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Divisibilidad
                    Helmuth villavicencio fern´ndez
                                              a


  1. Probar que el producto de n naturales consecutivos es divisible por n!.

Soluci´n
      o
  1. Supongamos lo contrario entonces ∃k ∈ N tal que todo conjunto de k
     elementos consecutivos no verifica que el producto de sus t´rminos sea
                                                                   e
     divisible por k, tomenos el m´
                                  ınimo (que existe por P.B.O.)de tales enteros
     como n y definamos el conjunto

                           (M + 1)(M + 2) . . . (M + n)
           Z = {M ∈ N :                                 no es entero }
                                      n!
    ´ste conjunto es no vac´ por el supuesto y como Z ⊆ N por el principio
    e                      ıo
                                                                 n!
    del buen orden sea M0 = min Z. Obs´rvese que M0 > 1 ya que
                                        e                           = 1 es
                                                                 n!
    entero y esto se d´ cuando M = 0.
                      a
    Ahora bien como

           (M0 + 1) . . . (M0 + n) = (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1)(M0 + n)

    Operamos el ultimo producto
                ´

    (M0 +1) . . . (M0 +n) = M0 (M0 +1)(M0 +2) . . . (M0 +n−1)+n(M0 +1) . . . (M0 +n−1).

    Por definici´n de M0 ⇒ n! divide a M0 (M0 + 1)(M0 + 2) . . . (M0 + n − 1)
                o
    y (n − 1)! divide a (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1).

    Luego n! divide a (M0 + 1) . . . (M0 + n − 1)n.

    Pero entonces n! divide a (M0 + 1)(M0 + 2) . . . (M0 + n) ⇒ M0 ∈ Z,
                                                                   /
    lo cual es una contradicci´n.
                              o




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