Este documento trata sobre los números enteros. Explica que el conjunto de los números enteros está formado por la unión de los enteros positivos y negativos. Aplica los números enteros a vectores, mostrando gráficamente que el opuesto de un número entero aplicado a un vector es el número entero opuesto aplicado al mismo vector. Finalmente, demuestra propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma de números enteros usando demostraciones basadas en vectores.

1. NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros es la
unión de los enteros negativos y los enteros
positivos

2. Números enteros negativos Z⁻
 Si n es un numero natural¿ cual seria su
opuesto?
 El opuesto de n es ………………….
 Intenta definir con tus palabras el concepto
de numero negativo

3. Aplicamos, ahora, los números
enteros negativos a vectores
 Recordamos que , siendo el numero natural n
una función, para aplicarlo al vector u habría
que escribir n(u) y adoptando una notación
multiplicativa escribimos nu.
 Entonces esto da origen a la noción de un
numero natural por un vector.
 Entonces , siendo n natural n.u = n(u)

4. Observa el siguiente grafico
 Siendo u el siguiente vector
O
D
 n.u seria:
O
D
u
nu

5. Opuesto de un numero entero:
Dado el vector nu, el opuesto del mismo
seria –un. Observa la grafica.
u
O
-nu nu
 Expresa con tus palabras, lo que observas en el
grafico anterior.
 ¿Cómo se aplico el entero –n al vector u?
 Hemos demostrado, entonces que:

6. El opuesto de n.u es –n.u
Debatimos sobre las deducciones
obtenidas
Los enteros positivos Z⁺:
Son los números naturales(incluido el
cero)
Por lo tanto Z el conjunto de los
números enteros es la unión de Z⁺ y Z⁻

7. Suma de números enteros
 Como los números enteros son funciones de
vectores en vectores, los números se suman
como funciones:
(m + n)(u) = m(u) + n(u)
O sea:
(m+n)u = mu + nu

8. Veámoslo gráficamente
 mu y nu son vectores del mismo origen y
colineales, entonces nu+ mu tiene el origen de u
y es colineal con este. Por lo que (m+n)u, tiene
origen o ( origen de u) y la suma será colineal
con los vectores dados.
 Observa:
nu
O B C
mu

9. ¿Cómo se procede para obtener gráficamente
(m+n)u?
Siendo nu = OB y mu = OC.
Para calcular (m+n)u, lo que se hizo fue poner un
vector equipolente a mu, a continuación de nu.
Observa la gráfica y deduce si se cumple la
siguiente igualdad
(m+n)u= (n+m)u
Entonces ¿ puedes deducir, a partir de esta
observación, que la suma de números enteros
positivos es conmutativa?.

10. Propiedades de la suma de números
enteros:
Las propiedades con las que cumplen son:
 Conmutativa
 Asociativa
 Existencia del elemento neutro

11.  Propiedad conmutativa:
Siendo m y n enteros positivos, debemos probar que
m+n = n + m
Se toma un vector u arbitrario:
(m+n)u = mu +nu por suma de funciones
= un+ mu por asociatividad de funciones de origen común
= (n + m) u por suma de funciones
Por el primer y ultimo término de las igualdades anteriores y como u es
arbitrario, concluimos que:
m+n = n+m

12. Actividades
1-Demuestra, de forma similar la conmutatividad, siendo m y n enteros negativos
[(-m)+(-n)] = [(-n)+(-m)]
2- Siendo m,n y p enteros positivos demuestra la asociatividad
(m+n)+p = m+(n+p)
3- Siendo m,n y p enteros negativos, demuestra la asociatividad
[(-m)+(-n)]+(-p) = (-m)+ [(-n)+(-p)]
4- Siendo m entero negativo, demuestra la existencia de elemento neutro
m+0=m
Todas las actividades serán resueltas en clase con la guía de la docente, que les
brindara a los alumnos las demostraciones incompletas para que terminen las
demostraciones.

13. Ejemplo:
Para resolver el punto 4 completa con lo pedido en
cada caso, la siguiente demostración:
Existencia del elemento neutro m+0 = m
Siendo AB un vector arbitrario
(m + 0)(AB) = m(AB)+ 0(AB) (Justificación)……………
= m (AB) + ……… por definición de cero
= m(AB) (justificación)……………………
Por lo tanto por el primer y el ultimo miembro de
las igualdades anteriores y siendo AB arbitrario
concluimos que:…(resultado)………………….