𝑏1 = 0 ∴ 0𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆′′(4) = 0 → 6𝑎5(4) + 2𝑏5 = 0 ∴ 24𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 0𝑎1 + 0𝑏1 + 0𝑐1 + 𝑑1 = 1.4 16ava ecuación 20ava ecuación 19ava ecuación 17ava ecuación 18ava ecuación
22 a1 + b1 + c1 + d1 = 0.6 a2 + b2 + c2 + d2 = 0.6 8a2 + 4b2 + 2c2 + d2 = 1 8a3 + 4b3 + 2c3 + d3 = 1 15.625a3 + 6.25b3 + 2.5c3 + d3 = 0.65 15.625a4 + 6.25b4 + 2.5c4 + d4 = 0.65 27a4 + 9b4 + 3c4 + d4 = 0.6 27a5 + 9b5 + 3c5 + d5 = 0.6 64a5 + 16b5 + 4c5 + d5 = 1 3𝑎1 + 2𝑏1 + 𝑐1 − 3𝑎2 − 2𝑏2 − 𝑐2 = 0 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 − 12𝑎3 − 4𝑏3 − 𝑐3 = 0 18.75𝑎3 + 5𝑏3 + 𝑐3 − 18.75𝑎4 − 5𝑏4 − 𝑐4 = 0 27𝑎4 + 6𝑏4 + 𝑐4 − 27𝑎5 − 6𝑏5 − 𝑐5 = 0 6𝑎1 + 2𝑏1 − 6𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 12𝑎2 + 2𝑏2 − 12𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 15𝑎3 + 2𝑏3 − 15𝑎4 − 2 𝑏4 = 0 18𝑎4 + 2𝑏4 − 18𝑎5 − 2 𝑏5 = 0 0𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎5 + 2𝑏5 = 0
23 ➢ forma matricial: [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.625 6.25 2.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.625 6.25 2.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.75 5 1 0 −18.75 −5 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 2 0 0 −15 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 1.4 0.6 0.6 1 1 0.65 0.65 0.6 0.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
24
25 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = 0.44647 𝑏1 = 0 𝑐1 = −1.24647 𝑑1 = 1.4 𝑎2 = −1.03237 𝑏2 = 4.43651 𝑐2 = −5.68299 𝑑2 = 2.87884 𝑎3 = 2.01660 𝑏3 = −13.85726 𝑐3 = 30.90456 𝑑3 = −21.51286 𝑎4 = −0.65228 𝑏4 = 6.15934 𝑐4 = −19.13693 𝑑4 = 20.18838 𝑎5 = −0.09627 𝑏5 = 1.15519 𝑐5 = −4.12448 𝑑5 = 5.17593 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑆(𝑥) = { 0.44647𝑥3 − 1.24647x + 1.4 ; x ∈ [0; 1] −1.03237𝑥3 + 4.43651𝑥2 − 5.68299x + 2.87884 ; x ∈ [1; 2] 2.0166𝑥3 − 13.85726𝑥2 + 30.90456x − 21.51286 ; x ∈ [2; 2.5] −0.65228𝑥3 + 6.15934𝑥2 − 19.13693x + 20.18838 ; x ∈ [2.5; 3] −0.09627𝑥3 + 1.15519𝑥2 − 4.12448x + 5.17593 ; x ∈ [3; 4] ➢ Graficando:
26 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN °05: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { a1𝑥3 + b1𝑥2 + c1x + d1 ; si x ∈ [0.15;0.76] a2𝑥3 + b2𝑥2 + c2x + d2 ; si x ∈ [0.76; 0.89] a3𝑥3 + b3𝑥2 + c3x + d3 ; si x ∈ [0.89; 1.07] a4𝑥3 + b4𝑥2 + c4x + d4 ; si x ∈ [1.07; 1.73] a5𝑥3 + b5𝑥2 + c5x + d5 ; si x ∈ [1.73; 2.11] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(0.15) = 0.3495 → 0.00338a1 + 0.0225b1 + 0.15c1 + d1 = 0.3495 𝑆(0.76) = 0.2989 → { 0.43898a1 + 0.5776b1 + 0.76c1 + d1 = 0.2989 0.43898a2 + 0.5776b2 + 0.76c2 + d2 = 0.2989 𝑆(0.89) = 0.2685 → { 0.70497a2 + 0.7921b2 + 0.89c2 + d2 = 0.2685 0.70497a3 + 0.7921b3 + 0.89c3 + d3 = 0.2685 𝑆(1.07) = 0.2251 → { 1.22504a3 + 1.1449b3 + 1.07c3 + d3 = 0.2251 1.22504a4 + 1.1449b4 + 1.07c4 + d4 = 0.2251 𝑆(1.73) = 0.0893 → { 5.17772a4 + 2.9929b4 + 1.73c4 + d4 = 0.0893 5.17772a5 + 2.9929b5 + 1.73c5 + d5 = 0.0893 𝑆(2.11) = 0.0431 → 9.39393𝑎5 + 4.4521𝑏5 + 2.11𝑐5 + 𝑑5 = 0.0431 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 7ma ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación 5ta ecuación
27 𝑆′(𝑥) = { 3a1𝑥2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [0.15; 0.76] 3a2𝑥2 + 2b2x + c2 ; si x ∈ [0.76; 0.89] 3a3𝑥2 + 2b3x + c3 ; si x ∈ [0.89; 1.07] 3a4𝑥2 + 2b4x + c4 ; si x ∈ [1.07; 1.73] 3a5𝑥2 + 2b5x + c5 ; si x ∈ [1.73; 2.11] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 0.76, 𝒙 = 0.89, 𝒙 = 1.07 y 𝒙 = 1.73. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3𝑎1(0.76)2 + 2𝑏1(0.76) + 𝑐1 = 3𝑎2(0.76)2 + 2𝑏2(0.76) + 𝑐2 1.7328𝑎1 + 1.52𝑏1 + 𝑐1 = 1.7328𝑎2 + 1.52𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(0.89)2 + 2𝑏2(0.89) + 𝑐2 = 3𝑎3(0.89)2 + 2𝑏3(0.89) + 𝑐3 2.3763𝑎2 + 1.78𝑏2 + 𝑐2 = 2.3763𝑎3 + 1.78𝑏3 + 𝑐3 3𝑎3(1.07)2 + 2𝑏3(1.07) + 𝑐3 = 3𝑎4(1.07)2 + 2𝑏4(1.07) + 𝑐4 3.4347𝑎3 + 2.14𝑏3 + 𝑐3 = 3.4347𝑎4 + 2.14𝑏4 + 𝑐4 3𝑎4(1.73)2 + 2𝑏4(1.73) + 𝑐4 = 3𝑎5(1.73)2 + 2𝑏5(1.73) + 𝑐5 8.9787𝑎4 + 3.46𝑏4 + 𝑐4 = 8.9787𝑎5 + 3.46𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠′′(𝑥) = { 6a1x + 2b1 ; si x ∈ [0.15;0.76] 6a2x + 2b2 ; si x ∈ [0.76;0.89] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [0.89;1.07] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [1.07;1.73] 6a5x + 2b5 ; si x ∈ [1.73;2.11] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=0.76 6𝑎1(0.76) + 2𝑏1 = 6𝑎2(0.76) + 2 𝑏2 ⟹ 4.56𝑎1 + 2𝑏1 = 4.56𝑎2 + 2 𝑏2 X=0.89 11ava ecuación 13ava ecuación 14ava ecuación 15ava ecuación 12ava ecuación
28 6𝑎2(0.89) + 2𝑏2 = 6𝑎3(0.89) + 2 𝑏3 ⟹ 5.34𝑎2 + 2𝑏2 = 5.34𝑎3 + 2 𝑏3 X=1.07 6𝑎3(1.07) + 2𝑏3 = 6𝑎4(1.07) + 2 𝑏4 ⟹ 6.42𝑎3 + 2𝑏3 = 6.42𝑎4 + 2 𝑏4 X=1.73 6𝑎4(1.73) + 2𝑏4 = 6𝑎5(1.73) + 2 𝑏5 ⟹ 10.38𝑎4 + 2𝑏4 = 10.38𝑎5 + 2 𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑆′′(0.15) = 0 → 6𝑎1(0.15) + 2𝑏1 = 0 ∴ 0.9𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆′′(2.11) = 0 → 6𝑎5(2.11) + 2𝑏5 = 0 ∴ 12.66𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 0.00338a1 + 0.0225b1 + 0.15c1 + d1 = 0.3495 0.43898a1 + 0.5776b1 + 0.76c1 + d1 = 0.2989 . 0.43898a2 + 0.5776b2 + 0.76c2 + d2 = 0.2989 16ava ecuación 20ava ecuación 19ava ecuación 17ava ecuación 18ava ecuación
29 0.70497a2 + 0.7921b2 + 0.89c2 + d2 = 0.2685 . 0.70497a3 + 0.7921b3 + 0.89c3 + d3 = 0.2685 1.22504a3 + 1.1449b3 + 1.07c3 + d3 = 0.2251 . 1.22504a4 + 1.1449b4 + 1.07c4 + d4 = 0.2251 5.17772a4 + 2.9929b4 + 1.73c4 + d4 = 0.0893 . 5.17772a5 + 2.9929b5 + 1.73c5 + d5 = 0.0893 9.39393𝑎5 + 4.4521𝑏5 + 2.11𝑐5 + 𝑑5 = 0.0431 1.7328𝑎1 + 1.52𝑏1 + 𝑐1 = 1.7328𝑎2 + 1.52𝑏2 + 𝑐2 2.3763𝑎2 + 1.78𝑏2 + 𝑐2 = 2.3763𝑎3 + 1.78𝑏3 + 𝑐3 3.4347𝑎3 + 2.14𝑏3 + 𝑐3 = 3.4347𝑎4 + 2.14𝑏4 + 𝑐4 8.9787𝑎4 + 3.46𝑏4 + 𝑐4 = 8.9787𝑎5 + 3.46𝑏5 + 𝑐5 4.56𝑎1 + 2𝑏1 = 4.56𝑎2 + 2 𝑏2 5.34𝑎2 + 2𝑏2 = 5.34𝑎3 + 2 𝑏3 6.42𝑎3 + 2𝑏3 = 6.42𝑎4 + 2 𝑏4 10.38𝑎4 + 2𝑏4 = 10.38𝑎5 + 2 𝑏5 0.9𝑎1 + 2𝑏1 = 0 12.66𝑎5 + 2𝑏5 = 0
30 ➢ forma matricial: [ 0.00338 0.0225 0.15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.43898 0.5776 0.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.43898 0.5776 0.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.70497 0.7921 0.89 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.70497 0.7921 0.89 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.22504 1.1449 1.07 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.22504 1.1449 1.07 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.17772 2.9929 1.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.17772 2.9929 1.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.39393 4.4521 2.11 1 1.7328 1.52 1 0 −1.7328 −1.52 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3763 1.78 1 0 −2.3763 −1.78 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4347 2.14 1 0 −3.4347 −2.14 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.9787 3.46 1 0 −8.9787 −3.46 −1 0 4.56 2 0 0 −4.56 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.34 2 0 0 −5.34 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.42 2 0 0 −6.42 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10.38 2 0 0 −10.38 −2 0 0 0.9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12.66 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 0.3495 0.2989 0.2989 0.2685 0.2685 0.2252 0.2251 0.0893 0.0893 0.0431 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
31 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −0.16815 𝑏1 = 0.07567 𝑐1 = −0.03173 𝑑1 = 0.35312 𝑎2 = 0.84292 𝑏2 = −2.22957 𝑐2 = 1.72025 𝑑2 = −0.09071 𝑎3 = 0.0143 𝑏3 = − 0.01715 𝑐3 = −0.24881 𝑑3 = 0.49344 𝑎4 = 0.05164 𝑏4 = −0.10671 𝑐4 = −0.15969 𝑑4 = 0.46644 𝑎5 = −0.09627 𝑏5 = 0.6235 𝑐5 = −1.42296 𝑑5 = 1.19493 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑆(𝑥) = { −0.16815 𝑥3 + 0.07567𝑥2 − 0.03173𝑥 + 0.35312 ; 𝑥 ∈ [0.15; 0.76] 0.84292𝑥3 − 2.22957𝑥2 + 1.72025𝑥 − 0.09071 ; 𝑥 ∈ [0.76; 0.84] 0.0143𝑥3 − 0.01715𝑥2 − 0.24881𝑥 + 0.49344 ; 𝑥 ∈ [0.84; 1.07] 0.0422𝑥3 − 0.10671𝑥2 − 0.15969𝑥 + 0.46644 ; 𝑥 ∈ [1.07; 1.73] −0.0985𝑥3 + 0.6235𝑥2 − 1.42296𝑥 + 1.19493 ; 𝑥 ∈ [1.73; 2.11] ➢ GRÁFICA:
32 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: S(2) = 5 ; S(4) = 6 ; S(5) = 9 ; S(8) = 5 ; S(10) = 4 SOLUCION: ➢ Primero, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman: S(x) = { a1x3 + b1x2 + c1x + d1 ;si x ∈ [2 ; 4] a2x3 + b2x2 + c2x + d2 ; si x ∈ [4 ; 5] a3x3 + b3x2 + c3x + d3 ; si x ∈ [5 ; 8] a4x3 + b4x2 + c4x + d4 ; si x ∈ [8 ; 10] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(2) = 5 → 8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = 5 S(4) = 6 → { 64a1 + 16b1 + 4c1 + d1 = 6 64a2 + 16b2 + 4c2 + d2 = 6 S(5) = 9 → { 125a2 + 25b2 + 5c2 + d2 = 9 125a3 + 25b3 + 5c3 + d3 = 9 S(8) = 5 → { 512a3 + 64b3 + 8c3 + d3 = 5 512a4 + 64b4 + 8c4 + d4 = 5 S(10) = 4 → 1000a4 + 100b4 + 10c4 + d4 = 4 ➢ Calculamos la primera derivada para analizar la continuidad: S′(x) = { 3a1x2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [2 ; 4] 3a2x2 + 2b2x + c2 ; si x ∈ [4 ; 5] 3a3x2 + 2b3x + c3 ; si x ∈ [5 ; 8] 3a4x2 + 2b4x + c4 ; si x ∈ [8 ; 10] las posibles discontinuidades de 𝐒’(𝒙) son x = 4, x = 5, x = 8. Por lo tanto, para hacer que 𝐒’(𝒙) sea continua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores: 48a1 + 8b1 + c1 = 48a2 + 8b2 + c2 → 48a1 + 8b1 + c1 − 48a2 − 8b2 − c2 = 0 1ra ecuación 2da ecuación 5ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 4ta ecuación 7ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación
33 75a2 + 10b2 + c2 = 75a3 + 10b3 + c3 → 75a2 + 10b2 + c2 − 75a3 − 10b3 − c3 = 0 192a3 + 16b3 + c3 = 192a4 + 16b4 + c4 → 192a3 + 16b3 + c3 − 192a4 − 16b4 − c4 = 0 ➢ Ahora procedemos a calcular la segunda derivada: S′′(x) = { 6a1x + 2b1 ;si x ∈ [2 ; 4] 6a2x + 2b2 ; si x ∈ [4 ; 5] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [5 ; 8] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [8 ; 10] las posibles discontinuidades son x = 4, x = 5, x = 8. Por lo tanto, para que S’’(𝒙) sea continua, se igualan las ecuaciones en ambos valores: 24a1 + 2b1 = 24a2 + 2b1 → 24a1 + 2b1 − 24a2 − 2b1 = 0 30a2 + 2b2 = 30a3 + 2b3 → 30a2 + 2b2 − 30a3 − 2b3 = 0 48a3 + 2b3 = 48a4 + 2b4 → 48a3 + 2b3 − 48a4 − 2b4 = 0 ➢ Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. S′′(2) = 0 → 6a1(2) + 2b1 = 0 → 12a1 + 2b1 = 0 S′′(10) = 0 → 6a4(10) + 2b4 = 0 → 60a4 + 2b4 = 0 ➢ Con esto tenemos un juego de 16 ecuaciones con 16 incógnitas: 1. 8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = 5 10ma ecuación 11ava ecuación 12ava ecuación 14ava ecuación 13ava ecuación 16ava ecuación 15ava ecuación
34 2. 64a1 + 16b1 + 4c1 + d1 = 6 3. 64a2 + 16b2 + 4c2 + d2 = 6 4. 125a2 + 25b2 + 5c2 + d2 = 9 5. 125a3 + 25b3 + 5c3 + d3 = 9 6. 512a3 + 64b3 + 8c3 + d3 = 5 7. 512a4 + 64b4 + 8c4 + d4 = 5 8. 1000a4 + 100b4 + 10c4 + d4 = 4 9. 48a1 + 8b1 + c1 − 48a2 − 8b2 − c2 = 0 10. 75a2 + 10b2 + c2 − 75a3 − 10b3 − c3 = 0 11. 192a3 + 16b3 + c3 − 192a4 − 16b4 − c4 = 0 12. 24a1 + 2b1 − 24a2 − 2b1 = 0 13. 30a2 + 2b2 − 30a3 − 2b3 = 0 14. 48a3 + 2b3 − 48a4 − 2b4 = 0 15. 12a1 + 2b1 = 0 16. 60a4 + 2b4 = 0 ➢ forma matricial: [ 8 4 2 64 16 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48 8 1 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 64 16 0 125 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -48 -8 0 75 10 0 0 0 0 -24 -2 0 30 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 5 1 0 0 0 125 0 0 512 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 -75 0 0 192 0 0 0 0 0 -30 0 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 5 1 64 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10 -1 0 16 1 0 0 0 0 -2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 512 64 1000 100 0 0 0 0 -192 -16 0 0 0 0 -48 -2 0 0 60 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 10 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4] = [ 5 6 6 9 9 5 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0] ➢ Desarrollando obtenemos la siguiente solución: a1 = 0.268 ; b1 = −1.611 ; c1 = 2.647 ; d1 = 4 a2 = −1.258 ; b2 = 16.707 ; c2 = −70.622 ; d2 = 101.692 a3 = 0.340 ; b3 = −7.268 ; c3 = 49.25 ; d3 = −98.094 a4 = −0.150 ; b4 = 4.495 ; c4 = −44.853 ; d4 = 152.846
35 ➢ Finalmente, sustituyendo en nuestra función inicial, la spline cubica queda definida como: S(x) = { 0.268x3 − 1.611x2 + 2.647x + 4 ; si x ∈ [2 ; 4] −1.258x3 + 16.707x2 − 70.622x + 101.692 ; si x ∈ [4 ; 5] 0.340x3 − 7.268x2 + 49.25x − 98.094 ; si x ∈ [5 ; 8] −0.150x3 + 4.495x2 − 44.853x + 152.846 ; si x ∈ [8 ; 10] ➢ Por último, graficamos:
36 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟏) = 𝟏; 𝑺 (𝟐) = 𝟐; 𝑺 (𝟑) = −𝟏 ; 𝑺 (𝟒) = 𝟑 𝒀 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑺′′ (𝟏) = 𝑺′′ (𝟒) = 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 𝑑2; 𝑥 ∈ [2,3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 𝑑3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝑆(1) = 1 ⟹ 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 ⟹ { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 ⟹ { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 3 ⟹ 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 3𝑎1(2)2 + 2𝑏1(2) + 𝑐1 = 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(3)2 + 2𝑏2(3) + 𝑐2 = 3𝑎3(3)2 + 2𝑏3(3) + 𝑐3
37 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 2𝑏1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 6𝑎2𝑥 2𝑏2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 6𝑎3𝑥 2𝑏3 ; 𝑥 ∈ [3,4] 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬: 6𝑎1(2) + 2𝑏1 = 6𝑎2(2) + 2𝑏2 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎2(3) + 2𝑏2 = 6𝑎3(3) + 2𝑏3 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 𝐂𝐨𝐦𝐨 𝐡𝐚𝐲 𝟏𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟏𝟐 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆´´൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(1) = 0 → 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 0 → 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(4) = 0 → 6𝑎3(4) + 2𝑏3 = 0 → 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 ➢ 𝐋𝐨 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0
38 | | | | 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 | | | | | | | | 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 | | | | = | | | | 1 2 2 −1 −1 3 0 0 0 0 0 0 | | | | 𝑎1 = −1.53333 𝑎2 = 3.6667 𝑎3 = −2.1333 𝑏1 = 4.6 𝑏2 = −26.6 𝑏3 = 25.6 𝑐1 = −2.0667 𝑐2 = 60.33 𝑐3 = −96.267 𝑑1 = 0 𝑑2 = −41.6 𝑑3 = 115 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝑆(𝑥) = { −1.5333𝑥3 + 4.6𝑥2 − 2.0667𝑥 + 0 ; 𝑥𝜖[1, 2] 3.6667𝑥3 − 26.6𝑥2 + 60.333𝑥 − 41.6 ; 𝑥𝜖[2 , 3] −2.1333𝑥3 + 25.6𝑥2 − 96.267𝑥 + 115 ; 𝑥𝜖[3 , 4] ➢ 𝐆𝐫𝐚𝐟𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬:
39 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙𝟐+𝟏 tomando los seis puntos de abscisas 𝒙𝒌 = 𝒌 𝟓 ; ∀ 𝐤 = 𝟎; 𝟓 ̅̅̅̅̅ SOLUCIÓN: 𝑥0 = 0 5 = 0 → 𝑓(𝑥0) = 1 𝑥1 = 1 5 → 𝑓(𝑥1) = 25 26 𝑥2 = 2 5 → 𝑓(𝑥2) = 25 29 𝑥3 = 3 5 → 𝑓(𝑥3) = 25 34 𝑥4 = 4 5 → 𝑓(𝑥4) = 25 41 𝑥5 = 5 5 = 1 → 𝑓(𝑥5) = 1 2 ➢ Definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 𝑎4𝑥3 + 𝑏4𝑥2 + 𝑐4𝑥 + 𝑑4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 𝑎5𝑥3 + 𝑏5𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑑5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(0) = 1 → 𝑑1 = 1
40 𝑠 ( 1 5 ) = 25 26 → { 1/125𝑎1 + 1/25𝑏1 + 1/5𝑐1 + 𝑑1 = 25/26 1/125𝑎2 + 1/25𝑏2 + 1/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/26 𝑠 ( 2 5 ) = 25 29 → { 8/125𝑎2 + 4/25𝑏2 + 2/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/29 8/125𝑎3 + 4/25𝑏3 + 2/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/29 𝑠 ( 3 5 ) = 25 34 → { 27/125𝑎3 + 9/25𝑏3 + 3/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/34 27/125𝑎4 + 9/25𝑏4 + 3/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/34 𝑠 ( 4 5 ) = 25 41 → { 64/125𝑎4 + 16/25𝑏4 + 4/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/41 64/125𝑎5 + 16/25𝑏5 + 4/5𝑐5 + 𝑑5 = 25/41 𝑠(1) = 1 2 → 𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5 + 𝑑5 = 1/2 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 3𝑎4𝑥2 + 2𝑏4𝑥 + 𝑐4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 3𝑎5𝑥2 + 2𝑏5𝑥 + 𝑐5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x=1/5; 𝒙 = 2/5; x=3/5; x=4/5. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3 25 𝑎1 + 2 5 𝑏1 + 𝑐1 = 3 25 𝑎2 + 2 5 𝑏2 + 𝑐2 12 25 𝑎2 + 4 5 𝑏2 + 𝑐2 = 12 25 𝑎3 + 4 5 𝑏3 + 𝑐3 27 25 𝑎3 + 6 5 𝑏3 + 𝑐3 = 27 25 𝑎4 + 6 5 𝑏4 + 𝑐4 48 25 𝑎4 + 8 5 𝑏4 + 𝑐4 = 48 25 𝑎5 + 8 5 𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada:
41 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 6𝑎4𝑥 + 2𝑏4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 6𝑎5𝑥 + 2𝑏5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=1/5; x=2/5; x=3/5; x=4/5 6 5 𝑎1 + 2𝑏1 = 6 5 𝑎2 + 2𝑏2 12 5 𝑎2 + 2𝑏2 = 12 5 𝑎3 + 2𝑏3 18 5 𝑎3 + 2𝑏3 = 18 5 𝑎4 + 2𝑏4 24 5 𝑎4 + 2𝑏4 = 24 5 𝑎5 + 2𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(0) = 2𝑏1 = 0 𝑠´´(1) = 6𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 𝑑1 = 1 1/125𝑎1 + 1/25𝑏1 + 1/5𝑐1 + 𝑑1 = 25/26 1/125𝑎2 + 1/25𝑏2 + 1/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/26 8/125𝑎2 + 4/25𝑏2 + 2/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/29 8/125𝑎3 + 4/25𝑏3 + 2/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/29
42 27/125𝑎3 + 9/25𝑏3 + 3/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/34 27/125𝑎4 + 9/25𝑏4 + 3/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/34 64/125𝑎4 + 16/25𝑏4 + 4/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/41 64/125𝑎5 + 16/25𝑏5 + 4/5𝑐5 + 𝑑5 = 25/41 𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5 + 𝑑5 = 1/2 3 25 𝑎1 + 2 5 𝑏1 + 𝑐1 = 3 25 𝑎2 + 2 5 𝑏2 + 𝑐2 12 25 𝑎2 + 4 5 𝑏2 + 𝑐2 = 12 25 𝑎3 + 4 5 𝑏3 + 𝑐3 27 25 𝑎3 + 6 5 𝑏3 + 𝑐3 = 27 25 𝑎4 + 6 5 𝑏4 + 𝑐4 48 25 𝑎4 + 8 5 𝑏4 + 𝑐4 = 48 25 𝑎5 + 8 5 𝑏5 + 𝑐5 6 5 𝑎1 + 2𝑏1 = 6 5 𝑎2 + 2𝑏2 12 5 𝑎2 + 2𝑏2 = 12 5 𝑎3 + 2𝑏3 18 5 𝑎3 + 2𝑏3 = 18 5 𝑎4 + 2𝑏4 24 5 𝑎4 + 2𝑏4 = 24 5 𝑎5 + 2𝑏5 𝑠´´(0) = 2𝑏1 = 0 𝑠´´(1) = 6𝑎5 + 2𝑏5 = 0
43 ➢ Cuya forma matricial es la siguiente: [ 0 1/125 0 0 0 0 0 0 0 0 3/25 0 0 0 6/5 0 0 0 0 0 0 1/25 0 0 0 0 0 0 0 0 2/5 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1/5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/125 8/125 0 0 0 0 0 0 −3/25 12/25 0 0 −6/5 12/5 0 0 0 0 0 0 1/25 4/25 0 0 0 0 0 0 −2/5 4/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 1/5 2/5 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/125 27/125 0 0 0 0 0 −12/25 27/25 0 0 −12/5 18/5 0 0 0 0 0 0 0 4/25 9/25 0 0 0 0 0 −4/5 6/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 2/5 3/5 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27/125 64/125 0 0 0 0 −27/25 48/25 0 0 −18/5 24/5 0 0 0 0 0 0 0 0 9/25 16/25 0 0 0 0 −6/5 8/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3/5 4/5 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 64/125 1 0 0 0 −48/5 0 0 0 −24/5 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 16/25 1 0 0 0 −8/5 0 0 0 −2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4/5 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 1 25/26 25/26 25/29 25/29 25/34 25/34 25/41 25/41 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
44 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −1.80484 𝑏1 = 0 𝑐1 = −0.12011 𝑑1 = 1 𝑎2 = 1.39823 𝑏2 = −1.92184 𝑐2 = 0.26425 𝑑2 = 0.97438 𝑎3 = 0.42496 𝑏3 = −0.75368 𝑐3 = −0.20301 𝑑3 = 1.03668 𝑎4 = 0.47051 𝑏4 = −0.83603 𝑐4 = −0.15360 𝑑4 = 1.0268 𝑎5 = −0.48865 𝑏5 = 1.46595 𝑐5 = −1.99518 𝑑5 = 1.51788 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { −1.80484𝑥3 − 0.12011𝑥 + 1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 1.39823𝑥3 − 1.92184𝑥2 + 0.26425𝑥 + 0.97438 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 0.42496𝑥3 − 0.75368𝑥2 − 0.20301𝑥 + 1.03668 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 0.47051𝑥3 − 0.83603𝑥2 − 0.15360𝑥 + 1.0268 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] −0.48865𝑥3 + 1.46595𝑥2 − 1.99518𝑥 + 1.51788 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1]
45 ➢ Grafica:
46 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟎, 𝟏) = 𝟏𝟎 ; 𝑺 (𝟎, 𝟐) = 𝟓; 𝑺 (𝟎, 𝟓) = 𝟐 ; 𝑺 (𝟏) = 𝟏 𝑺 (𝟐) = 𝟎, 𝟓 ; 𝑺(𝟓) = 𝟎, 𝟐; 𝑺 (𝟏𝟎) = 𝟎, 𝟏 𝒙𝒊 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 𝑺൫𝒙𝒊൯ 10 5 2 1 0.5 0.2 0.1 SOLUCION: ➢ Definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: S(x) { a1x3 + b1x2 + c1x + d1 ; xϵ[0.1 , 0.2] a2x3 + b2x2 + c2x + d2 ; xϵ[0.2 , 0.5] a3x3 + b3x2 + c3x + d3 ; xϵ[0.5 , 1] a4x3 + b4x2 + c4x + d4 ; xϵ[1 , 2] a5x3 + b5x2 + c5x + d5 ; xϵ[2 , 5] a6x3 + b6x2 + c6x + d6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐝𝐞𝐛𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝐀𝐬í, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞: S(0.1) = 10 ⟹ 0.001a1 + 0.01b1 + 0.1c1 + d1 = 10 S(0.2) = 5 ⟹ { 0.008a1 + 0.04b1 + 0.2c1 + d1 = 5 0.008a2 + 0.04b2 + 0.2c2 + d2 = 5 S(0.5) = 2 ⟹ { 0.125a2 + 0.25b2 + 0.5c2 + d2 = 2 0.125a3 + 0.25b3 + 0.5c3 + d3 = 2 S(1) = 1 ⟹ { 1a3 + 1b3 + 1c3 + d3 = 1 1a4 + 1b4 + 1c4 + d4 = 1 S(2) = 0.5 ⟹ { 8a4 + 4b4 + 2c4 + d4 = 0.5 8a5 + 4b5 + 2c5 + d5 = 0.5
47 S(5) = 0.2 ⟹ { 125a5 + 25b5 + 5c5 + d5 = 0.2 125a6 + 25b6 + 5c6 + d6 = 0.2 S(10) = 0.1 ⟹ 1000a6 + 100b6 + 10c6 + d6 = 0.1 ➢ 𝐃𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚: 𝑆´(x) { 3a1x2 + 2b1x + c1 ; xϵ[0.1 , 0.2] 3a2x2 + 2b2x + c2 ; xϵ[0.2 , 0.5] 3a3x2 + 2b3x + c3 ; xϵ[0.5 , 1] 3a4x2 + 2b4x + c4 ; xϵ[1 , 2] 3a5x2 + 2b5x + c5 ; xϵ[2 , 5] 3a6x2 + 2b6x + c6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐬′(𝐱) 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚: 3a1(0.04) + 2b1(0.2) + c1 = 3a2(0.04) + 2b2(0.2) + c2 0.12a1 + 0.4b1 + c1 = 0.12a2 + 0.4b2 + c2 3a2(0.25) + 2b2(0.5) + c2 = 3a3(0.25) + 2b3(0.5) + c3 0.5a2 + 1b2 + c2 = 0.5a3 + 1b3 + c3 3a3(1) + 2b3(1) + c3 = 3a4(1) + 2b4(1) + c4 3a3 + 2b3 + c3 = 3a4 + 2b4 + c4 3a4(4) + 2b4(2) + c4 = 3a5(4) + 2b5(2) + c5 12a4 + 4b4 + c4 = 12a5 + 4b5 + c5 3a5(25) + 2b5(5) + c5 = 3a6(25) + 2b6(5) + c6 75a5 + 10b5 + c5 = 75a6 + 10b6 + c6 ➢ 𝐏𝐫𝐨𝐜𝐞𝐝𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚: S´´(x) { 6a1x + 2b1 ; xϵ[0.1 , 0.2] 6a2x + 2b2 ; xϵ[0.2 , 0.5] 6a3x + 2b3 ; xϵ[0.5 , 1] 6a4x + 2b4 ; xϵ[1 , 2] 6a5x + 2b5 ; xϵ[2 , 5] 6a6x + 2b6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐬′′(𝐱) 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:
48 6a1(0.2) + 2b1 = 6a2(0.2) + 2b2 1.2a1 + 2b1 = 1.2a2 + 2b2 6a2(0.5) + 2b2 = 6a3(0.5) + 2b3 3a2 + 2b2 = 3a3 + 2b3 6a3(1) + 2b3 = 6a4(1) + 2b4 6a3x + 2b3 = 6a4x + 2b4 6a4(2) + 2b4 = 6a5(2) + 2b5 12a4 + 2b4 = 12a5 + 2b5 6a5(5) + 2b5 = 6a6(5) + 2b6 30a5 + 2b5 = 30a6 + 2b6 𝐄𝐧 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝟐𝟐 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟐𝟒 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝟐 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝; 𝐞𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥, 𝐬𝐞 𝐚𝐠𝐫𝐞𝐠𝐚𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝟐 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆" ൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(0.1) = 0 → 6𝑎1(0.1) + 2𝑏1 = 0 → 0.6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(10) = 0 → 6𝑎6(10) + 2𝑏6 = 0 → 60𝑎6 + 2𝑏6 = 0 𝐓𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐮𝐧 𝐣𝐮𝐞𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝟐𝟒 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝟐𝟒 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬: 1. 0.001a1 + 0.01b1 + 0.1c1 + d1 = 10 2. 0.008a1 + 0.04b1 + 0.2c1 + d1 = 5 3. 0.008a2 + 0.04b2 + 0.2c2 + d2 = 5 4. 0.125a2 + 0.25b2 + 0.5c2 + d2 = 2 5. 0.125a3 + 0.25b3 + 0.5c3 + d3 = 2 6. 1a3 + 1b3 + 1c3 + d3 = 1 7. 1a4 + 1b4 + 1c4 + d4 = 1 8. 8a4 + 4b4 + 2c4 + d4 = 0.5 9. 8a5 + 4b5 + 2c5 + d5 = 0.5 10. 125a5 + 25b5 + 5c5 + d5 = 0.2 11. 125a6 + 25b6 + 5c6 + d6 = 0.2 12. 1000a6 + 100b6 + 10c6 + d6 = 0.1 13. 0.12a1 + 0.4b1 + c1 = 0.12a2 + 0.4b2 + c2 14. 0.5a2 + 1b2 + c2 = 0.5a3 + 1b3 + c3 15. 3a3 + 2b3 + c3 = 3a4 + 2b4 + c4
49 16. 12a4 + 4b4 + c4 = 12a5 + 4b5 + c5 17. 75a5 + 10b5 + c5 = 75a6 + 10b6 + c6 18. 1.2a1 + 2b1 = 1.2a2 + 2b2 19. 3a2 + 2b2 = 3a3 + 2b3 20. 6a3x + 2b3 = 6a4x + 2b4 21. 12a4 + 2b4 = 12a5 + 2b5 22. 30a5 + 2b5 = 30a6 + 2b6 23. 0.6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24. 60𝑎6 + 2𝑏6 = 0
50 [ 0.001 0.01 0.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.04 0.2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.04 0.2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0.25 0.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0.25 0.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125 25 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125 25 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 100 10 1 0.12 0.4 1 0 −0.12 −0.4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 0 −0.5 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75 10 1 0 −75 −10 −1 0 1.2 2 0 0 0 −1.2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 −3 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 2 0 0 −30 −2 0 0 0.6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5 𝑎6 𝑏6 𝑐6 𝑑6] = [ 10 5 5 2 2 1 1 0.5 0.5 0.2 0.2 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
51 Obtenemos la siguiente solución. a1 = −859.7542 𝑎2 = 762.8708 𝑎3 = −502.6443 𝑏1 = 257.9263 𝑏2 = −495.9334 𝑏3 = 1402.3391 𝑐1 = −67.1951 𝑐2 = 39.6338 𝑐3 = −1225.8812 𝑑1 = 15 𝑑2 = 10.8076 𝑑3 = 327.1864 𝑎4 = 34.2294 𝑎5 = 0.3850 𝑎6 = −0.0373 𝑏4 = −208.2819 𝑏5 = −5.2155 𝑏6 = 1.1195 𝑐4 = 384.7398 𝑐5 = 21.3929 𝑐6 = −10.2824 𝑑4 = −209.6873 𝑑5 = −24.5039 𝑑6 = 28.2882 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐧𝐮𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥. 𝑆(𝑥) { −859.7542𝑥3 + 257.9263𝑥2 + −67.1951𝑥 + 15 ; 𝑥𝜖[0.1 , 0.2] 762.8708𝑥3 + −495.9334𝑥2 + 39.6338𝑥 + 10.8076 ; 𝑥𝜖[0.2 , 0.5] −502.6443𝑥3 + 1402.3391𝑥2 + −1225.8812𝑥 + 327.1864 ; 𝑥𝜖[0.5 , 1] 34.2294 𝑥3 + −208.2819𝑥2 + 384.7398𝑥 + −209.6873 ; 𝑥𝜖[1 , 2] 0.3850𝑥3 + −5.2155𝑥2 + 21.3929𝑥 + −24.5039 ; 𝑥𝜖[2 , 5] −0.0373𝑥3 + 1.1195𝑥2 + −10.2824𝑥 + 28.2882 ; 𝑥𝜖[5 , 10] ➢ 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔
52 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟏) = 𝟏; 𝑺 (𝟐) = 𝟐; 𝑺 (𝟑) = −𝟏 ; 𝑺 (𝟒) = 𝟑 𝒀 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑺′′ (𝟏) = 𝑺′′ (𝟒) = 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 𝑑2; 𝑥 ∈ [2,3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 𝑑3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝑆(1) = 1 ⟹ 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 ⟹ { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 ⟹ { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 3 ⟹ 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝒙𝒍 1 2 3 4 𝒇(𝒙𝒍) 1 2 -1 3
53 3𝑎1(2)2 + 2𝑏1(2) + 𝑐1 = 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(3)2 + 2𝑏2(3) + 𝑐2 = 3𝑎3(3)2 + 2𝑏3(3) + 𝑐3 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 2𝑏1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 6𝑎2𝑥 2𝑏2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 6𝑎3𝑥 2𝑏3 ; 𝑥 ∈ [3,4] 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬: 6𝑎1(2) + 2𝑏1 = 6𝑎2(2) + 2𝑏2 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎2(3) + 2𝑏2 = 6𝑎3(3) + 2𝑏3 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 𝐂𝐨𝐦𝐨 𝐡𝐚𝐲 𝟏𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟏𝟐 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆´´൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(1) = 0 → 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 0 → 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(4) = 0 → 6𝑎3(4) + 2𝑏3 = 0 → 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 ➢ 𝐋𝐨 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3
54 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 | | | | 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 | | | | | | | | 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 | | | | = | | | | 1 2 2 −1 −1 3 0 0 0 0 0 0 | | | | 𝑎1 = −1.53333 𝑎2 = 3.6667 𝑎3 = −2.1333 𝑏1 = 4.6 𝑏2 = −26.6 𝑏3 = 25.6 𝑐1 = −2.0667 𝑐2 = 60.33 𝑐3 = −96.267 𝑑1 = 0 𝑑2 = −41.6 𝑑3 = 115 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝑆(𝑥) = { −1.5333𝑥3 + 4.6𝑥2 − 2.0667𝑥 + 0 ; 𝑥𝜖[1, 2] 3.6667𝑥3 − 26.6𝑥2 + 60.333𝑥 − 41.6 ; 𝑥𝜖[2 , 3] −2.1333𝑥3 + 25.6𝑥2 − 96.267𝑥 + 115 ; 𝑥𝜖[3 , 4] ➢ 𝐆𝐫𝐚𝐟𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬:
55
56 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Hallar los coeficientes de 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑 de manera tal que la fórmula sea exacta para los polinomios del mayor grado posible. Hallar este grado: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟏𝒇(−𝟎. 𝟓) + 𝑨𝟐𝒇(𝟎) + 𝑨𝟑𝒇(𝟎. 𝟓) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: Primer polinomio: 𝑃0(𝑥) = 1 ∫ 1 𝑑𝑥 = 2 𝟏 −𝟏 𝐴1(1) + 𝐴2(1) + 𝐴3(1) = 2 Segundo polinomio: 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 0 𝟏 −𝟏 𝐴1(−0.5) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.5) = 0 Tercer polinomio: 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 3 𝟏 −𝟏 𝐴1(0.25) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.25) = 2 3 Para hallar los coeficientes aplicamos Gauss: 𝐴1(1) + 𝐴2(1) + 𝐴3(1) = 2 𝐴1(−0.5) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.5) = 0 [ 1 1 1 − 1 2 0 1 2 1 4 0 1 4 ] [ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ] = [ 2 0 2 3 ] 𝐴1(0.25) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.25) = 2 3
57 Respuesta a los coeficientes: 𝐴1 = 4/3 𝐴2 = −2/3 𝐴3 = 4/3 Ahora encontramos el mayor grado posible: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 3 𝑓(−0.5) − 2 3 𝑓(0) + 4 3 𝑓(0.5) 1 −1 Primer polinomio: 𝑃0(𝑥) = 1 { ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 = 2 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (1) − 2 3 (1) + 4 3 (1) = 2 Segundo polinomio: 𝑃1(𝑥) = 𝑥 { ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 0 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) − 2 3 (0) + 4 3 ( 1 2 ) = 0 Tercer polinomio: 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 { ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 = 2 𝟏 −𝟏 /3 𝑓(𝑥) = 4 3 ( 1 4 ) − 2 3 (0) + 4 3 ( 1 4 ) = 2/3 Cuarto polinomio: 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 { ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥4 4 = 0 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) 3 − 2 3 (0)3 + 4 3 ( 1 2 ) 3 = 0 Quinta polinomio: 𝑃4(𝑥) = 𝑥4 { ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥5 5 = 2/5 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) 4 − 2 3 (0)4 + 4 3 ( 1 2 ) 4 = 1/6 ∴ La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3
58 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Hallar los coeficientes de la siguiente fórmula de cuadratura para que tenga el mayor grado posible. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟎𝒇(𝟎. 𝟐𝟓) + 𝑨𝟏𝒇(𝟎. 𝟓) + 𝑨𝟐𝒇(𝟎. 𝟕𝟓) 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: 𝐹(𝑓) 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑃0(𝑥) = 1 ; 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ; 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∴ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃𝑛(𝑥)𝑑𝑥 1 0 1 0 i.- Para 𝑃0(𝑥) = 1 ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 1 ii.- Para 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 0.25𝐴0 + 0.5𝐴1 + 0.75𝐴2 = 1 2 Iii.- Para 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 (0.25)2 𝐴0 + (0.5)2 𝐴1 + (0.75)2 𝐴2 = 1 3 1 16 𝐴0 + 1 4 𝐴1 + 9 16 𝐴2 = 1 3 ➢ En forma matricial tenemos: [ 1 1 1 0.25 0.5 0.75 1 16 ⁄ 1 4 ⁄ 9 16 ⁄ ] [ 𝐴0 𝐴1 𝐴2 ] = [ 1 1 2 ⁄ 1 3 ⁄ ] ➢ Usando Eliminación Gaussiana
59 [ 1 1 1 1 0.25 0.5 0.75 1 2 ⁄ 1 16 ⁄ 1 4 ⁄ 9 16 ⁄ 1 3 ⁄ ] −0.25𝑓1 + 𝑓2 − 1 16 𝑓1 + 𝑓3 [ 1 1 1 1 0 0.25 0.5 0.25 0 3 16 ⁄ 1 2 ⁄ 13 48 ⁄ ] − 3 4 𝑓2 + 𝑓3 [ 1 1 1 1 0 0.25 0.5 0.25 0 0 1 8 ⁄ −5 48 ⁄ ] ➢ Finalmente hallando: 1 8 𝐴2 = − 5 48 ⇒ 𝐴2 = − 5 6 0.25𝐴1 + 0.5𝐴2 = 0.25 ⇒ 𝐴1 = 8 3 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 1 ⇒ 𝐴0 = − 5 6
60 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Hallar los coeficientes de 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑 de manera tal que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟏𝒇൫−√𝟑/𝟓൯ + 𝑨𝟐𝒇(𝟎) + 𝑨𝟑𝒇(√𝟑/𝟓) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: 𝑃0(𝑥) = 1 → ∫(1)𝑑𝑥 = 2 → 1 −1 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 2 𝑃1(𝑥) = 0 → ∫(𝑥)𝑑𝑥 = 1 2 → 1 −1 − √ 3 5 𝐴1 + √ 3 5 𝐴3 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → ∫(𝑥2 )𝑑𝑥 = 1 3 → 1 −1 3 5 𝐴1 + 3 5 𝐴3 = 2 3 (1)𝐴0 + (1)𝐴1 + (1)𝐴2 = 2 −√ 3 5 𝐴1 + (0)𝐴2 + √ 3 5 𝐴3 = 0 → [ 1 1 1 −√3 5 ⁄ 0 √3 5 ⁄ 3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ ] ∙ [ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ] = [ 2 0 2 3 ⁄ ] 3 5 𝐴1 + (0)𝐴2 + 3 5 𝐴3 = 2 3 [ 1 1 1 2 −√3 5 ⁄ 0 √3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ 2 3 ⁄ ] → √3 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 3 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 [ 1 1 1 2 0 √15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 0 − 3 5 ⁄ 0 − 8 15 ⁄ ] → √15 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 [ 1 1 1 2 0 √15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 0 0 6 5 ⁄ 2 3 ⁄ ] → √15 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2
61 Finalmente: 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 √ 15 5 𝐴2 + 2√15 5 𝐴3 = 2√15 5 6 5 𝐴3 = 2 3 • 𝐴3 = 5 9 • √ 15 5 𝐴2 + 2√15 5 ( 5 9 ) = 2√15 5 𝐴2 = 8 9 • 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 𝐴1 + 8 9 + 5 9 = 2 𝐴1 = 5 9
62 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Comprobar que la siguiente formula de cuadratura tiene grado de precisión ≥ 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟗𝟎 {𝟕𝒇(𝟎) + 𝟑𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟒 ) + 𝟏𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟑𝟐𝒇 ( 𝟑 𝟒 ) + 𝟕𝒇(𝟏)} 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐹(1) = 1 90 [7(1) + 32(1) + 12(1) + 32(1) + 7(1)] = 1 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟎(𝒙) = 𝟏 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 𝐹(𝑥) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 4 ) + 12 ( 1 2 ) + 32 ( 3 4 ) + 7(1)] = 1 2 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟏(𝒙) = 𝒙 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 𝐹(𝑥2) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 16 ) + 12 ( 1 4 ) + 32 ( 9 16 ) + 7(1)] = 1 3 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 1 4 1 0 𝐹(𝑥3) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 64 ) + 12 ( 1 8 ) + 32 ( 27 64 ) + 7(1)] = 1 4
63 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟑(𝒙) = 𝒙𝟑 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 1 5 1 0 𝐹(𝑥4) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 256 ) + 12 ( 1 16 ) + 32 ( 81 256 ) + 7(1)] = 1 5 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟒(𝒙) = 𝒙𝟒 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 1 6 1 0 𝐹(𝑥5) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 1024 ) + 12 ( 1 32 ) + 32 ( 243 1024 ) + 7(1)] = 1 6 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟓(𝒙) = 𝒙𝟓 ∫ 𝑥6 𝑑𝑥 = 1 7 1 0 𝐹(𝑥5) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 4096 ) + 12 ( 1 64 ) + 32 ( 729 4096 ) + 7(1)] = 55 384 𝑭(𝒇)𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟔(𝒙) = 𝒙𝟔 La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 5, más no de 4 como en el enunciado.
64 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Hallar los coeficientes 𝑨𝒊∀𝒊 = 𝟎, 𝟑 ̅̅̅̅̅, de tal manera que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que tres. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟎𝒇(−𝟏) + 𝑨𝟏𝒇 (− 𝟏 𝟑 ) + 𝑨𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟑 ) + 𝑨𝟑𝒇(𝟏) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: 𝑃0(𝑥) = 1 → { ∫ 1𝑑𝑥 1 −1 = 2 𝐹(𝑥) = 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 𝑃1(𝑥) = 𝑥 → { ∫ 𝑥𝑑𝑥 1 −1 = 0 𝐹(𝑥) = −𝐴0 − 1 3 𝐴1 + 1 3 𝐴2 + 𝐴3 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → { ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 2 3 𝐹(𝑥) = 𝐴0 + 1 9 𝐴1 + 1 9 𝐴2 + 𝐴3 = 2 3 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 → { ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 1 −1 = 0 𝐹(𝑥) = −𝐴0 − 1 27 𝐴1 + 1 27 𝐴2 + 𝐴3 = 0 ➢ Aplicando Gauss: | 1 1 1 1 −1 −1/3 1/3 1 1 −1 1/9 −1/27 1/9 1 1/27 1 | | 𝐴0 𝐴1 𝐴2 𝐴3 | = | | 2 0 2 3 0 | | 𝐴0 = 1 4 𝐴1 = 3/4 𝐴2 = 3/4 𝐴3 = 1/4
65 Entonces: 𝑃0(𝑥) = 1 → 1 4 + 3 4 + 3 4 + 1 4 = 2 𝑃1(𝑥) = 𝑥 → − 1 4 − 1 3 ( 3 4 ) + 1 3 ( 3 4 ) + 1 4 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → 1 4 + 1 9 ( 3 4 ) + 1 9 ( 3 4 ) + 1 4 = 2 3 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 → − 1 4 − 1 27 ( 3 4 ) + 1 27 ( 3 4 ) + 1 4 = 0 Por lo tanto: 1 4 𝑓(−1) + 3 4 𝑓 (− 1 3 ) + 3 4 𝑓 ( 1 3 ) + 1 4 𝑓(1) Es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 3.
66 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Hallar una fórmula de cuadratura que integre exactamente los polinomios de hasta grado 2, es decir, para que la formula dada sea de grado ≥ 𝟐 de la siguiente forma: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨[𝒇(𝒙𝟏) + 𝒇(𝒙𝟐)] 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: i.- Para 𝑷𝟎(𝒙) = 𝟏 ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐹(𝑓) = 𝐴[𝑓(𝑥1) + (𝑥2)] = 1 𝐴[1 + 1] = 1 ⇒ 𝐴 = 1 2 ii.- Para 𝑷𝟏(𝒙) = 𝒙 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 𝐹(𝑓) = 1 2 [𝑓(𝑥1) + (𝑥2)] = 1 2 1 2 [𝑥1 + 𝑥2] = 1 2 ⇒ 𝑥1 + 𝑥2 = 1 … (1) iii.- Para 𝑷𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 𝐹(𝑓) = 1 2 [𝑓(𝑥1)2 + (𝑥2)2] = 1 3
67 1 2 [𝑥1 2 + 𝑥2 2] = 1 3 ⇒ 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 2 3 … (2) ➢ Sabemos que: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Para (2) 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 2 3 (1 − 𝑥2)2 + 𝑥2 2 = 2 3 1 − 2𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 = 2 3 2𝑥2 − 2𝑥2 + 1 = 2 3 6𝑥2 − 6𝑥2 + 1 = 0 ∴ De: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 = 6 + √(−6)2 − 4(6)(1) 2(6) = 0.21132 𝑥2 = 6 − √(−6)2 − 4(6)(1) 2(6) = 0.78868 Por lo tanto, la fórmula de cuadratura quedaría de la siguiente manera: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝒇(𝟎. 𝟐𝟏𝟏𝟑𝟐) + 𝒇(𝟎. 𝟕𝟖𝟖𝟔𝟖)] 𝟏 −𝟏
68
69 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑥2 ⇒ 𝑓(0) = 𝑒02 = 1 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 𝑒𝑥2 ⇒ 𝑓(1) = 𝑒12 = 2.71828 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1 − 0) ( 𝑓(0) + 𝑓(1) 2 ) 1 0 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1) ( 1 + 2.71828 2 ) 1 0 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = 1.85914 1 0
70 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 𝒙 . 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 2 → 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑥 𝑥 ⇒ 𝑓(2) = 𝑒2 2 = 3.69453 𝑏 = 4 → 𝑓(𝑏) = 𝑒𝑥 𝑥 ⇒ 𝑓(4) = 𝑒4 4 = 13.64954 ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = (4 − 2) ( 𝑓(2) + 𝑓(4) 2 ) ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = (2) ( 3.69453 + 13.64954 2 ) ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = 17.34407
71 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 1 → 𝑓(𝑎) = 𝑥3 1 + √𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 13 1 + √1 = 0.5 𝑏 = 2 → 𝑓(𝑏) = 𝑥3 1 + √𝑥 ⇒ 𝑓(2) = 23 1 + √2 = 3.31371 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 = (2 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 2 1 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1) ( 0.5 + 3.31371 2 ) 2 1 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = 1.90686 2 1
72 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 . 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Formula del método de trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 = 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) × [ 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ (3 − 0) × [ 𝑓(0) + 𝑓(3) 2 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ (3) × [ (0 + 0.10511) 2 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ 0.15768
73 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝟏 √𝟐𝝅 . 𝒆−𝒙𝟐/𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = −1 → 𝑓(𝑎) = 1 √2𝜋 . 𝑒− 𝑥2 2 ⇒ 𝑓(1) = 1 √2𝜋 . 𝑒− (−1)2 2 = 0.65774 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 ⇒ 𝑓(−1) = 1 √2𝜋 . 𝑒−12/2 = 0.65774 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = (1 − (−1)) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 1 −1 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = (2) ( 0.65774 + 0.65774 2 ) 1 −1 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = 1.31548 1 −1
74 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒆−𝒙𝟐 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Usando la fórmula del método del trapecio: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎). [ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 ] 𝑏 𝑎 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = (2 − 1). [ √𝑒−12 12 + √𝑒−22 22 2 ] 2 1 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = (1). [ 0.60653 + 0.03383 2 ] 2 1 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟎𝟏𝟖 2 1
75 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒙 𝟑 . 𝒆𝒙 . 𝒅𝒙 𝟒 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Usando la fórmula del método del trapecio: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎). [ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 ] 𝑏 𝑎 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (4 − 0). [ √0 3 . 𝑒0 + √4 3 . 𝑒4 2 ] 4 0 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (4). [ 0 + 86.66916 2 ] 4 0 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏𝟕𝟑. 𝟑𝟑𝟖𝟑𝟐 4 0
76 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒙) 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Reemplazamos en la función los puntos a y b: 𝑏 = 1 ; 𝑓(𝑏) = 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 = 𝑓(1) = 𝑙𝑛(1 + 1) 1 + 12 = 0.34657 𝑎 = −1 ; 𝑓(𝑎) = ln(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 = 𝑓(𝑎) = 𝑙𝑛(1 + (−1)) 1 + (−1)2 = 0.34657 ➢ Algoritmo ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 [𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃)] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 1 − (−1) 2 [𝑓(−1) + 𝑓(1)] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 2 2 [0.34657 + 0.34657] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 0.69314
77 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝝅 𝟐 . 𝒆(𝟐− 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙) 𝟐𝝅 𝟎 . 𝒅𝒙 SOLUCIÓN: ➢ Reemplazamos en la función los puntos a y b: 𝑏 = 2𝜋 ; 𝑓(𝑏) = 𝜋 2 . 𝑒(2− 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑓(2𝜋) = 𝜋 2 . 𝑒(2− 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝜋) = 11.60670 𝑎 = 0 ; 𝑓(𝑎) = 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑓(0) = 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛0) = 11.60670 ➢ Algoritmo ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 [𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃)] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 2𝜋 − 0 2 [𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 𝜋[11.60670 + 11.60670] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 72.92705
78 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟐 . 𝒆𝒙 . 𝒅𝒙 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑥2 . 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 02 . 𝑒0 = 0 𝑏 = 3 → 𝑓(𝑏) = 𝑥2 . 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(3) = 32 . 𝑒3 = 180.76983 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (3 − 0) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 3 0 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (3) ( 0 + 180.76983 2 ) 3 0 ∫ 𝑥2.𝑒𝑥𝑑𝑥 ≈ 271.154745 3 0
79 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝟏 + 𝒙 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 1 + 0 = 0 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 1 + 1 = 0.392699 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 . 𝑑𝑥 = (1 − 0) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 1 0 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = (1) ( 0 + 0.392699 2 ) 1 0 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥 ≈ 1.19635 1 0
80 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫[𝟐 + 𝒔𝒆𝒏൫𝟐√𝒙൯]. 𝒅𝒙 𝟔 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 6 1 𝑑𝑥 = (6 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(6) 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5) ( (2 + 𝑆𝑒𝑛(2√1) + (2 + 𝑆𝑒𝑛(2√6) 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5) ( 2.9093 + 1.01736 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5)(1.96333) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = 𝟗. 𝟖𝟏𝟔𝟔𝟓
81 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 + 𝟏 . 𝒅𝒙 𝟔 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓(0) = cos (0) 0 + 1 = 1 𝑏 = 6 → 𝑓(𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓(6) = cos (6) 6 + 1 = 0.14207 ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = (6 − 0) ( 𝑓(0) + 𝑓(6) 2 ) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = (6) ( 1 + 0.14207 2 ) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = 3.42621
82 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟐 . 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙 𝟏.𝟓 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 1 → 𝑓(𝑎) = 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 12 . ln (1) = 0 𝑏 = 1.5 → 𝑓(𝑏) = 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑓(1.5) = 1.52 . ln (1.5) = 0.91230 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 = (1.5 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(1.5) 2 ) 1.5 1 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (0.5) ( 0 + 0.91230 2 ) 1.5 1 ∫ 𝑥2.𝑒𝑥𝑑𝑥 ≈ 0.22808 1.5 1
83
84 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟓 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 1 − 0 5 ℎ = 0.2 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝟎 𝟎. 𝟐 𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟖 𝟏 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(0) = 𝑒𝑥2 = 𝑒02 = 1 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(0.2) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.22 = 1.49182 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(0.4) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.42 = 1.17351 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(0.6) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.62 = 1.43333
85 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(0.8) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.82 = 1.89648 𝑓(𝑥5) ⟹ 𝑓(1) = 𝑒𝑥2 = 𝑒12 = 2.71828 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 1−0 2(5) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.2)൯ + 2൫𝑓(0.4)൯ + 2൫𝑓(0.6)൯ + 2൫𝑓(0.8)൯𝑓(1)] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 1 10 [1 + 2(1.49182) + 2(1.17351) + 2(1.43333) + 2(1.89648) + 2.71828] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 0.1[15.70856] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑡𝑔𝑥. 𝑑𝑥 1.2 0 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟎𝟖𝟔
86 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 𝒙 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟒 𝟒 𝟐 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 4 − 2 4 ℎ = 0.5 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟐 𝟐. 𝟓 𝟑 𝟑. 𝟓 𝟒 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(2) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒2 2 = 3.69453 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(2.5) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒2.5 2.5 = 4.87300 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(3) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒3 3 = 6.69518 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(3.5) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒3.5 3.5 = 9.46156
87 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(4) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒4 4 = 13.64954 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 4−2 2(4) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.2)൯ + 2൫𝑓(0.4)൯ + 2൫𝑓(0.6)൯ + 2൫𝑓(0.8)൯𝑓(1)] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 2 8 [3.69453 + 2(4.87300) + 2(6.69518) + 2(9.46156) + 13.64954 ] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 1 4 [59.40355] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 𝟏𝟒. 𝟖𝟓𝟎𝟖𝟗
88 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 ; 𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟓 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos el tamaño del paso, hallamos n: ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 0.25 = 2 − 1 𝑛 𝑛 = 4 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝟏. 𝟐𝟓 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟕𝟓 𝟐 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(1) = (1)3 1 + √1 = 1 2 𝑓(1.25) = (1.25)3 1 + √1.25 = 0.92214 𝑓(1.5) = (1.5)3 1 + √1.5 = 1.51703
89 𝑓(1.75) = (1.75)3 1 + √1.75 = 2.30722 𝑓(2) = (2)3 1 + √2 = 3.31371 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 = (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑥3 1+√𝑥 𝑑𝑥 2 1 = (2−1) 2(4) [𝑓(1) + 2൫𝑓(1.25) + 𝑓(1.5) + 𝑓(1.75)൯ + 𝑓(2)] ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 2 1 = (2 − 1) 2(4) [ 1 2 + 2(0.92 + 1.52 + 2.31) + 3.31] ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 2 1 = 𝟏. 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏
90 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 . 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒉 = 𝟎. 𝟓 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos el tamaño del paso, hallamos n: ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 0.5 = 3 − 0 𝑛 𝑛 = 6 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝟎 𝟎. 𝟓 𝟏 𝟏. 𝟓 𝟐 𝟐. 𝟓 𝟑 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(0) = 𝑒0 . 𝑠𝑒𝑛(0) 1 + 02 = 0 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(0.5) = 𝑒0.5 . 𝑠𝑒𝑛(0.5) 1 + 0.52 = 0.63235 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(1) = 𝑒1 . 𝑠𝑒𝑛(1) 1 + 12 = 1.14368 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(1.5) = 𝑒1.5 . 𝑠𝑒𝑛(1.5) 1 + 1.52 = 1.37553
91 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(2) = 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛(2) 1 + 22 = 1.34377 𝑓(𝑥5) ⟹ 𝑓(2.5) = 𝑒2.5 . 𝑠𝑒𝑛(2.5) 1 + 2.52 = 1.00564 𝑓(𝑥6) ⟹ 𝑓(3) = 𝑒3 . 𝑠𝑒𝑛(3) 1 + 32 = 0.28345 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑒𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 3−0 2(6) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.5)൯ + 2൫𝑓(1)൯ + 2൫𝑓(1.5)൯ + 2൫𝑓(2)൯ + 2(𝑓(2.5)) + 𝑓(3)] ∫ 𝑒𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 3−0 2(6) [0 + 2(0.63235) + 2(1.14368) + 2(1.37553) + 2(1.34377) + 2(1.00564) + 0.28345] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 1 4 [11.28539] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 𝟐. 𝟖𝟐𝟏𝟑𝟓
92 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝟏 √𝟐𝝅 . 𝒆−𝒙𝟐/𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟒 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 1 − (−1) 4 ℎ = 0.5 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 −𝟏 − 𝟎. 𝟓 𝟎 𝟎. 𝟓 𝟏 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) = 𝑓(−1) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −(−1)2 2 = 0.24197 𝑓(𝑥1) = 𝑓(−0.5) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −(−0.5)2 2 = 0.35206 𝑓(𝑥2) = 𝑓(0) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −02 2 = 0.39894
93 𝑓(𝑥3) = 𝑓(0.5) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −0.52 2 = 0.35206 𝑓(𝑥4) = 𝑓(1) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −12 2 = 0.24197 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 𝑑𝑥 1 −1 = (1 − (−1)) 2(4) [0.24197 + 2(0.35206 + 0.39894 + 0.35206) + 0.24197] ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 4 0 = 𝟎. 𝟔𝟕𝟐𝟓𝟐
94 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒆−𝒙𝟐 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟖 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 2 − 1 8 ℎ = 0.125 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝟏 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 𝟏. 𝟐𝟓 𝟏. 𝟑𝟕𝟓 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟔𝟐𝟓 𝟏. 𝟕𝟓 𝟏. 𝟖𝟕𝟓 𝟐 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(1) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1) = √𝑒− 12 12 ⇒ 𝑓(1) = 1.64872 𝑓(1.125) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.125) = √𝑒− 1.1252 1.1252 ⇒ 𝑓(1.125) = 1.48772 𝑓(1.25) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.25) = √𝑒− 1.252 1.252 ⇒ 𝑓(1.25) = 1.39789 𝑓(1.375) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.375) = √𝑒− 1.3752 1.3752 ⇒ 𝑓(1.375) = 1.36125
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INFORME DE MATEMATICA IV II COMPONENTE.pdf

  • 1. 1 UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL INFORME MÉTODOS NUMÉRICOS INTEGRANTES: GRUPO 04 - CHACON FLORES, PIERO - CORONADO TUÑOQUE, FERNANDO - GAONA CASTRO, EDWARD - HERRERA NIZAMA, RODOLFO - HUANCA CRUZ, DIOSNELL - JAIME SULLON, EVELIN LISBETH - JIMÉNEZ ADRIANZEN, JORGE - PÉREZ POICON, EMERSON - SANCHEZ CALDERON, JHON ASIGNATURA: MATEMÁTICA IV DOCENTE: SOLIS ULLOA, WILLIAM TRUJILLO – PIURA – PERÚ 2022
  • 2. 2 ÍNDICE INTRODUCCIÓN........................................................................................................................ 6 .............................................................................................................................. 7 ....................................................................................................................................................... 7 ..................................................................................................... 7 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:...................................................................................... 8 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 11 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 15 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 19 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN °05: ...................................................................................... 26 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 32 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 36 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 39 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................... 46 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................... 52 ............................................................................................................................ 55 .................................................................................................. 55 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 56 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 58 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 60 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 62 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 64 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 66 ............................................................................................................................ 68 .......................................................................................................... 68 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 69 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 70 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 71 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 72 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 73 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 74 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 75 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 76 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................... 77 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................... 78 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................... 79
  • 3. 3 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................... 80 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................... 81 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................... 82 ............................................................................................................................ 83 ........................................................................................ 83 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................... 84 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................... 86 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................... 88 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................... 90 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................... 92 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................... 94 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................... 96 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................... 98 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 100 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 101 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 103 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 105 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 107 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 109 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 111 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 114 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°18:.................................................................................. 128 .......................................................................................................................... 130 ........................................................................ 130 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 131 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 132 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 133 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 135 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 137 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 139 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 141 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 142 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 143 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 145 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 147 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 148
  • 4. 4 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 149 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 150 .......................................................................................................................... 152 ....................................................... 152 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 153 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 155 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 157 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 160 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 163 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 164 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 167 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 170 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 173 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 176 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 179 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 182 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 184 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 185 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 188 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 192 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 194 .......................................................................................................................... 198 ................................................................. 198 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 199 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 201 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 203 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 205 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 207 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 209 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 211 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 213 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 215 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 217 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 219 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 221 .......................................................................................................................... 223
  • 5. 5 ................................................ 223 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 224 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 226 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 229 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 232 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 235 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 238 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 240 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 243 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 246 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 249 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 252 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12:.................................................................................. 255 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13:.................................................................................. 257 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14:.................................................................................. 260 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°15:.................................................................................. 263 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°16:.................................................................................. 266 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°17:.................................................................................. 268 .............................................................................................................................. 270 ............................................................................................................... 270 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01:.................................................................................. 271 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02:.................................................................................. 283 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03:.................................................................................. 296 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04:.................................................................................. 309 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05:.................................................................................. 315 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06:.................................................................................. 328 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07:.................................................................................. 334 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08:.................................................................................. 338 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09:.................................................................................. 340 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10:.................................................................................. 348 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11:.................................................................................. 357
  • 6. 6 INTRODUCCIÓN El presente informe realizado para el curso de Matemática IV tiene como tema principal “MÉTODOS NÚMERICOS”, que son procedimientos mediante el cual casi siempre se obtiene de manera aproximada la solución de ciertos problemas, realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos. Este trabajo fue elaborado por el Grupo 04, cuyos nombres de cada integrante aparecen en la parte de la carátula, con la finalidad de desarrollar todos los ejercicios encomendados por el docente desde la semana 9 hasta la semana 15. Para la elaboración de este trabajo de la segunda componente se proponen diferentes tipos de métodos como: interpolación de spline, método del trapecio simple y múltiple, método de Simpson de un tercio simple y múltiple, método de Simpson de 3/8 simple y múltiple y método de Euler. Para la adecuada realización de los ejercicios tuvimos que aplicar y ampliar nuestros conocimientos obtenidos en clase y gracias a la organización de nuestro grupo se pudo concretar nuestro objetivo. Por último, el contenido de este informe nos mostrará cuán importante son estos diferentes tipos de métodos, ya que nos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas de los problemas y en la práctica profesional los errores pueden resultar costosos y en algunos casos catastróficos. Se espera cumplir con las competencias de la asignatura y haber aplicado de manera correcta nuestros conocimientos.
  • 7. 7
  • 8. 8 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(1) = −2 → 𝑎1 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1 + 𝑑1 = −2 𝑠(3) = 4 → { 27𝑎1 + 9𝑏1 + 3𝑐1 + 𝑑1 = 4 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = 4 𝑠(5) = −6 → 125𝑎2 + 25𝑏2 + 5𝑐2 + 𝑑2 = −6 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 = 𝟑 en los dos polinomios e igualamos: 27𝑎1 + 6𝑏1 + 𝑐1 = 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 5ta ecuación
  • 9. 9 ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=3 18𝑎1 + 2𝑏1 = 18𝑎2 + 2𝑏2 En este punto contamos con 𝟔 ecuaciones y 𝟖 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(1) = 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑠´´(5) = 30𝑎2 + 2𝑏2 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 𝟖 ecuaciones c𝐨𝐧 𝟖 incógnitas, el cual es el siguiente: 𝑎1 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1 + 𝑑1 = −2 27𝑎1 + 9𝑏1 + 3𝑐1 + 𝑑1 = 4 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = 4 125𝑎2 + 25𝑏2 + 5𝑐2 + 𝑑2 = −6 27𝑎1 + 6𝑏1 + 𝑐1 = 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 18𝑎1 + 2𝑏1 = 18𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 30𝑎2 + 2𝑏2 = 0 ➢ forma matricial: [ 1 1 27 9 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 125 25 3 1 5 1 27 6 18 2 1 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 −27 −6 −18 −2 −1 0 0 0 0 0 30 2 0 0 0 0 ] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2] = [ −2 4 4 −6 0 0 0 0 ] 6ta ecuación 8va ecuación 7ma ecuación
  • 10. 10 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −0.5 𝑏1 = 1.5 𝑐1 = 3.5 𝑑1 = −6.5 𝑎2 = 0.5 𝑏2 = −7.5 𝑐2 = 30.5 𝑑2 = −33.5 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { −0.5𝑥3 + 1.5𝑥2 + 3.5𝑥 − 6.5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] 0.5𝑥3 − 7.5𝑥2 + 30.5𝑥 − 33.5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.5] ➢ Grafica:
  • 11. 11 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(−2) = 3 → 8𝑎1 + 4𝑏1 − 2𝑐1 + 𝑑1 = 3 𝑠(−1) = 1 → { −𝑎1 + 𝑏1 − 𝑐1 + 𝑑1 = 1 −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 𝑑2 = 1 𝑠(1) = 2 → { 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 = 2 𝑠(3) = −1 → 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑆′(𝑋) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟏. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟏 en los dos polinomios e igualamos: 𝒙 = −𝟏 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 7ma ecuación 5ta ecuación 6ta ecuación 8va ecuación
  • 12. 12 3𝑎1 − 2𝑏1 + 𝑐1 = 3𝑎2 − 2𝑏2 + 𝑐2 𝒙 = 𝟏 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 = 3𝑎3 + 2𝑏3 + 𝑐3 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: 𝒙 = −𝟏 −6𝑎1 + 2𝑏1 = −6𝑎2 + 2𝑏2 𝒙 = 𝟏 6𝑎2 + 2𝑏2 = 6𝑎3 + 2𝑏3 En este punto contamos con 10 ecuaciones y 12 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(−2) = −12𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑠´´(3) = 18𝑎2 + 2𝑏2 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 12 ecuaciones c𝐨𝐧 12 incógnitas, el cual es el siguiente: 8𝑎1 + 4𝑏1 − 2𝑐1 + 𝑑1 = 3 −𝑎1 + 𝑏1 − 𝑐1 + 𝑑1 = 1 −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 𝑑2 = 1 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 = 2 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 12ava ecuación ecuación 11ava ecuación 9na ecuación 10ma ecuación
  • 13. 13 3𝑎1 − 2𝑏1 + 𝑐1 − 3𝑎2 + 2𝑏2 − 𝑐2 = 0 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 − 3𝑎3 − 2𝑏3 − 𝑐3 = 0 −6𝑎1 + 2𝑏1 + 6𝑎2 − 2𝑏2 = 0 6𝑎2 + 2𝑏2 = 6𝑎3 + 2𝑏3 −12𝑎1 + 2𝑏1 = 0 18𝑎2 + 2𝑏2 = 0 ➢ forma matricial: [ 8 4 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 3 −2 1 0 −3 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 −6 2 0 0 6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 −12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3] = [ 3 1 1 2 2 −1 0 0 0 0 0 0 ] Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = 0.1087 𝑏1 = 0.65217 𝑐1 = 0.93478 𝑑1 = 1.3913 𝑎2 = −0.02717 𝑏2 = 0.24457 𝑐2 = 0.52717 𝑑2 = 1.25543 𝑎3 = −0.69022 𝑏3 = 2.2337 𝑐3 = −1.46196 𝑑3 = 1.91848 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { 0.1087𝑥3 + 0.65217𝑥2 + 0.93478𝑥 + 1.3913 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−2, −1] −0.02717𝑥3 + 0.24457𝑥2 + 0.52717𝑥 + 1.25543 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[−1,1] −0.69022𝑥3 + 2.2337𝑥2 + −1.46196𝑥 + 1.91848 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,3]
  • 15. 15 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺(𝟏) = 𝟏; 𝑺(𝟐) = 𝟐; 𝑺(𝟑) = −𝟏; 𝑺(𝟒) = 𝟏 y satisface las dos condiciones adicionales 𝑺´(𝟏) = 𝑺´(𝟒); 𝑺´´(𝟏) = 𝑺´´(𝟒) SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑆(1) = 1 → 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 → { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑏2 + 2𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 → { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 1 → 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 1 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 2 y 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 𝒙 en los polinomios e igualamos: 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 5ta ecuación
  • 16. 16 12 𝑎1 + 4 𝑏1 + 𝑐1 = 12 𝑎2 + 4 𝑏2 + 𝑐2 ⇒ 12 𝑎1 + 4 𝑏1 + 𝑐1 − 12 𝑎2 − 4 𝑏2 − 𝑐2 = 0 27 𝑎2 + 6 𝑏2 + 𝑐2 = 27 𝑎3 + 6 𝑏3 + 𝑐3 ⇒ 27 𝑎2 + 6 𝑏2 + 𝑐2 − 27 𝑎3 − 6 𝑏3 − 𝑐3 = 0 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=2 12 𝑎1 + 2 𝑏1 = 12 𝑎2 + 2 𝑏2 ⇒ 12 𝑎1 + 2 𝑏1 − 12 𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 X=3 18 𝑎2 + 2 𝑏2 = 18 𝑎3 + 2 𝑏3 ⇒ 18 𝑎2 + 2 𝑏2 − 18 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 En este punto contamos con 10 ecuaciones y 12 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: ➢ Resolvemos las condiciones adicionales planteadas en el problema, las cuales son: 𝑆´(1) = 𝑆´(4); 3 𝑎1 + 2 𝑏1 + 𝑐1 = 48 𝑎3 + 8 𝑏3 + 𝑐3 ⇒ 3 a1 + 2 b1 + c1 − 48 a3 − 8 b3 − c3 = 0 𝑆′′(1) = 𝑆′′(4) 6 𝑎1 + 2 𝑏1 = 24 𝑎3 + 2 𝑏3 ⇒ 6 𝑎1 + 2 𝑏1 − 24 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 12 ecuaciones c𝐨𝐧 12 incógnitas, el cual es el siguiente: 7ma ecuación 9na ecuación 12ava ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 10ma ecuación
  • 17. 17 { 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑏2 + 2𝑐2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 1 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 − 12𝑎2 − 4𝑏2 − 𝑐2 = 0 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 − 27𝑎3 − 6𝑏3 − 𝑐3 = 0 12 𝑎1 + 2 𝑏1 − 12 𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 18 𝑎2 + 2 𝑏2 − 18 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 3 a1 + 2 b1 + c1 − 48 a3 − 8 b3 − c3 = 0 6 𝑎1 + 2 𝑏1 − 24 𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 ➢ forma matricial: [ 1 8 0 0 0 0 12 0 12 0 3 6 1 4 0 0 0 0 4 0 2 0 2 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 27 0 0 −12 27 −12 18 0 0 0 0 4 9 0 0 −4 6 −2 2 0 0 0 0 2 3 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 64 0 −27 0 −18 −48 −24 0 0 0 0 9 16 0 6 0 −2 −8 −2 0 0 0 0 3 4 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3] = [ 1 2 2 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 ] Obtenemos la siguiente solución: { 𝑎1 = −1 𝑏1 = 2.98148 𝑐1 = −0.94444 𝑑1 = −0.03704 𝑎2 = 1.03704 𝑏2 = −9.24074 𝑐2 = 23.5 𝑑2 = −16.33333 𝑎3 = −0.03704 𝑏3 = 0.42593 𝑐3 = 0.38889 𝑑3 = −5 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
  • 18. 18 𝑠(𝑥) = { − 𝑥3 + 2.98148 𝑥2 − 0.94444 𝑥 − 0.03704 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[1,2] 1.03704 𝑥3 − 9.24074 𝑥2 + 23.5 𝑥 − 16.33333 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[2.3] −0.03704 𝑥3 + 0.42593 𝑥2 + 0.38889 𝑥 − 5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[3.4] ➢ Graficando:
  • 19. 19 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { a1𝑥3 + b1𝑥2 + c1x + d1 ;si x ∈ [0; 1] a2𝑥3 + b2𝑥2 + c2x + d2 ; si x ∈ [1; 2] a3𝑥3 + b3𝑥2 + c3x + d3 ; si x ∈ [2; 2.5] a4𝑥3 + b4𝑥2 + c4x + d4 ; si x ∈ [2.5; 3] a5𝑥3 + b5𝑥2 + c5x + d5 ; si x ∈ [3; 4] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(0) = 1.4 → 0a1 + 0b1 + 0c1 + d1 = 1.4 𝑆(1) = 0.6 → { a1 + b1 + c1 + d1 = 0.6 a2 + b2 + c2 + d2 = 0.6 𝑆(2) = 1 → { 8a2 + 4b2 + 2c2 + d2 = 1 8a3 + 4b3 + 2c3 + d3 = 1 𝑆(2.5) = 0.65 → { 15.625a3 + 6.25b3 + 2.5c3 + d3 = 0.65 15.625a4 + 6.25b4 + 2.5c4 + d4 = 0.65 𝑆(3) = 0.6 → { 27a4 + 9b4 + 3c4 + d4 = 0.6 27a5 + 9b5 + 3c5 + d5 = 0.6 𝑆(4) = 1 → 64𝑎5 + 16𝑏5 + 4𝑐5 + 𝑑5 = 1 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 7ma ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación 5ta ecuación
  • 20. 20 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 𝑆′(𝑥) = { 3a1𝑥2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [0; 1] 3a2𝑥2 + 2b2x + c2 ;si x ∈ [1; 2] 3a3𝑥2 + 2b3x + c3 ;si x ∈ [2; 2.5] 3a4𝑥2 + 2b4x + c4 ;si x ∈ [2.5; 3] 3a5𝑥2 + 2b5x + c5 ;si x ∈ [3; 4] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 1, 𝒙 = 2, 𝒙 = 2.5 y 𝒙 = 𝟑. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3𝑎1(1)2 + 2𝑏1(1) + 𝑐1 = 3𝑎2(1)2 + 2𝑏2(1) + 𝑐2 3𝑎1 + 2𝑏1 + 𝑐1 = 3𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 = 3𝑎3(2)2 + 2𝑏3(2) + 𝑐3 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 = 12𝑎3 + 4𝑏3 + 𝑐3 3𝑎3(2.5)2 + 2𝑏3(2.5) + 𝑐3 = 3𝑎4(2.5)2 + 2𝑏4(2.5) + 𝑐4 18.75𝑎3 + 5𝑏3 + 𝑐3 = 18.75𝑎4 + 5𝑏4 + 𝑐4 3𝑎4(3)2 + 2𝑏4(3) + 𝑐4 = 3𝑎5(3)2 + 2𝑏5(3) + 𝑐5 27𝑎4 + 6𝑏4 + 𝑐4 = 27𝑎5 + 6𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠′′(𝑥) = { 6a1x + 2b1 ;si x ∈ [0; 1] 6a2x + 2b2 ;si x ∈ [1; 2] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [2; 2.5] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [2.5; 3] 6a5x + 2b5 ;si x ∈ [3; 4] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=1 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 6𝑎2(1) + 2 𝑏2 11ava ecuación 13ava ecuación 14ava ecuación 15ava ecuación 12ava ecuación
  • 21. 21 ⟹ 6𝑎1 + 2𝑏1 = 6𝑎2 + 2 𝑏2 X=2 6𝑎2(2) + 2𝑏2 = 6𝑎3(2) + 2 𝑏3 ⟹ 12𝑎2 + 2𝑏2 = 12𝑎3 + 2 𝑏3 X=2.5 6𝑎3(2.5) + 2𝑏3 = 6𝑎4(2.5) + 2 𝑏4 ⟹ 15𝑎3 + 2𝑏3 = 15𝑎4 + 2 𝑏4 X=3 6𝑎4(3) + 2𝑏4 = 6𝑎5(3) + 2 𝑏5 ⟹ 18𝑎4 + 2𝑏4 = 18𝑎5 + 2 𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑆′′(0) = 0 → 6𝑎1(0) + 2𝑏1 = 0 ∴ 0𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆′′(4) = 0 → 6𝑎5(4) + 2𝑏5 = 0 ∴ 24𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 0𝑎1 + 0𝑏1 + 0𝑐1 + 𝑑1 = 1.4 16ava ecuación 20ava ecuación 19ava ecuación 17ava ecuación 18ava ecuación
  • 22. 22 a1 + b1 + c1 + d1 = 0.6 a2 + b2 + c2 + d2 = 0.6 8a2 + 4b2 + 2c2 + d2 = 1 8a3 + 4b3 + 2c3 + d3 = 1 15.625a3 + 6.25b3 + 2.5c3 + d3 = 0.65 15.625a4 + 6.25b4 + 2.5c4 + d4 = 0.65 27a4 + 9b4 + 3c4 + d4 = 0.6 27a5 + 9b5 + 3c5 + d5 = 0.6 64a5 + 16b5 + 4c5 + d5 = 1 3𝑎1 + 2𝑏1 + 𝑐1 − 3𝑎2 − 2𝑏2 − 𝑐2 = 0 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 − 12𝑎3 − 4𝑏3 − 𝑐3 = 0 18.75𝑎3 + 5𝑏3 + 𝑐3 − 18.75𝑎4 − 5𝑏4 − 𝑐4 = 0 27𝑎4 + 6𝑏4 + 𝑐4 − 27𝑎5 − 6𝑏5 − 𝑐5 = 0 6𝑎1 + 2𝑏1 − 6𝑎2 − 2 𝑏2 = 0 12𝑎2 + 2𝑏2 − 12𝑎3 − 2 𝑏3 = 0 15𝑎3 + 2𝑏3 − 15𝑎4 − 2 𝑏4 = 0 18𝑎4 + 2𝑏4 − 18𝑎5 − 2 𝑏5 = 0 0𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎5 + 2𝑏5 = 0
  • 23. 23 ➢ forma matricial: [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.625 6.25 2.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.625 6.25 2.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.75 5 1 0 −18.75 −5 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 2 0 0 −15 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 1.4 0.6 0.6 1 1 0.65 0.65 0.6 0.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
  • 24. 24
  • 25. 25 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = 0.44647 𝑏1 = 0 𝑐1 = −1.24647 𝑑1 = 1.4 𝑎2 = −1.03237 𝑏2 = 4.43651 𝑐2 = −5.68299 𝑑2 = 2.87884 𝑎3 = 2.01660 𝑏3 = −13.85726 𝑐3 = 30.90456 𝑑3 = −21.51286 𝑎4 = −0.65228 𝑏4 = 6.15934 𝑐4 = −19.13693 𝑑4 = 20.18838 𝑎5 = −0.09627 𝑏5 = 1.15519 𝑐5 = −4.12448 𝑑5 = 5.17593 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑆(𝑥) = { 0.44647𝑥3 − 1.24647x + 1.4 ; x ∈ [0; 1] −1.03237𝑥3 + 4.43651𝑥2 − 5.68299x + 2.87884 ; x ∈ [1; 2] 2.0166𝑥3 − 13.85726𝑥2 + 30.90456x − 21.51286 ; x ∈ [2; 2.5] −0.65228𝑥3 + 6.15934𝑥2 − 19.13693x + 20.18838 ; x ∈ [2.5; 3] −0.09627𝑥3 + 1.15519𝑥2 − 4.12448x + 5.17593 ; x ∈ [3; 4] ➢ Graficando:
  • 26. 26 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN °05: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: SOLUCION: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { a1𝑥3 + b1𝑥2 + c1x + d1 ; si x ∈ [0.15;0.76] a2𝑥3 + b2𝑥2 + c2x + d2 ; si x ∈ [0.76; 0.89] a3𝑥3 + b3𝑥2 + c3x + d3 ; si x ∈ [0.89; 1.07] a4𝑥3 + b4𝑥2 + c4x + d4 ; si x ∈ [1.07; 1.73] a5𝑥3 + b5𝑥2 + c5x + d5 ; si x ∈ [1.73; 2.11] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(0.15) = 0.3495 → 0.00338a1 + 0.0225b1 + 0.15c1 + d1 = 0.3495 𝑆(0.76) = 0.2989 → { 0.43898a1 + 0.5776b1 + 0.76c1 + d1 = 0.2989 0.43898a2 + 0.5776b2 + 0.76c2 + d2 = 0.2989 𝑆(0.89) = 0.2685 → { 0.70497a2 + 0.7921b2 + 0.89c2 + d2 = 0.2685 0.70497a3 + 0.7921b3 + 0.89c3 + d3 = 0.2685 𝑆(1.07) = 0.2251 → { 1.22504a3 + 1.1449b3 + 1.07c3 + d3 = 0.2251 1.22504a4 + 1.1449b4 + 1.07c4 + d4 = 0.2251 𝑆(1.73) = 0.0893 → { 5.17772a4 + 2.9929b4 + 1.73c4 + d4 = 0.0893 5.17772a5 + 2.9929b5 + 1.73c5 + d5 = 0.0893 𝑆(2.11) = 0.0431 → 9.39393𝑎5 + 4.4521𝑏5 + 2.11𝑐5 + 𝑑5 = 0.0431 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para analizar la continuidad: 1ra ecuación 2da ecuación 4ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 7ma ecuación 10ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación 5ta ecuación
  • 27. 27 𝑆′(𝑥) = { 3a1𝑥2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [0.15; 0.76] 3a2𝑥2 + 2b2x + c2 ; si x ∈ [0.76; 0.89] 3a3𝑥2 + 2b3x + c3 ; si x ∈ [0.89; 1.07] 3a4𝑥2 + 2b4x + c4 ; si x ∈ [1.07; 1.73] 3a5𝑥2 + 2b5x + c5 ; si x ∈ [1.73; 2.11] ⇒Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 𝒙 = 0.76, 𝒙 = 0.89, 𝒙 = 1.07 y 𝒙 = 1.73. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3𝑎1(0.76)2 + 2𝑏1(0.76) + 𝑐1 = 3𝑎2(0.76)2 + 2𝑏2(0.76) + 𝑐2 1.7328𝑎1 + 1.52𝑏1 + 𝑐1 = 1.7328𝑎2 + 1.52𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(0.89)2 + 2𝑏2(0.89) + 𝑐2 = 3𝑎3(0.89)2 + 2𝑏3(0.89) + 𝑐3 2.3763𝑎2 + 1.78𝑏2 + 𝑐2 = 2.3763𝑎3 + 1.78𝑏3 + 𝑐3 3𝑎3(1.07)2 + 2𝑏3(1.07) + 𝑐3 = 3𝑎4(1.07)2 + 2𝑏4(1.07) + 𝑐4 3.4347𝑎3 + 2.14𝑏3 + 𝑐3 = 3.4347𝑎4 + 2.14𝑏4 + 𝑐4 3𝑎4(1.73)2 + 2𝑏4(1.73) + 𝑐4 = 3𝑎5(1.73)2 + 2𝑏5(1.73) + 𝑐5 8.9787𝑎4 + 3.46𝑏4 + 𝑐4 = 8.9787𝑎5 + 3.46𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada: 𝑠′′(𝑥) = { 6a1x + 2b1 ; si x ∈ [0.15;0.76] 6a2x + 2b2 ; si x ∈ [0.76;0.89] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [0.89;1.07] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [1.07;1.73] 6a5x + 2b5 ; si x ∈ [1.73;2.11] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=0.76 6𝑎1(0.76) + 2𝑏1 = 6𝑎2(0.76) + 2 𝑏2 ⟹ 4.56𝑎1 + 2𝑏1 = 4.56𝑎2 + 2 𝑏2 X=0.89 11ava ecuación 13ava ecuación 14ava ecuación 15ava ecuación 12ava ecuación
  • 28. 28 6𝑎2(0.89) + 2𝑏2 = 6𝑎3(0.89) + 2 𝑏3 ⟹ 5.34𝑎2 + 2𝑏2 = 5.34𝑎3 + 2 𝑏3 X=1.07 6𝑎3(1.07) + 2𝑏3 = 6𝑎4(1.07) + 2 𝑏4 ⟹ 6.42𝑎3 + 2𝑏3 = 6.42𝑎4 + 2 𝑏4 X=1.73 6𝑎4(1.73) + 2𝑏4 = 6𝑎5(1.73) + 2 𝑏5 ⟹ 10.38𝑎4 + 2𝑏4 = 10.38𝑎5 + 2 𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones de la segunda derivada: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑆′′(0.15) = 0 → 6𝑎1(0.15) + 2𝑏1 = 0 ∴ 0.9𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆′′(2.11) = 0 → 6𝑎5(2.11) + 2𝑏5 = 0 ∴ 12.66𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 0.00338a1 + 0.0225b1 + 0.15c1 + d1 = 0.3495 0.43898a1 + 0.5776b1 + 0.76c1 + d1 = 0.2989 . 0.43898a2 + 0.5776b2 + 0.76c2 + d2 = 0.2989 16ava ecuación 20ava ecuación 19ava ecuación 17ava ecuación 18ava ecuación
  • 29. 29 0.70497a2 + 0.7921b2 + 0.89c2 + d2 = 0.2685 . 0.70497a3 + 0.7921b3 + 0.89c3 + d3 = 0.2685 1.22504a3 + 1.1449b3 + 1.07c3 + d3 = 0.2251 . 1.22504a4 + 1.1449b4 + 1.07c4 + d4 = 0.2251 5.17772a4 + 2.9929b4 + 1.73c4 + d4 = 0.0893 . 5.17772a5 + 2.9929b5 + 1.73c5 + d5 = 0.0893 9.39393𝑎5 + 4.4521𝑏5 + 2.11𝑐5 + 𝑑5 = 0.0431 1.7328𝑎1 + 1.52𝑏1 + 𝑐1 = 1.7328𝑎2 + 1.52𝑏2 + 𝑐2 2.3763𝑎2 + 1.78𝑏2 + 𝑐2 = 2.3763𝑎3 + 1.78𝑏3 + 𝑐3 3.4347𝑎3 + 2.14𝑏3 + 𝑐3 = 3.4347𝑎4 + 2.14𝑏4 + 𝑐4 8.9787𝑎4 + 3.46𝑏4 + 𝑐4 = 8.9787𝑎5 + 3.46𝑏5 + 𝑐5 4.56𝑎1 + 2𝑏1 = 4.56𝑎2 + 2 𝑏2 5.34𝑎2 + 2𝑏2 = 5.34𝑎3 + 2 𝑏3 6.42𝑎3 + 2𝑏3 = 6.42𝑎4 + 2 𝑏4 10.38𝑎4 + 2𝑏4 = 10.38𝑎5 + 2 𝑏5 0.9𝑎1 + 2𝑏1 = 0 12.66𝑎5 + 2𝑏5 = 0
  • 30. 30 ➢ forma matricial: [ 0.00338 0.0225 0.15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.43898 0.5776 0.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.43898 0.5776 0.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.70497 0.7921 0.89 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.70497 0.7921 0.89 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.22504 1.1449 1.07 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.22504 1.1449 1.07 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.17772 2.9929 1.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.17772 2.9929 1.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.39393 4.4521 2.11 1 1.7328 1.52 1 0 −1.7328 −1.52 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3763 1.78 1 0 −2.3763 −1.78 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4347 2.14 1 0 −3.4347 −2.14 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.9787 3.46 1 0 −8.9787 −3.46 −1 0 4.56 2 0 0 −4.56 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.34 2 0 0 −5.34 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.42 2 0 0 −6.42 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10.38 2 0 0 −10.38 −2 0 0 0.9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12.66 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 0.3495 0.2989 0.2989 0.2685 0.2685 0.2252 0.2251 0.0893 0.0893 0.0431 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
  • 31. 31 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −0.16815 𝑏1 = 0.07567 𝑐1 = −0.03173 𝑑1 = 0.35312 𝑎2 = 0.84292 𝑏2 = −2.22957 𝑐2 = 1.72025 𝑑2 = −0.09071 𝑎3 = 0.0143 𝑏3 = − 0.01715 𝑐3 = −0.24881 𝑑3 = 0.49344 𝑎4 = 0.05164 𝑏4 = −0.10671 𝑐4 = −0.15969 𝑑4 = 0.46644 𝑎5 = −0.09627 𝑏5 = 0.6235 𝑐5 = −1.42296 𝑑5 = 1.19493 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑆(𝑥) = { −0.16815 𝑥3 + 0.07567𝑥2 − 0.03173𝑥 + 0.35312 ; 𝑥 ∈ [0.15; 0.76] 0.84292𝑥3 − 2.22957𝑥2 + 1.72025𝑥 − 0.09071 ; 𝑥 ∈ [0.76; 0.84] 0.0143𝑥3 − 0.01715𝑥2 − 0.24881𝑥 + 0.49344 ; 𝑥 ∈ [0.84; 1.07] 0.0422𝑥3 − 0.10671𝑥2 − 0.15969𝑥 + 0.46644 ; 𝑥 ∈ [1.07; 1.73] −0.0985𝑥3 + 0.6235𝑥2 − 1.42296𝑥 + 1.19493 ; 𝑥 ∈ [1.73; 2.11] ➢ GRÁFICA:
  • 32. 32 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: S(2) = 5 ; S(4) = 6 ; S(5) = 9 ; S(8) = 5 ; S(10) = 4 SOLUCION: ➢ Primero, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman: S(x) = { a1x3 + b1x2 + c1x + d1 ;si x ∈ [2 ; 4] a2x3 + b2x2 + c2x + d2 ; si x ∈ [4 ; 5] a3x3 + b3x2 + c3x + d3 ; si x ∈ [5 ; 8] a4x3 + b4x2 + c4x + d4 ; si x ∈ [8 ; 10] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(2) = 5 → 8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = 5 S(4) = 6 → { 64a1 + 16b1 + 4c1 + d1 = 6 64a2 + 16b2 + 4c2 + d2 = 6 S(5) = 9 → { 125a2 + 25b2 + 5c2 + d2 = 9 125a3 + 25b3 + 5c3 + d3 = 9 S(8) = 5 → { 512a3 + 64b3 + 8c3 + d3 = 5 512a4 + 64b4 + 8c4 + d4 = 5 S(10) = 4 → 1000a4 + 100b4 + 10c4 + d4 = 4 ➢ Calculamos la primera derivada para analizar la continuidad: S′(x) = { 3a1x2 + 2b1x + c1 ; si x ∈ [2 ; 4] 3a2x2 + 2b2x + c2 ; si x ∈ [4 ; 5] 3a3x2 + 2b3x + c3 ; si x ∈ [5 ; 8] 3a4x2 + 2b4x + c4 ; si x ∈ [8 ; 10] las posibles discontinuidades de 𝐒’(𝒙) son x = 4, x = 5, x = 8. Por lo tanto, para hacer que 𝐒’(𝒙) sea continua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores: 48a1 + 8b1 + c1 = 48a2 + 8b2 + c2 → 48a1 + 8b1 + c1 − 48a2 − 8b2 − c2 = 0 1ra ecuación 2da ecuación 5ta ecuación 3ra ecuación 6ta ecuación 4ta ecuación 7ma ecuación 8va ecuación 9na ecuación
  • 33. 33 75a2 + 10b2 + c2 = 75a3 + 10b3 + c3 → 75a2 + 10b2 + c2 − 75a3 − 10b3 − c3 = 0 192a3 + 16b3 + c3 = 192a4 + 16b4 + c4 → 192a3 + 16b3 + c3 − 192a4 − 16b4 − c4 = 0 ➢ Ahora procedemos a calcular la segunda derivada: S′′(x) = { 6a1x + 2b1 ;si x ∈ [2 ; 4] 6a2x + 2b2 ; si x ∈ [4 ; 5] 6a3x + 2b3 ; si x ∈ [5 ; 8] 6a4x + 2b4 ; si x ∈ [8 ; 10] las posibles discontinuidades son x = 4, x = 5, x = 8. Por lo tanto, para que S’’(𝒙) sea continua, se igualan las ecuaciones en ambos valores: 24a1 + 2b1 = 24a2 + 2b1 → 24a1 + 2b1 − 24a2 − 2b1 = 0 30a2 + 2b2 = 30a3 + 2b3 → 30a2 + 2b2 − 30a3 − 2b3 = 0 48a3 + 2b3 = 48a4 + 2b4 → 48a3 + 2b3 − 48a4 − 2b4 = 0 ➢ Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. S′′(2) = 0 → 6a1(2) + 2b1 = 0 → 12a1 + 2b1 = 0 S′′(10) = 0 → 6a4(10) + 2b4 = 0 → 60a4 + 2b4 = 0 ➢ Con esto tenemos un juego de 16 ecuaciones con 16 incógnitas: 1. 8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = 5 10ma ecuación 11ava ecuación 12ava ecuación 14ava ecuación 13ava ecuación 16ava ecuación 15ava ecuación
  • 34. 34 2. 64a1 + 16b1 + 4c1 + d1 = 6 3. 64a2 + 16b2 + 4c2 + d2 = 6 4. 125a2 + 25b2 + 5c2 + d2 = 9 5. 125a3 + 25b3 + 5c3 + d3 = 9 6. 512a3 + 64b3 + 8c3 + d3 = 5 7. 512a4 + 64b4 + 8c4 + d4 = 5 8. 1000a4 + 100b4 + 10c4 + d4 = 4 9. 48a1 + 8b1 + c1 − 48a2 − 8b2 − c2 = 0 10. 75a2 + 10b2 + c2 − 75a3 − 10b3 − c3 = 0 11. 192a3 + 16b3 + c3 − 192a4 − 16b4 − c4 = 0 12. 24a1 + 2b1 − 24a2 − 2b1 = 0 13. 30a2 + 2b2 − 30a3 − 2b3 = 0 14. 48a3 + 2b3 − 48a4 − 2b4 = 0 15. 12a1 + 2b1 = 0 16. 60a4 + 2b4 = 0 ➢ forma matricial: [ 8 4 2 64 16 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48 8 1 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 64 16 0 125 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -48 -8 0 75 10 0 0 0 0 -24 -2 0 30 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 5 1 0 0 0 125 0 0 512 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 -75 0 0 192 0 0 0 0 0 -30 0 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 5 1 64 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10 -1 0 16 1 0 0 0 0 -2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 512 64 1000 100 0 0 0 0 -192 -16 0 0 0 0 -48 -2 0 0 60 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 10 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4] = [ 5 6 6 9 9 5 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0] ➢ Desarrollando obtenemos la siguiente solución: a1 = 0.268 ; b1 = −1.611 ; c1 = 2.647 ; d1 = 4 a2 = −1.258 ; b2 = 16.707 ; c2 = −70.622 ; d2 = 101.692 a3 = 0.340 ; b3 = −7.268 ; c3 = 49.25 ; d3 = −98.094 a4 = −0.150 ; b4 = 4.495 ; c4 = −44.853 ; d4 = 152.846
  • 35. 35 ➢ Finalmente, sustituyendo en nuestra función inicial, la spline cubica queda definida como: S(x) = { 0.268x3 − 1.611x2 + 2.647x + 4 ; si x ∈ [2 ; 4] −1.258x3 + 16.707x2 − 70.622x + 101.692 ; si x ∈ [4 ; 5] 0.340x3 − 7.268x2 + 49.25x − 98.094 ; si x ∈ [5 ; 8] −0.150x3 + 4.495x2 − 44.853x + 152.846 ; si x ∈ [8 ; 10] ➢ Por último, graficamos:
  • 36. 36 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟏) = 𝟏; 𝑺 (𝟐) = 𝟐; 𝑺 (𝟑) = −𝟏 ; 𝑺 (𝟒) = 𝟑 𝒀 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑺′′ (𝟏) = 𝑺′′ (𝟒) = 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 𝑑2; 𝑥 ∈ [2,3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 𝑑3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝑆(1) = 1 ⟹ 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 ⟹ { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 ⟹ { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 3 ⟹ 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 3𝑎1(2)2 + 2𝑏1(2) + 𝑐1 = 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(3)2 + 2𝑏2(3) + 𝑐2 = 3𝑎3(3)2 + 2𝑏3(3) + 𝑐3
  • 37. 37 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 2𝑏1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 6𝑎2𝑥 2𝑏2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 6𝑎3𝑥 2𝑏3 ; 𝑥 ∈ [3,4] 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬: 6𝑎1(2) + 2𝑏1 = 6𝑎2(2) + 2𝑏2 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎2(3) + 2𝑏2 = 6𝑎3(3) + 2𝑏3 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 𝐂𝐨𝐦𝐨 𝐡𝐚𝐲 𝟏𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟏𝟐 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆´´൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(1) = 0 → 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 0 → 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(4) = 0 → 6𝑎3(4) + 2𝑏3 = 0 → 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 ➢ 𝐋𝐨 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0
  • 38. 38 | | | | 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 | | | | | | | | 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 | | | | = | | | | 1 2 2 −1 −1 3 0 0 0 0 0 0 | | | | 𝑎1 = −1.53333 𝑎2 = 3.6667 𝑎3 = −2.1333 𝑏1 = 4.6 𝑏2 = −26.6 𝑏3 = 25.6 𝑐1 = −2.0667 𝑐2 = 60.33 𝑐3 = −96.267 𝑑1 = 0 𝑑2 = −41.6 𝑑3 = 115 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝑆(𝑥) = { −1.5333𝑥3 + 4.6𝑥2 − 2.0667𝑥 + 0 ; 𝑥𝜖[1, 2] 3.6667𝑥3 − 26.6𝑥2 + 60.333𝑥 − 41.6 ; 𝑥𝜖[2 , 3] −2.1333𝑥3 + 25.6𝑥2 − 96.267𝑥 + 115 ; 𝑥𝜖[3 , 4] ➢ 𝐆𝐫𝐚𝐟𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬:
  • 39. 39 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙𝟐+𝟏 tomando los seis puntos de abscisas 𝒙𝒌 = 𝒌 𝟓 ; ∀ 𝐤 = 𝟎; 𝟓 ̅̅̅̅̅ SOLUCIÓN: 𝑥0 = 0 5 = 0 → 𝑓(𝑥0) = 1 𝑥1 = 1 5 → 𝑓(𝑥1) = 25 26 𝑥2 = 2 5 → 𝑓(𝑥2) = 25 29 𝑥3 = 3 5 → 𝑓(𝑥3) = 25 34 𝑥4 = 4 5 → 𝑓(𝑥4) = 25 41 𝑥5 = 5 5 = 1 → 𝑓(𝑥5) = 1 2 ➢ Definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman 𝑠(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 𝑎4𝑥3 + 𝑏4𝑥2 + 𝑐4𝑥 + 𝑑4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 𝑎5𝑥3 + 𝑏5𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑑5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] ➢ A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 𝑠(0) = 1 → 𝑑1 = 1
  • 40. 40 𝑠 ( 1 5 ) = 25 26 → { 1/125𝑎1 + 1/25𝑏1 + 1/5𝑐1 + 𝑑1 = 25/26 1/125𝑎2 + 1/25𝑏2 + 1/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/26 𝑠 ( 2 5 ) = 25 29 → { 8/125𝑎2 + 4/25𝑏2 + 2/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/29 8/125𝑎3 + 4/25𝑏3 + 2/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/29 𝑠 ( 3 5 ) = 25 34 → { 27/125𝑎3 + 9/25𝑏3 + 3/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/34 27/125𝑎4 + 9/25𝑏4 + 3/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/34 𝑠 ( 4 5 ) = 25 41 → { 64/125𝑎4 + 16/25𝑏4 + 4/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/41 64/125𝑎5 + 16/25𝑏5 + 4/5𝑐5 + 𝑑5 = 25/41 𝑠(1) = 1 2 → 𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5 + 𝑑5 = 1/2 ➢ Ahora calculamos la primera derivada de 𝑺(𝒙) para la continuidad: 𝑠´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 3𝑎4𝑥2 + 2𝑏4𝑥 + 𝑐4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 3𝑎5𝑥2 + 2𝑏5𝑥 + 𝑐5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] Las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x=1/5; 𝒙 = 2/5; x=3/5; x=4/5. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los polinomios e igualamos: 3 25 𝑎1 + 2 5 𝑏1 + 𝑐1 = 3 25 𝑎2 + 2 5 𝑏2 + 𝑐2 12 25 𝑎2 + 4 5 𝑏2 + 𝑐2 = 12 25 𝑎3 + 4 5 𝑏3 + 𝑐3 27 25 𝑎3 + 6 5 𝑏3 + 𝑐3 = 27 25 𝑎4 + 6 5 𝑏4 + 𝑐4 48 25 𝑎4 + 8 5 𝑏4 + 𝑐4 = 48 25 𝑎5 + 8 5 𝑏5 + 𝑐5 ➢ Análogamente procedemos con la segunda derivada:
  • 41. 41 𝑠´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 + 2𝑏1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 6𝑎2𝑥 + 2𝑏2 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 6𝑎3𝑥 + 2𝑏3 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 6𝑎4𝑥 + 2𝑏4 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] 6𝑎5𝑥 + 2𝑏5 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1] ➢ Para lograr que 𝒔′′(𝒙)sea continua igualamos: X=1/5; x=2/5; x=3/5; x=4/5 6 5 𝑎1 + 2𝑏1 = 6 5 𝑎2 + 2𝑏2 12 5 𝑎2 + 2𝑏2 = 12 5 𝑎3 + 2𝑏3 18 5 𝑎3 + 2𝑏3 = 18 5 𝑎4 + 2𝑏4 24 5 𝑎4 + 2𝑏4 = 24 5 𝑎5 + 2𝑏5 En este punto contamos con 18 ecuaciones y 20 incógnitas, por lo tanto, tenemos 𝟐 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 𝟐 condiciones: 𝑠´´(𝑥0) = 0 ⌃ 𝑠´´(𝑥𝑛) = 0 De lo cual vamos a obtener: 𝑠´´(0) = 2𝑏1 = 0 𝑠´´(1) = 6𝑎5 + 2𝑏5 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 20 ecuaciones c𝐨𝐧 20 incógnitas, el cual es el siguiente: 𝑑1 = 1 1/125𝑎1 + 1/25𝑏1 + 1/5𝑐1 + 𝑑1 = 25/26 1/125𝑎2 + 1/25𝑏2 + 1/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/26 8/125𝑎2 + 4/25𝑏2 + 2/5𝑐2 + 𝑑2 = 25/29 8/125𝑎3 + 4/25𝑏3 + 2/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/29
  • 42. 42 27/125𝑎3 + 9/25𝑏3 + 3/5𝑐3 + 𝑑3 = 25/34 27/125𝑎4 + 9/25𝑏4 + 3/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/34 64/125𝑎4 + 16/25𝑏4 + 4/5𝑐4 + 𝑑4 = 25/41 64/125𝑎5 + 16/25𝑏5 + 4/5𝑐5 + 𝑑5 = 25/41 𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5 + 𝑑5 = 1/2 3 25 𝑎1 + 2 5 𝑏1 + 𝑐1 = 3 25 𝑎2 + 2 5 𝑏2 + 𝑐2 12 25 𝑎2 + 4 5 𝑏2 + 𝑐2 = 12 25 𝑎3 + 4 5 𝑏3 + 𝑐3 27 25 𝑎3 + 6 5 𝑏3 + 𝑐3 = 27 25 𝑎4 + 6 5 𝑏4 + 𝑐4 48 25 𝑎4 + 8 5 𝑏4 + 𝑐4 = 48 25 𝑎5 + 8 5 𝑏5 + 𝑐5 6 5 𝑎1 + 2𝑏1 = 6 5 𝑎2 + 2𝑏2 12 5 𝑎2 + 2𝑏2 = 12 5 𝑎3 + 2𝑏3 18 5 𝑎3 + 2𝑏3 = 18 5 𝑎4 + 2𝑏4 24 5 𝑎4 + 2𝑏4 = 24 5 𝑎5 + 2𝑏5 𝑠´´(0) = 2𝑏1 = 0 𝑠´´(1) = 6𝑎5 + 2𝑏5 = 0
  • 43. 43 ➢ Cuya forma matricial es la siguiente: [ 0 1/125 0 0 0 0 0 0 0 0 3/25 0 0 0 6/5 0 0 0 0 0 0 1/25 0 0 0 0 0 0 0 0 2/5 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1/5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/125 8/125 0 0 0 0 0 0 −3/25 12/25 0 0 −6/5 12/5 0 0 0 0 0 0 1/25 4/25 0 0 0 0 0 0 −2/5 4/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 1/5 2/5 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/125 27/125 0 0 0 0 0 −12/25 27/25 0 0 −12/5 18/5 0 0 0 0 0 0 0 4/25 9/25 0 0 0 0 0 −4/5 6/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 2/5 3/5 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27/125 64/125 0 0 0 0 −27/25 48/25 0 0 −18/5 24/5 0 0 0 0 0 0 0 0 9/25 16/25 0 0 0 0 −6/5 8/5 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3/5 4/5 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 64/125 1 0 0 0 −48/5 0 0 0 −24/5 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 16/25 1 0 0 0 −8/5 0 0 0 −2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4/5 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5] = [ 1 25/26 25/26 25/29 25/29 25/34 25/34 25/41 25/41 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
  • 44. 44 Obtenemos la siguiente solución: 𝑎1 = −1.80484 𝑏1 = 0 𝑐1 = −0.12011 𝑑1 = 1 𝑎2 = 1.39823 𝑏2 = −1.92184 𝑐2 = 0.26425 𝑑2 = 0.97438 𝑎3 = 0.42496 𝑏3 = −0.75368 𝑐3 = −0.20301 𝑑3 = 1.03668 𝑎4 = 0.47051 𝑏4 = −0.83603 𝑐4 = −0.15360 𝑑4 = 1.0268 𝑎5 = −0.48865 𝑏5 = 1.46595 𝑐5 = −1.99518 𝑑5 = 1.51788 ➢ Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: 𝑠(𝑥) = { −1.80484𝑥3 − 0.12011𝑥 + 1 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[0, 1 5 ] 1.39823𝑥3 − 1.92184𝑥2 + 0.26425𝑥 + 0.97438 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 1 5 , 2 5 ] 0.42496𝑥3 − 0.75368𝑥2 − 0.20301𝑥 + 1.03668 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 2 5 , 3 5 ] 0.47051𝑥3 − 0.83603𝑥2 − 0.15360𝑥 + 1.0268 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 3 5 , 4 5 ] −0.48865𝑥3 + 1.46595𝑥2 − 1.99518𝑥 + 1.51788 ; 𝑠𝑖 𝑥𝜖[ 4 5 , 1]
  • 46. 46 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟎, 𝟏) = 𝟏𝟎 ; 𝑺 (𝟎, 𝟐) = 𝟓; 𝑺 (𝟎, 𝟓) = 𝟐 ; 𝑺 (𝟏) = 𝟏 𝑺 (𝟐) = 𝟎, 𝟓 ; 𝑺(𝟓) = 𝟎, 𝟐; 𝑺 (𝟏𝟎) = 𝟎, 𝟏 𝒙𝒊 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 𝑺൫𝒙𝒊൯ 10 5 2 1 0.5 0.2 0.1 SOLUCION: ➢ Definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: S(x) { a1x3 + b1x2 + c1x + d1 ; xϵ[0.1 , 0.2] a2x3 + b2x2 + c2x + d2 ; xϵ[0.2 , 0.5] a3x3 + b3x2 + c3x + d3 ; xϵ[0.5 , 1] a4x3 + b4x2 + c4x + d4 ; xϵ[1 , 2] a5x3 + b5x2 + c5x + d5 ; xϵ[2 , 5] a6x3 + b6x2 + c6x + d6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐝𝐞𝐛𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝐀𝐬í, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞: S(0.1) = 10 ⟹ 0.001a1 + 0.01b1 + 0.1c1 + d1 = 10 S(0.2) = 5 ⟹ { 0.008a1 + 0.04b1 + 0.2c1 + d1 = 5 0.008a2 + 0.04b2 + 0.2c2 + d2 = 5 S(0.5) = 2 ⟹ { 0.125a2 + 0.25b2 + 0.5c2 + d2 = 2 0.125a3 + 0.25b3 + 0.5c3 + d3 = 2 S(1) = 1 ⟹ { 1a3 + 1b3 + 1c3 + d3 = 1 1a4 + 1b4 + 1c4 + d4 = 1 S(2) = 0.5 ⟹ { 8a4 + 4b4 + 2c4 + d4 = 0.5 8a5 + 4b5 + 2c5 + d5 = 0.5
  • 47. 47 S(5) = 0.2 ⟹ { 125a5 + 25b5 + 5c5 + d5 = 0.2 125a6 + 25b6 + 5c6 + d6 = 0.2 S(10) = 0.1 ⟹ 1000a6 + 100b6 + 10c6 + d6 = 0.1 ➢ 𝐃𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚: 𝑆´(x) { 3a1x2 + 2b1x + c1 ; xϵ[0.1 , 0.2] 3a2x2 + 2b2x + c2 ; xϵ[0.2 , 0.5] 3a3x2 + 2b3x + c3 ; xϵ[0.5 , 1] 3a4x2 + 2b4x + c4 ; xϵ[1 , 2] 3a5x2 + 2b5x + c5 ; xϵ[2 , 5] 3a6x2 + 2b6x + c6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐬′(𝐱) 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚: 3a1(0.04) + 2b1(0.2) + c1 = 3a2(0.04) + 2b2(0.2) + c2 0.12a1 + 0.4b1 + c1 = 0.12a2 + 0.4b2 + c2 3a2(0.25) + 2b2(0.5) + c2 = 3a3(0.25) + 2b3(0.5) + c3 0.5a2 + 1b2 + c2 = 0.5a3 + 1b3 + c3 3a3(1) + 2b3(1) + c3 = 3a4(1) + 2b4(1) + c4 3a3 + 2b3 + c3 = 3a4 + 2b4 + c4 3a4(4) + 2b4(2) + c4 = 3a5(4) + 2b5(2) + c5 12a4 + 4b4 + c4 = 12a5 + 4b5 + c5 3a5(25) + 2b5(5) + c5 = 3a6(25) + 2b6(5) + c6 75a5 + 10b5 + c5 = 75a6 + 10b6 + c6 ➢ 𝐏𝐫𝐨𝐜𝐞𝐝𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚: S´´(x) { 6a1x + 2b1 ; xϵ[0.1 , 0.2] 6a2x + 2b2 ; xϵ[0.2 , 0.5] 6a3x + 2b3 ; xϵ[0.5 , 1] 6a4x + 2b4 ; xϵ[1 , 2] 6a5x + 2b5 ; xϵ[2 , 5] 6a6x + 2b6 ; xϵ[5 , 10] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐬′′(𝐱) 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:
  • 48. 48 6a1(0.2) + 2b1 = 6a2(0.2) + 2b2 1.2a1 + 2b1 = 1.2a2 + 2b2 6a2(0.5) + 2b2 = 6a3(0.5) + 2b3 3a2 + 2b2 = 3a3 + 2b3 6a3(1) + 2b3 = 6a4(1) + 2b4 6a3x + 2b3 = 6a4x + 2b4 6a4(2) + 2b4 = 6a5(2) + 2b5 12a4 + 2b4 = 12a5 + 2b5 6a5(5) + 2b5 = 6a6(5) + 2b6 30a5 + 2b5 = 30a6 + 2b6 𝐄𝐧 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝟐𝟐 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟐𝟒 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝟐 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝; 𝐞𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥, 𝐬𝐞 𝐚𝐠𝐫𝐞𝐠𝐚𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝟐 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆" ൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(0.1) = 0 → 6𝑎1(0.1) + 2𝑏1 = 0 → 0.6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(10) = 0 → 6𝑎6(10) + 2𝑏6 = 0 → 60𝑎6 + 2𝑏6 = 0 𝐓𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐮𝐧 𝐣𝐮𝐞𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝟐𝟒 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝟐𝟒 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬: 1. 0.001a1 + 0.01b1 + 0.1c1 + d1 = 10 2. 0.008a1 + 0.04b1 + 0.2c1 + d1 = 5 3. 0.008a2 + 0.04b2 + 0.2c2 + d2 = 5 4. 0.125a2 + 0.25b2 + 0.5c2 + d2 = 2 5. 0.125a3 + 0.25b3 + 0.5c3 + d3 = 2 6. 1a3 + 1b3 + 1c3 + d3 = 1 7. 1a4 + 1b4 + 1c4 + d4 = 1 8. 8a4 + 4b4 + 2c4 + d4 = 0.5 9. 8a5 + 4b5 + 2c5 + d5 = 0.5 10. 125a5 + 25b5 + 5c5 + d5 = 0.2 11. 125a6 + 25b6 + 5c6 + d6 = 0.2 12. 1000a6 + 100b6 + 10c6 + d6 = 0.1 13. 0.12a1 + 0.4b1 + c1 = 0.12a2 + 0.4b2 + c2 14. 0.5a2 + 1b2 + c2 = 0.5a3 + 1b3 + c3 15. 3a3 + 2b3 + c3 = 3a4 + 2b4 + c4
  • 49. 49 16. 12a4 + 4b4 + c4 = 12a5 + 4b5 + c5 17. 75a5 + 10b5 + c5 = 75a6 + 10b6 + c6 18. 1.2a1 + 2b1 = 1.2a2 + 2b2 19. 3a2 + 2b2 = 3a3 + 2b3 20. 6a3x + 2b3 = 6a4x + 2b4 21. 12a4 + 2b4 = 12a5 + 2b5 22. 30a5 + 2b5 = 30a6 + 2b6 23. 0.6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24. 60𝑎6 + 2𝑏6 = 0
  • 50. 50 [ 0.001 0.01 0.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.04 0.2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.04 0.2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0.25 0.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0.25 0.5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125 25 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125 25 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 100 10 1 0.12 0.4 1 0 −0.12 −0.4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 0 −0.5 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 −3 −2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75 10 1 0 −75 −10 −1 0 1.2 2 0 0 0 −1.2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 −3 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 −6 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 2 0 0 −30 −2 0 0 0.6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 2 0 0] [ 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 𝑎5 𝑏5 𝑐5 𝑑5 𝑎6 𝑏6 𝑐6 𝑑6] = [ 10 5 5 2 2 1 1 0.5 0.5 0.2 0.2 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
  • 51. 51 Obtenemos la siguiente solución. a1 = −859.7542 𝑎2 = 762.8708 𝑎3 = −502.6443 𝑏1 = 257.9263 𝑏2 = −495.9334 𝑏3 = 1402.3391 𝑐1 = −67.1951 𝑐2 = 39.6338 𝑐3 = −1225.8812 𝑑1 = 15 𝑑2 = 10.8076 𝑑3 = 327.1864 𝑎4 = 34.2294 𝑎5 = 0.3850 𝑎6 = −0.0373 𝑏4 = −208.2819 𝑏5 = −5.2155 𝑏6 = 1.1195 𝑐4 = 384.7398 𝑐5 = 21.3929 𝑐6 = −10.2824 𝑑4 = −209.6873 𝑑5 = −24.5039 𝑑6 = 28.2882 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐧𝐮𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥. 𝑆(𝑥) { −859.7542𝑥3 + 257.9263𝑥2 + −67.1951𝑥 + 15 ; 𝑥𝜖[0.1 , 0.2] 762.8708𝑥3 + −495.9334𝑥2 + 39.6338𝑥 + 10.8076 ; 𝑥𝜖[0.2 , 0.5] −502.6443𝑥3 + 1402.3391𝑥2 + −1225.8812𝑥 + 327.1864 ; 𝑥𝜖[0.5 , 1] 34.2294 𝑥3 + −208.2819𝑥2 + 384.7398𝑥 + −209.6873 ; 𝑥𝜖[1 , 2] 0.3850𝑥3 + −5.2155𝑥2 + 21.3929𝑥 + −24.5039 ; 𝑥𝜖[2 , 5] −0.0373𝑥3 + 1.1195𝑥2 + −10.2824𝑥 + 28.2882 ; 𝑥𝜖[5 , 10] ➢ 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔
  • 52. 52 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10: Calcular el spline cúbico 𝒔(𝒙) que interpola los siguientes datos: 𝑺 (𝟏) = 𝟏; 𝑺 (𝟐) = 𝟐; 𝑺 (𝟑) = −𝟏 ; 𝑺 (𝟒) = 𝟑 𝒀 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑺′′ (𝟏) = 𝑺′′ (𝟒) = 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Primero definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman: 𝑆(𝑥) = { 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥2 + 𝑐2𝑥 𝑑2; 𝑥 ∈ [2,3] 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥2 + 𝑐3𝑥 𝑑3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐀 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧, 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐩𝐥𝐢𝐧𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐫 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚. 𝑆(1) = 1 ⟹ 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 𝑆(2) = 2 ⟹ { 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 𝑆(3) = −1 ⟹ { 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 𝑆(4) = 3 ⟹ 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´(𝑥) = { 3𝑎1𝑥2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 3𝑎2𝑥2 + 2𝑏2𝑥 + 𝑐2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 3𝑎3𝑥2 + 2𝑏3𝑥 + 𝑐3 ; 𝑥 ∈ [3,4] ➢ 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝒙𝒍 1 2 3 4 𝒇(𝒙𝒍) 1 2 -1 3
  • 53. 53 3𝑎1(2)2 + 2𝑏1(2) + 𝑐1 = 3𝑎2(2)2 + 2𝑏2(2) + 𝑐2 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 3𝑎2(3)2 + 2𝑏2(3) + 𝑐2 = 3𝑎3(3)2 + 2𝑏3(3) + 𝑐3 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 ➢ 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑆´´(𝑥) = { 6𝑎1𝑥 2𝑏1 ; 𝑥 ∈ [1,2] 6𝑎2𝑥 2𝑏2 ; 𝑥 ∈ [2,3] 6𝑎3𝑥 2𝑏3 ; 𝑥 ∈ [3,4] 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐒´´(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐦𝐨𝐬: 6𝑎1(2) + 2𝑏1 = 6𝑎2(2) + 2𝑏2 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 6𝑎2(3) + 2𝑏2 = 6𝑎3(3) + 2𝑏3 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3 𝐂𝐨𝐦𝐨 𝐡𝐚𝐲 𝟏𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐲 𝟏𝟐 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬, 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐛𝐞𝐫𝐭𝐚𝐝 𝑆´´൫𝑥0൯ = 0 ∧ 𝑆´´൫𝑥𝑛൯ = 0 𝑆´´(1) = 0 → 6𝑎1(1) + 2𝑏1 = 0 → 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 𝑆´´(4) = 0 → 6𝑎3(4) + 2𝑏3 = 0 → 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 ➢ 𝐋𝐨 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 = 1 8𝑎1 + 4𝑏1 + 2𝑐1 + 𝑑1 = 2 8𝑎2 + 4𝑎2 + 2𝑎2 + 𝑑2 = 2 27𝑎2 + 9𝑏2 + 3𝑐2 + 𝑑2 = −1 27𝑎3 + 9𝑏3 + 3𝑐3 + 𝑑3 = −1 64𝑎3 + 16𝑏3 + 4𝑐3 + 𝑑3 = 3 12𝑎1 + 4𝑏1 + 𝑐1 = 12𝑎2 + 4𝑏2 + 𝑐2 27𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑐2 = 27𝑎3 + 6𝑏3 + 𝑐3 12𝑎1 + 2𝑏1 = 12𝑎2 + 2𝑏2 18𝑎2 + 2𝑏2 = 18𝑎3 + 2𝑏3
  • 54. 54 6𝑎1 + 2𝑏1 = 0 24𝑎3 + 2𝑏3 = 0 | | | | 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 64 16 4 1 12 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 0 12 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 0 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2 0 0 | | | | | | | | 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 | | | | = | | | | 1 2 2 −1 −1 3 0 0 0 0 0 0 | | | | 𝑎1 = −1.53333 𝑎2 = 3.6667 𝑎3 = −2.1333 𝑏1 = 4.6 𝑏2 = −26.6 𝑏3 = 25.6 𝑐1 = −2.0667 𝑐2 = 60.33 𝑐3 = −96.267 𝑑1 = 0 𝑑2 = −41.6 𝑑3 = 115 ➢ 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝑆(𝑥) = { −1.5333𝑥3 + 4.6𝑥2 − 2.0667𝑥 + 0 ; 𝑥𝜖[1, 2] 3.6667𝑥3 − 26.6𝑥2 + 60.333𝑥 − 41.6 ; 𝑥𝜖[2 , 3] −2.1333𝑥3 + 25.6𝑥2 − 96.267𝑥 + 115 ; 𝑥𝜖[3 , 4] ➢ 𝐆𝐫𝐚𝐟𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬:
  • 55. 55
  • 56. 56 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Hallar los coeficientes de 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑 de manera tal que la fórmula sea exacta para los polinomios del mayor grado posible. Hallar este grado: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟏𝒇(−𝟎. 𝟓) + 𝑨𝟐𝒇(𝟎) + 𝑨𝟑𝒇(𝟎. 𝟓) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: Primer polinomio: 𝑃0(𝑥) = 1 ∫ 1 𝑑𝑥 = 2 𝟏 −𝟏 𝐴1(1) + 𝐴2(1) + 𝐴3(1) = 2 Segundo polinomio: 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 0 𝟏 −𝟏 𝐴1(−0.5) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.5) = 0 Tercer polinomio: 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 3 𝟏 −𝟏 𝐴1(0.25) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.25) = 2 3 Para hallar los coeficientes aplicamos Gauss: 𝐴1(1) + 𝐴2(1) + 𝐴3(1) = 2 𝐴1(−0.5) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.5) = 0 [ 1 1 1 − 1 2 0 1 2 1 4 0 1 4 ] [ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ] = [ 2 0 2 3 ] 𝐴1(0.25) + 𝐴2(0) + 𝐴3(0.25) = 2 3
  • 57. 57 Respuesta a los coeficientes: 𝐴1 = 4/3 𝐴2 = −2/3 𝐴3 = 4/3 Ahora encontramos el mayor grado posible: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 3 𝑓(−0.5) − 2 3 𝑓(0) + 4 3 𝑓(0.5) 1 −1 Primer polinomio: 𝑃0(𝑥) = 1 { ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 = 2 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (1) − 2 3 (1) + 4 3 (1) = 2 Segundo polinomio: 𝑃1(𝑥) = 𝑥 { ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 0 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) − 2 3 (0) + 4 3 ( 1 2 ) = 0 Tercer polinomio: 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 { ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 = 2 𝟏 −𝟏 /3 𝑓(𝑥) = 4 3 ( 1 4 ) − 2 3 (0) + 4 3 ( 1 4 ) = 2/3 Cuarto polinomio: 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 { ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥4 4 = 0 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) 3 − 2 3 (0)3 + 4 3 ( 1 2 ) 3 = 0 Quinta polinomio: 𝑃4(𝑥) = 𝑥4 { ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥5 5 = 2/5 𝟏 −𝟏 𝑓(𝑥) = 4 3 (− 1 2 ) 4 − 2 3 (0)4 + 4 3 ( 1 2 ) 4 = 1/6 ∴ La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3
  • 58. 58 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Hallar los coeficientes de la siguiente fórmula de cuadratura para que tenga el mayor grado posible. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟎𝒇(𝟎. 𝟐𝟓) + 𝑨𝟏𝒇(𝟎. 𝟓) + 𝑨𝟐𝒇(𝟎. 𝟕𝟓) 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: 𝐹(𝑓) 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑃0(𝑥) = 1 ; 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ; 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∴ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃𝑛(𝑥)𝑑𝑥 1 0 1 0 i.- Para 𝑃0(𝑥) = 1 ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 1 ii.- Para 𝑃1(𝑥) = 𝑥 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 0.25𝐴0 + 0.5𝐴1 + 0.75𝐴2 = 1 2 Iii.- Para 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 (0.25)2 𝐴0 + (0.5)2 𝐴1 + (0.75)2 𝐴2 = 1 3 1 16 𝐴0 + 1 4 𝐴1 + 9 16 𝐴2 = 1 3 ➢ En forma matricial tenemos: [ 1 1 1 0.25 0.5 0.75 1 16 ⁄ 1 4 ⁄ 9 16 ⁄ ] [ 𝐴0 𝐴1 𝐴2 ] = [ 1 1 2 ⁄ 1 3 ⁄ ] ➢ Usando Eliminación Gaussiana
  • 59. 59 [ 1 1 1 1 0.25 0.5 0.75 1 2 ⁄ 1 16 ⁄ 1 4 ⁄ 9 16 ⁄ 1 3 ⁄ ] −0.25𝑓1 + 𝑓2 − 1 16 𝑓1 + 𝑓3 [ 1 1 1 1 0 0.25 0.5 0.25 0 3 16 ⁄ 1 2 ⁄ 13 48 ⁄ ] − 3 4 𝑓2 + 𝑓3 [ 1 1 1 1 0 0.25 0.5 0.25 0 0 1 8 ⁄ −5 48 ⁄ ] ➢ Finalmente hallando: 1 8 𝐴2 = − 5 48 ⇒ 𝐴2 = − 5 6 0.25𝐴1 + 0.5𝐴2 = 0.25 ⇒ 𝐴1 = 8 3 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 1 ⇒ 𝐴0 = − 5 6
  • 60. 60 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Hallar los coeficientes de 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑 de manera tal que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟏𝒇൫−√𝟑/𝟓൯ + 𝑨𝟐𝒇(𝟎) + 𝑨𝟑𝒇(√𝟑/𝟓) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: 𝑃0(𝑥) = 1 → ∫(1)𝑑𝑥 = 2 → 1 −1 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 = 2 𝑃1(𝑥) = 0 → ∫(𝑥)𝑑𝑥 = 1 2 → 1 −1 − √ 3 5 𝐴1 + √ 3 5 𝐴3 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → ∫(𝑥2 )𝑑𝑥 = 1 3 → 1 −1 3 5 𝐴1 + 3 5 𝐴3 = 2 3 (1)𝐴0 + (1)𝐴1 + (1)𝐴2 = 2 −√ 3 5 𝐴1 + (0)𝐴2 + √ 3 5 𝐴3 = 0 → [ 1 1 1 −√3 5 ⁄ 0 √3 5 ⁄ 3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ ] ∙ [ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ] = [ 2 0 2 3 ⁄ ] 3 5 𝐴1 + (0)𝐴2 + 3 5 𝐴3 = 2 3 [ 1 1 1 2 −√3 5 ⁄ 0 √3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ 0 3 5 ⁄ 2 3 ⁄ ] → √3 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 3 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 [ 1 1 1 2 0 √15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 0 − 3 5 ⁄ 0 − 8 15 ⁄ ] → √15 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2 [ 1 1 1 2 0 √15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 2√15 5 ⁄ 0 0 6 5 ⁄ 2 3 ⁄ ] → √15 5 ⁄ 𝑓1 + 𝑓2
  • 61. 61 Finalmente: 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 √ 15 5 𝐴2 + 2√15 5 𝐴3 = 2√15 5 6 5 𝐴3 = 2 3 • 𝐴3 = 5 9 • √ 15 5 𝐴2 + 2√15 5 ( 5 9 ) = 2√15 5 𝐴2 = 8 9 • 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 𝐴1 + 8 9 + 5 9 = 2 𝐴1 = 5 9
  • 62. 62 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Comprobar que la siguiente formula de cuadratura tiene grado de precisión ≥ 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟗𝟎 {𝟕𝒇(𝟎) + 𝟑𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟒 ) + 𝟏𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟑𝟐𝒇 ( 𝟑 𝟒 ) + 𝟕𝒇(𝟏)} 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐹(1) = 1 90 [7(1) + 32(1) + 12(1) + 32(1) + 7(1)] = 1 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟎(𝒙) = 𝟏 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 𝐹(𝑥) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 4 ) + 12 ( 1 2 ) + 32 ( 3 4 ) + 7(1)] = 1 2 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟏(𝒙) = 𝒙 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 𝐹(𝑥2) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 16 ) + 12 ( 1 4 ) + 32 ( 9 16 ) + 7(1)] = 1 3 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 1 4 1 0 𝐹(𝑥3) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 64 ) + 12 ( 1 8 ) + 32 ( 27 64 ) + 7(1)] = 1 4
  • 63. 63 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟑(𝒙) = 𝒙𝟑 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 1 5 1 0 𝐹(𝑥4) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 256 ) + 12 ( 1 16 ) + 32 ( 81 256 ) + 7(1)] = 1 5 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟒(𝒙) = 𝒙𝟒 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 1 6 1 0 𝐹(𝑥5) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 1024 ) + 12 ( 1 32 ) + 32 ( 243 1024 ) + 7(1)] = 1 6 𝑭(𝒇)𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟓(𝒙) = 𝒙𝟓 ∫ 𝑥6 𝑑𝑥 = 1 7 1 0 𝐹(𝑥5) = 1 90 [7(0) + 32 ( 1 4096 ) + 12 ( 1 64 ) + 32 ( 729 4096 ) + 7(1)] = 55 384 𝑭(𝒇)𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝟔(𝒙) = 𝒙𝟔 La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 5, más no de 4 como en el enunciado.
  • 64. 64 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Hallar los coeficientes 𝑨𝒊∀𝒊 = 𝟎, 𝟑 ̅̅̅̅̅, de tal manera que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que tres. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨𝟎𝒇(−𝟏) + 𝑨𝟏𝒇 (− 𝟏 𝟑 ) + 𝑨𝟐𝒇 ( 𝟏 𝟑 ) + 𝑨𝟑𝒇(𝟏) 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: 𝑃0(𝑥) = 1 → { ∫ 1𝑑𝑥 1 −1 = 2 𝐹(𝑥) = 𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 𝑃1(𝑥) = 𝑥 → { ∫ 𝑥𝑑𝑥 1 −1 = 0 𝐹(𝑥) = −𝐴0 − 1 3 𝐴1 + 1 3 𝐴2 + 𝐴3 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → { ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 2 3 𝐹(𝑥) = 𝐴0 + 1 9 𝐴1 + 1 9 𝐴2 + 𝐴3 = 2 3 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 → { ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 1 −1 = 0 𝐹(𝑥) = −𝐴0 − 1 27 𝐴1 + 1 27 𝐴2 + 𝐴3 = 0 ➢ Aplicando Gauss: | 1 1 1 1 −1 −1/3 1/3 1 1 −1 1/9 −1/27 1/9 1 1/27 1 | | 𝐴0 𝐴1 𝐴2 𝐴3 | = | | 2 0 2 3 0 | | 𝐴0 = 1 4 𝐴1 = 3/4 𝐴2 = 3/4 𝐴3 = 1/4
  • 65. 65 Entonces: 𝑃0(𝑥) = 1 → 1 4 + 3 4 + 3 4 + 1 4 = 2 𝑃1(𝑥) = 𝑥 → − 1 4 − 1 3 ( 3 4 ) + 1 3 ( 3 4 ) + 1 4 = 0 𝑃2(𝑥) = 𝑥2 → 1 4 + 1 9 ( 3 4 ) + 1 9 ( 3 4 ) + 1 4 = 2 3 𝑃3(𝑥) = 𝑥3 → − 1 4 − 1 27 ( 3 4 ) + 1 27 ( 3 4 ) + 1 4 = 0 Por lo tanto: 1 4 𝑓(−1) + 3 4 𝑓 (− 1 3 ) + 3 4 𝑓 ( 1 3 ) + 1 4 𝑓(1) Es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 3.
  • 66. 66 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Hallar una fórmula de cuadratura que integre exactamente los polinomios de hasta grado 2, es decir, para que la formula dada sea de grado ≥ 𝟐 de la siguiente forma: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨[𝒇(𝒙𝟏) + 𝒇(𝒙𝟐)] 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: i.- Para 𝑷𝟎(𝒙) = 𝟏 ∫ 1𝑑𝑥 = 1 1 0 𝐹(𝑓) = 𝐴[𝑓(𝑥1) + (𝑥2)] = 1 𝐴[1 + 1] = 1 ⇒ 𝐴 = 1 2 ii.- Para 𝑷𝟏(𝒙) = 𝒙 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 1 0 𝐹(𝑓) = 1 2 [𝑓(𝑥1) + (𝑥2)] = 1 2 1 2 [𝑥1 + 𝑥2] = 1 2 ⇒ 𝑥1 + 𝑥2 = 1 … (1) iii.- Para 𝑷𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 1 0 𝐹(𝑓) = 1 2 [𝑓(𝑥1)2 + (𝑥2)2] = 1 3
  • 67. 67 1 2 [𝑥1 2 + 𝑥2 2] = 1 3 ⇒ 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 2 3 … (2) ➢ Sabemos que: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Para (2) 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 2 3 (1 − 𝑥2)2 + 𝑥2 2 = 2 3 1 − 2𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 = 2 3 2𝑥2 − 2𝑥2 + 1 = 2 3 6𝑥2 − 6𝑥2 + 1 = 0 ∴ De: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 = 6 + √(−6)2 − 4(6)(1) 2(6) = 0.21132 𝑥2 = 6 − √(−6)2 − 4(6)(1) 2(6) = 0.78868 Por lo tanto, la fórmula de cuadratura quedaría de la siguiente manera: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝒇(𝟎. 𝟐𝟏𝟏𝟑𝟐) + 𝒇(𝟎. 𝟕𝟖𝟖𝟔𝟖)] 𝟏 −𝟏
  • 68. 68
  • 69. 69 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑥2 ⇒ 𝑓(0) = 𝑒02 = 1 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 𝑒𝑥2 ⇒ 𝑓(1) = 𝑒12 = 2.71828 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1 − 0) ( 𝑓(0) + 𝑓(1) 2 ) 1 0 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1) ( 1 + 2.71828 2 ) 1 0 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = 1.85914 1 0
  • 70. 70 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 𝒙 . 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 2 → 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑥 𝑥 ⇒ 𝑓(2) = 𝑒2 2 = 3.69453 𝑏 = 4 → 𝑓(𝑏) = 𝑒𝑥 𝑥 ⇒ 𝑓(4) = 𝑒4 4 = 13.64954 ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = (4 − 2) ( 𝑓(2) + 𝑓(4) 2 ) ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = (2) ( 3.69453 + 13.64954 2 ) ∫ 𝑒𝑥 𝑥 4 2 𝑑𝑥 = 17.34407
  • 71. 71 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 1 → 𝑓(𝑎) = 𝑥3 1 + √𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 13 1 + √1 = 0.5 𝑏 = 2 → 𝑓(𝑏) = 𝑥3 1 + √𝑥 ⇒ 𝑓(2) = 23 1 + √2 = 3.31371 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 = (2 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 2 1 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = (1) ( 0.5 + 3.31371 2 ) 2 1 ∫ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥 = 1.90686 2 1
  • 72. 72 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 . 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Formula del método de trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 = 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) × [ 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ (3 − 0) × [ 𝑓(0) + 𝑓(3) 2 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ (3) × [ (0 + 0.10511) 2 ] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 ≈ 0.15768
  • 73. 73 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝟏 √𝟐𝝅 . 𝒆−𝒙𝟐/𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = −1 → 𝑓(𝑎) = 1 √2𝜋 . 𝑒− 𝑥2 2 ⇒ 𝑓(1) = 1 √2𝜋 . 𝑒− (−1)2 2 = 0.65774 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 ⇒ 𝑓(−1) = 1 √2𝜋 . 𝑒−12/2 = 0.65774 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = (1 − (−1)) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 1 −1 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = (2) ( 0.65774 + 0.65774 2 ) 1 −1 ∫ 1 √2𝜋 . 𝑒−𝑥2/2 𝑑𝑥 = 1.31548 1 −1
  • 74. 74 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒆−𝒙𝟐 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Usando la fórmula del método del trapecio: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎). [ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 ] 𝑏 𝑎 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = (2 − 1). [ √𝑒−12 12 + √𝑒−22 22 2 ] 2 1 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = (1). [ 0.60653 + 0.03383 2 ] 2 1 ∫ √𝑒−𝑥2 𝑥2 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟎𝟏𝟖 2 1
  • 75. 75 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°07: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒙 𝟑 . 𝒆𝒙 . 𝒅𝒙 𝟒 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Usando la fórmula del método del trapecio: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎). [ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 ] 𝑏 𝑎 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (4 − 0). [ √0 3 . 𝑒0 + √4 3 . 𝑒4 2 ] 4 0 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (4). [ 0 + 86.66916 2 ] 4 0 ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏𝟕𝟑. 𝟑𝟑𝟖𝟑𝟐 4 0
  • 76. 76 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°08: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒙) 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Reemplazamos en la función los puntos a y b: 𝑏 = 1 ; 𝑓(𝑏) = 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 = 𝑓(1) = 𝑙𝑛(1 + 1) 1 + 12 = 0.34657 𝑎 = −1 ; 𝑓(𝑎) = ln(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 = 𝑓(𝑎) = 𝑙𝑛(1 + (−1)) 1 + (−1)2 = 0.34657 ➢ Algoritmo ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 [𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃)] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 1 − (−1) 2 [𝑓(−1) + 𝑓(1)] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 2 2 [0.34657 + 0.34657] ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥) 1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥 1 −1 = 0.69314
  • 77. 77 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°09: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝝅 𝟐 . 𝒆(𝟐− 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙) 𝟐𝝅 𝟎 . 𝒅𝒙 SOLUCIÓN: ➢ Reemplazamos en la función los puntos a y b: 𝑏 = 2𝜋 ; 𝑓(𝑏) = 𝜋 2 . 𝑒(2− 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑓(2𝜋) = 𝜋 2 . 𝑒(2− 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝜋) = 11.60670 𝑎 = 0 ; 𝑓(𝑎) = 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑓(0) = 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛0) = 11.60670 ➢ Algoritmo ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 [𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃)] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 2𝜋 − 0 2 [𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 𝜋[11.60670 + 11.60670] ∫ 𝜋 2 .𝑒(2−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥) . 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 72.92705
  • 78. 78 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°10: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟐 . 𝒆𝒙 . 𝒅𝒙 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑥2 . 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 02 . 𝑒0 = 0 𝑏 = 3 → 𝑓(𝑏) = 𝑥2 . 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(3) = 32 . 𝑒3 = 180.76983 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (3 − 0) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 3 0 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (3) ( 0 + 180.76983 2 ) 3 0 ∫ 𝑥2.𝑒𝑥𝑑𝑥 ≈ 271.154745 3 0
  • 79. 79 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°11: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝟏 + 𝒙 . 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 1 + 0 = 0 𝑏 = 1 → 𝑓(𝑏) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 1 + 1 = 0.392699 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 . 𝑑𝑥 = (1 − 0) ( 𝑓(1) + 𝑓(2) 2 ) 1 0 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = (1) ( 0 + 0.392699 2 ) 1 0 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥 ≈ 1.19635 1 0
  • 80. 80 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°12: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫[𝟐 + 𝒔𝒆𝒏൫𝟐√𝒙൯]. 𝒅𝒙 𝟔 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 6 1 𝑑𝑥 = (6 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(6) 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5) ( (2 + 𝑆𝑒𝑛(2√1) + (2 + 𝑆𝑒𝑛(2√6) 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5) ( 2.9093 + 1.01736 2 ) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = (5)(1.96333) ∫ [2 + 𝑆𝑒𝑛(2√𝑥)] 4 2 𝑑𝑥 = 𝟗. 𝟖𝟏𝟔𝟔𝟓
  • 81. 81 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°13: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 + 𝟏 . 𝒅𝒙 𝟔 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑎) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓(0) = cos (0) 0 + 1 = 1 𝑏 = 6 → 𝑓(𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓(6) = cos (6) 6 + 1 = 0.14207 ➢ Formula del método de trapecio ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = (6 − 0) ( 𝑓(0) + 𝑓(6) 2 ) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = (6) ( 1 + 0.14207 2 ) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 1 6 0 𝑑𝑥 = 3.42621
  • 82. 82 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°14: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟐 . 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙 𝟏.𝟓 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Hallamos las funciones reemplazando los puntos a y b: 𝑎 = 1 → 𝑓(𝑎) = 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 12 . ln (1) = 0 𝑏 = 1.5 → 𝑓(𝑏) = 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑓(1.5) = 1.52 . ln (1.5) = 0.91230 ➢ Aplicamos la formula del trapecio: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ( 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) 𝟐 ) 𝒃 𝒂 ∫ 𝑥2 . 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 = (1.5 − 1) ( 𝑓(1) + 𝑓(1.5) 2 ) 1.5 1 ∫ 𝑥2 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = (0.5) ( 0 + 0.91230 2 ) 1.5 1 ∫ 𝑥2.𝑒𝑥𝑑𝑥 ≈ 0.22808 1.5 1
  • 83. 83
  • 84. 84 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°01: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟓 𝟏 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 1 − 0 5 ℎ = 0.2 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝟎 𝟎. 𝟐 𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟖 𝟏 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(0) = 𝑒𝑥2 = 𝑒02 = 1 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(0.2) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.22 = 1.49182 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(0.4) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.42 = 1.17351 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(0.6) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.62 = 1.43333
  • 85. 85 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(0.8) = 𝑒𝑥2 = 𝑒0.82 = 1.89648 𝑓(𝑥5) ⟹ 𝑓(1) = 𝑒𝑥2 = 𝑒12 = 2.71828 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 1−0 2(5) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.2)൯ + 2൫𝑓(0.4)൯ + 2൫𝑓(0.6)൯ + 2൫𝑓(0.8)൯𝑓(1)] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 1 10 [1 + 2(1.49182) + 2(1.17351) + 2(1.43333) + 2(1.89648) + 2.71828] ∫ 𝑒𝑥2 . 𝑑𝑥 1 0 = 0.1[15.70856] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑡𝑔𝑥. 𝑑𝑥 1.2 0 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟎𝟖𝟔
  • 86. 86 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°02: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 𝒙 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟒 𝟒 𝟐 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 4 − 2 4 ℎ = 0.5 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟐 𝟐. 𝟓 𝟑 𝟑. 𝟓 𝟒 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(2) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒2 2 = 3.69453 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(2.5) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒2.5 2.5 = 4.87300 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(3) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒3 3 = 6.69518 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(3.5) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒3.5 3.5 = 9.46156
  • 87. 87 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(4) = 𝑒𝑥 𝑥 = 𝑒4 4 = 13.64954 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 4−2 2(4) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.2)൯ + 2൫𝑓(0.4)൯ + 2൫𝑓(0.6)൯ + 2൫𝑓(0.8)൯𝑓(1)] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 2 8 [3.69453 + 2(4.87300) + 2(6.69518) + 2(9.46156) + 13.64954 ] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 1 4 [59.40355] ∫ 𝑒𝑥 𝑥 . 𝑑𝑥 4 2 = 𝟏𝟒. 𝟖𝟓𝟎𝟖𝟗
  • 88. 88 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°03: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 . 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 ; 𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟓 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos el tamaño del paso, hallamos n: ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 0.25 = 2 − 1 𝑛 𝑛 = 4 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝟏. 𝟐𝟓 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟕𝟓 𝟐 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(1) = (1)3 1 + √1 = 1 2 𝑓(1.25) = (1.25)3 1 + √1.25 = 0.92214 𝑓(1.5) = (1.5)3 1 + √1.5 = 1.51703
  • 89. 89 𝑓(1.75) = (1.75)3 1 + √1.75 = 2.30722 𝑓(2) = (2)3 1 + √2 = 3.31371 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒙𝟑 𝟏 + √𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 = (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑥3 1+√𝑥 𝑑𝑥 2 1 = (2−1) 2(4) [𝑓(1) + 2൫𝑓(1.25) + 𝑓(1.5) + 𝑓(1.75)൯ + 𝑓(2)] ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 2 1 = (2 − 1) 2(4) [ 1 2 + 2(0.92 + 1.52 + 2.31) + 3.31] ∫ 𝑥3 1 + √𝑥 𝑑𝑥 2 1 = 𝟏. 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏
  • 90. 90 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°04: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝒆𝒙 . 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒉 = 𝟎. 𝟓 𝟑 𝟎 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos el tamaño del paso, hallamos n: ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 0.5 = 3 − 0 𝑛 𝑛 = 6 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝟎 𝟎. 𝟓 𝟏 𝟏. 𝟓 𝟐 𝟐. 𝟓 𝟑 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) ⟹ 𝑓(0) = 𝑒0 . 𝑠𝑒𝑛(0) 1 + 02 = 0 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(0.5) = 𝑒0.5 . 𝑠𝑒𝑛(0.5) 1 + 0.52 = 0.63235 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(1) = 𝑒1 . 𝑠𝑒𝑛(1) 1 + 12 = 1.14368 𝑓(𝑥3) ⟹ 𝑓(1.5) = 𝑒1.5 . 𝑠𝑒𝑛(1.5) 1 + 1.52 = 1.37553
  • 91. 91 𝑓(𝑥4) ⟹ 𝑓(2) = 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛(2) 1 + 22 = 1.34377 𝑓(𝑥5) ⟹ 𝑓(2.5) = 𝑒2.5 . 𝑠𝑒𝑛(2.5) 1 + 2.52 = 1.00564 𝑓(𝑥6) ⟹ 𝑓(3) = 𝑒3 . 𝑠𝑒𝑛(3) 1 + 32 = 0.28345 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 𝑒𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 3−0 2(6) [𝑓(0) + 2൫𝑓(0.5)൯ + 2൫𝑓(1)൯ + 2൫𝑓(1.5)൯ + 2൫𝑓(2)൯ + 2(𝑓(2.5)) + 𝑓(3)] ∫ 𝑒𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 3−0 2(6) [0 + 2(0.63235) + 2(1.14368) + 2(1.37553) + 2(1.34377) + 2(1.00564) + 0.28345] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 1 4 [11.28539] ∫ 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 3 0 = 𝟐. 𝟖𝟐𝟏𝟑𝟓
  • 92. 92 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°05: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ 𝟏 √𝟐𝝅 . 𝒆−𝒙𝟐/𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟒 𝟏 −𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 1 − (−1) 4 ℎ = 0.5 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 −𝟏 − 𝟎. 𝟓 𝟎 𝟎. 𝟓 𝟏 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(𝑥0) = 𝑓(−1) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −(−1)2 2 = 0.24197 𝑓(𝑥1) = 𝑓(−0.5) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −(−0.5)2 2 = 0.35206 𝑓(𝑥2) = 𝑓(0) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −02 2 = 0.39894
  • 93. 93 𝑓(𝑥3) = 𝑓(0.5) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −0.52 2 = 0.35206 𝑓(𝑥4) = 𝑓(1) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 = 1 √2𝜋 𝑒 −12 2 = 0.24197 ➢ Analizamos la fórmula del método trapecio múltiple: ∫ 𝒇(𝒙) × 𝒅𝒙 ≈ 𝒃 𝒂 (𝒃 − 𝒂) 𝟐𝒏 [𝒇(𝒙𝟎) + 𝟐 ∑ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇(𝒙𝒏) 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 ] ∫ 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥2 2 𝑑𝑥 1 −1 = (1 − (−1)) 2(4) [0.24197 + 2(0.35206 + 0.39894 + 0.35206) + 0.24197] ∫ √𝑥 3 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 4 0 = 𝟎. 𝟔𝟕𝟐𝟓𝟐
  • 94. 94 ❖ EJERCICIO DE APLICACIÓN N°06: Use el método del trapecio para aproximar los valores de la siguiente integral: ∫ √𝒆−𝒙𝟐 𝒙𝟐 . 𝒅𝒙 ; 𝒏 = 𝟖 𝟐 𝟏 SOLUCIÓN: ➢ Como tenemos n, hallamos el tamaño del paso (h): ℎ = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ℎ = 2 − 1 8 ℎ = 0.125 ➢ Dividimos los intervalos para encontrar los 𝒙𝒊 : 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝟏 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 𝟏. 𝟐𝟓 𝟏. 𝟑𝟕𝟓 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟔𝟐𝟓 𝟏. 𝟕𝟓 𝟏. 𝟖𝟕𝟓 𝟐 ➢ Reemplazamos cada uno de los 𝒙𝒊 en la función: 𝑓(1) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1) = √𝑒− 12 12 ⇒ 𝑓(1) = 1.64872 𝑓(1.125) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.125) = √𝑒− 1.1252 1.1252 ⇒ 𝑓(1.125) = 1.48772 𝑓(1.25) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.25) = √𝑒− 1.252 1.252 ⇒ 𝑓(1.25) = 1.39789 𝑓(1.375) = √𝑒− 𝑥2 𝑥2 ⇒ 𝑓(1.375) = √𝑒− 1.3752 1.3752 ⇒ 𝑓(1.375) = 1.36125