Diferenciales sucesivas Polinomio de Taylor

1. Diferenciales Sucesivas
Polinomio de Taylor
Caso particular
polinomio de Maclaurin
Notas de clase Ing. Xavier Silva
Libros de Cálculo
Leithold
Novelli.Elli
Larson
UPV

2. POLINOMIO DE TAYLOR USO EN DERIVADAS SUCESIVAS
f(x) x=a
Pn (x) = f(a)+ f´(a). (x-a) +
𝑓´´(𝑎)
2´
(x-a)2+
𝑓´´´(𝑎)
3´
(x-a)3 + ……. +
𝑓 𝑛
(𝑎)
𝑛´
(x-a)n
f(x) = ex x=0 -> P1(x) = f(a)+ f´(a). (x-a)
-> P2 (x) = f(a)+ f´(a). (x-a) +
𝑓´´(𝑎)
2´
(x-a)2
P2 (x) = P1(x)+
𝑓´´(𝑎)
2´
(x-a)2
-> P3 (x) = P2(x)+
𝑓´´´(𝑎)
3´
(x-a)3
Pn (x) = f(a)+ f´(a). (x-a) +
𝑓´´(𝑎)
2´
(x-a)2+
𝑓´´´(𝑎)
3´
(x-a)3 + ……. +
𝑓 𝑛
(𝑎)
𝑛´
(x-a)n

3. EJEMPLO DE APLICACIÓN
f(x) = ex x=0
P1(x) = f(0) + f´(0) (x-0) = 1+1.x=1+x
f(x)=ex -> f´(x)=ex f¨(0) =e0=1
P2 (x) = f(0)+ f´(0). (x-0) +
𝑓´´(0)
2´
(x-0)2
P2 (x) = P1(x)+
𝑓´´(0)
2´
(x-0)2
f´(x)=ex -> f´´ (x) =ex f´´(0)= e0=1 2´=2.1=2
P2 (x) = 1+x+
1
2
𝑥2=1+x+
𝑥2
2
P3 (x) = P2 (x) +
𝑓´´´(0)
3´
(𝑥-0)3=1+x+
𝑥2
2
+
𝑥3
6
f´´´(x)=ex ->f3(x)=ex f3(0) =e0=1 3´=3.2.1=6
P4(x)= P3(x)+
𝑓𝑙𝑣
(0)
4´
(x-0)4= 1+x +
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+
𝑥4
24
f3(x)=ex -> flv (x) =ex fIv(0)= e0=1 4´=4.3.2.1=24

4. • DESEMPEÑO EN LA GRAFICA
• ex
• Pn (x) =1+x +
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+
𝑥4
24
……. +
𝑥 𝑛
𝑛𝑖
• P1(x) =1+x
• P2(x) 1+x+
𝑥2
2𝑖
• P3(x) 1+x+
𝑥2
2𝑖
+
𝑥3
3𝑖
• P4(x)= 1+x +
𝑥2
2𝑖
+
𝑥3
3𝑖
+
𝑥4
4𝑖

5. Vista cercana del desempeño en la grafica de la función ex frente al polinomio de Taylor

6. Revisión de conceptos y aplicación

21. Hallar el polinomio de Maclaurin y graficar
❖ e3x n= 4
❖ e -x/2 n=4
❖ Sen x n=5
❖ x ex n=4