El documento demuestra que el producto de n números naturales consecutivos es divisible por n!. Primero se asume lo contrario y se define un conjunto Z que contiene los números mínimos para los cuales el teorema no es válido. Luego se muestra que el elemento mínimo M0 de este conjunto Z también pertenece a Z, lo que genera una contradicción y prueba que el teorema es válido.

1. Divisibilidad
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Probar que el producto de n naturales consecutivos es divisible por n!.
Soluci´n
o
1. Supongamos lo contrario entonces ∃k ∈ N tal que todo conjunto de k
elementos consecutivos no verifica que el producto de sus t´rminos sea
e
divisible por k, tomenos el m´
ınimo (que existe por P.B.O.)de tales enteros
como n y definamos el conjunto
(M + 1)(M + 2) . . . (M + n)
Z = {M ∈ N : no es entero }
n!
´ste conjunto es no vac´ por el supuesto y como Z ⊆ N por el principio
e ıo
n!
del buen orden sea M0 = min Z. Obs´rvese que M0 > 1 ya que
e = 1 es
n!
entero y esto se d´ cuando M = 0.
a
Ahora bien como
(M0 + 1) . . . (M0 + n) = (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1)(M0 + n)
Operamos el ultimo producto
´
(M0 +1) . . . (M0 +n) = M0 (M0 +1)(M0 +2) . . . (M0 +n−1)+n(M0 +1) . . . (M0 +n−1).
Por definici´n de M0 ⇒ n! divide a M0 (M0 + 1)(M0 + 2) . . . (M0 + n − 1)
o
y (n − 1)! divide a (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1).
Luego n! divide a (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1)n.
Pero entonces n! divide a (M0 + 1)(M0 + 2) . . . (M0 + n) ⇒ M0 ∈ Z,
/
lo cual es una contradicci´n.
o
1