Función Inversa

1. FUNCIONES
Las funciones tienen un papel importante en la modelación
de las situaciones de la vida real.
Así en las aplicaciones prácticas el valor de una magnitud
suele depender de los valores que toman otras magnitudes.
Por ejemplo, el tiempo que invierte una persona en
trasladarse desde su casa al trabajo depende de la distancia
que deba recorrer, el salario de un trabajador depende de su
número de años de estudio, el tiempo de cocción de un
alimento depende de la temperatura del agua en que está
sumergido. Así vemos también que el área de un circulo está
dada por 𝜋𝑟2
, para valores diferentes de radio r, se obtienen
distintos valores del área, o las funciones de una célula que
son nutrición(metabolismo), señalización( Quimiotaxis, ser
una célula especializada, neurona, epitelial etc.),
reproducción (reparación de roturas, crecimiento
reproducción).
O en la ecuación y+x=2, a cada valor de x le corresponde un
valor de y.
Notas de clase Ing. Xavier Silva
Matematicas Superiores Galindo
Calculo de Larson
Calculo de Elli

2. Se debe tener en cuenta que no toda
correspondencia es una funcion. Por
ejemplo, la relacion que a cada mes del
ano se le asocia su numero de dias no es
una funcion ya que la variable mes no es
numerica y ademas a febrero se le
puede asociar dos valores, dependiendo
si el ano es bisiesto o no.

3. Dominio es el conjunto
de valores que toma la
variable x para los que la
función esta definida.
Contradominio conjunto
de valores posibles de la
variable y
Rango es el conjunto de
valores del
Contradominio que son
imágenes de x.

4. Representacion algebraica
Una funcion se puede representar
algebraicamente si las magnitudes estan
relacionadas entre si por una formula. Dicha
formula contiene las magnitudes y las
operaciones aritmeticas que se deben realizar
para obtener el resultado: sumas, restas,
productos, divisiones, logaritmos, potencias
etc.
Para expresar algebraicamente una funcion
debe escribir la regla de correspondencia en la
forma
y =f(x)
Que se lee y en funcion de x
A x se le denomina la variable independiente
mientras que a y se le denomina variable
dependiente.

5. DEFINICION DE FUNCION INVERSA
Si f (x) representa una función inyectiva o
biyectiva(en el dominio determinado), entonces su
inversa es la función f -1 si se cumple con la
siguiente condición: (x y) Є f(x) si y solo si (y,x)
Є f-1,(x)

6. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA

7. Sea una función f:A->B biyectiva con criterio
f(x) = y
Se llama función inversa de f, a la función dada
por f-1: B->A con criterio f-1 (y) = x

8. Sabemos que una función es un conjunto de
pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la
vuelta a los pares y obtener así una nueva
función. Hagámoslo con la función:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }
y observemos qué pasa llamando g al
conjunto resultante:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }
Hemos obtenido una nueva función.
Sin embargo, esto no funciona siempre.
Tomemos ahora como f el conjunto:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }
y, entonces, g será:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }
que no es una función, pues g(2) no está
determinado de forma única; es decir, g no
cumple la condición de función. Existen dos
pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma
primera coordenada y la segunda
coordenada es distinta.

9. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos
ejemplos? Sencillamente, que en el
segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la
vuelta a los pares, g(2) no está determinado
de forma única; con lo cual g no es una
función. En el primer ejemplo, para valores
diferentes de la "x" se obtienen valores
diferentes de la "y". Las funciones que se
comportan como la del primer ejemplo se
llaman funciones inyectivas o uno a uno.
DEFINICIÓN: Una Función F Es Inyectiva o Uno
A Uno Si F(a) Es Distinto De F(b) Cuando A Es
Distinto De B.
Cuando al invertir los pares de que consta una
función se obtiene otra función, decimos que
dicha función tiene inversa (también llamada
recíproca). Por lo dicho anteriormente, sólo
tienen inversas las funciones inyectivas.
DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva,
llamamos función inversa de f y la
representamos por f-1 al conjunto: f-1 = { (a, b) /
(b, a) Î f }
Es decir, f-1 = { (x, y) / x=f(y), si y es del dominio
de f } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f }

10. De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la
función inversa f-1 es el rango o recorrido de f y, recíprocamente,
el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-
1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la
"y" : f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de
decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o
bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al dominio de f). Utilizando
la composición de funciones y llamando I (función Identidad) a la
función definida por I(x)=x, podemos escribir:
fof-1 = I y f-1of = I
salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un
dominio más amplio que el primer miembro si el dominio de f o
de f-1 no es todo R.

11. De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la
función inversa f-1 es el rango o recorrido de f y, recíprocamente,
el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-
1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la
"y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de
funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma
de decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o
bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al dominio de f). Utilizando
la composición de funciones y llamando I (función Identidad) a la
función definida por I(x)=x, podemos escribir:
fof-1 = I y f-1of = I
salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un
dominio más amplio que el primer miembro si el dominio de f o
de f-1 no es todo R.

12. Ejemplos de revisión:
1. La función f definida
por y=2x-3, es decir,
f = [ (x, y) / y=2x-3]
= [(x, 2x-3)] tiene
inversa y su inversa
será f-1 = [(y, x) /
y=2x-3] = [(x, y) /
x=2y-3] = [(2x-3, x)]
2. La función g definida
por y=x2-2x-2, es
decir, g = [(x, y) /
y=x2-2x-2]=[(x, x2-2x-
2)] no tiene inversa.
Por ejemplo, los pares
(0, -2) y (2, -2)
pertenecen a g y por lo
tanto, g no es
inyectiva.

13. 3.-Determinar la función inversa de:
f(x)
2x+3
5−𝑥
Si f(x1)=f(x2) entonces x1=x2
2x1+3
5−𝑥1
=
2x2+3
5−𝑥2
(2x1+3)(5−x2)=(5−x1)(2x2+3)
10x1−2x1x2+15−3x2=10x2+15−2x1x2−3x1
10x1−3x2=10x2−3x1
13x1=13x2
x1=x2
Con lo cual demostramos que es inyectiva

14. f(x)
2x+3
5−𝑥
=y=
2x+3
5−𝑥
Intercambiamos las variables
x=
2y+3
5−𝑦
=
x(5−y)=2y+3
5x−xy=2y+3
-2y−xy=3−5x
(-1) 2y+xy=5x−3
y(2+x)=5x-3
Y=
5x−3
2+𝑥
f-1(x)=
5x−3
2+𝑥

15. 3.-Determinar la función inversa de:
f(x)
2x+1
𝑥−1

16. f(x)
2x+1
𝑥−1
=y=
2x+1
𝑥−1
x=
2y+1
𝑥−1
=
y(x−1)=2x+1
xy+y=2x+1
xy−2x=1+y
x(y-2)=1+y
x=
1+y
𝑦−2
y=
1+ 𝑥
𝑥−2

17. La función debe ser monotamente creciente
o monotamente decreciente
Escribo la expresión de la función llamo y a
la variable de salida y x a la variable de
entrada
Despejo a la variable x
Hago el cambio llamo y a los valores de
salida de la nueva función y x a los valores
de entrada de la nueva función
Me queda una función que depende de x
que es una nueva función distinta a la
anterior y que se llama función inversa de la
función original de la que parti.
Dom x0 f(x) = Im y0
y0 g(x) x0

18. Encontrar la función inversa de f(x)
3x+6
𝑥−2

19. Dom

20. Dom