Unidad9

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Unidad 9: Funciones

9 Funciones

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ACTIVIDAD

Las funciones no tienen una forma
única de expresión, y sin embargo,
de todas ellas podemos extraer
propiedades.

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Unidad 9: Funciones

G. W. Leibniz

Busca en la web

El calculo

Trabajando por separado y con
métodos distintos, Newton antes y
sin dar publicidad a sus
resultados, y Leibniz unos años
después, pero publicándolos
antes, van a crear la herramienta Enlace a la biografía de
más potente y universal de la Leibniz
historia de las Matemáticas y de
todas las ciencias: el Cálculo.

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Unidad 9: Funciones

Esquema de contenidos
Funciones

Coordenadas cartesianas
Concepto de función

Representación gráfica
Tablas

Dominio y recorrido

Funciones definidas a trozos

Estudio de una función
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad

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Coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto P en el plano
vienen determinadas por un par ordenado de
números, x e y, llamados coordenadas
cartesianas del punto, y se escribe:
P (x , y)

SIGUIENTE

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Una función es una relación entre
dos variables numéricas, x e y, de
manera que a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.

SIGUIENTE

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Unidad 9: Funciones


No es Una función es una relación entre
función dos variables numéricas, x e y, de

Sí es
función

SIGUIENTE

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No es Una función es una relación entre
función dos variables numéricas, x e y, de

La variable x es la variable independiente,
y es un valor prefijado. Sí es
función
Y la variable y es la variable dependiente,
y su valor depende del valor de x.

SIGUIENTE

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Función expresada mediante tabla de valores

Representar gráficamente los siguientes datos que
relacionan las horas transcurridas desde la apertura
de una exposición con el número de personas que
asisten.

x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 100 150 50 150 250 100 200 50
Nº personas

H
SIGUIENTE

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Dominio y recorrido

Se llama dominio de una función f(x) a todos
los valores de la variable independiente que
tienen imagen.
Dom f(x)

El recorrido o la imagen de una función f(x) es
todos los valores de la variable dependiente
que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Im f(x)

SIGUIENTE

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Dominio y recorrido

Se llama dominio de una función f(x) a todos
los valores de la variable independiente que
tienen imagen.
Dom f(x)

Dom f(x) = ( - ∞,0] ∪ [ 2,5] ∪ [ 6,+∞ )

El recorrido o la imagen de una función f(x) es
todos los valores de la variable dependiente
que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Im f(x)

Im f(x) = [ − 1,+∞ ) SIGUIENTE

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Unidad 9: Funciones


En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de
la función de forma global, pero sus valores responden a
distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que
estamos.

Cuando definimos una función
con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada
una de ellas, estamos
definiendo una función a
trozos.

SIGUIENTE

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Unidad 9: Funciones


En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de
la función de forma global, pero sus valores responden a
distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que
estamos.

Cuando definimos una función
con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada
una de ellas, estamos
definiendo una función a
trozos.

La función definida es:

2 − ∞ < x ≤ −2

f ( x ) = − 2 x −2 <x < 4
− x
 +5 4 ≤ x < +∞
2 SIGUIENTE

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Propiedades de funciones

Continuidad

Puntos de corte


Simetrías

Periodicidad

SIGUIENTE

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Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede
dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar
de un solo trazo.

Los puntos donde se corta el trazo de la función
se llaman puntos de discontinuidad de la
función.

SIGUIENTE

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Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede
dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de
un solo trazo.

discontinua

discontinua

continua

Los puntos donde se corta el trazo de la función
se llaman puntos de discontinuidad de la
función.

continua SIGUIENTE

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Puntos de corte

Los puntos de corte con los ejes coordenados de
una función son los puntos de intersección de su
gráfica con los ejes coordenados.
EJE X, y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x,
cuando la variable y toma el valor 0.

EJE Y, x = 0

Son de la forma (0, b).

Se hallan calculando los valores de la variable y
cuando la variable x toma el valor 0.
SIGUIENTE

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Puntos de corte

Los puntos de corte con los ejes coordenados de
una función son los puntos de intersección de su
gráfica con los ejes coordenados.
(0, 2) corte
EJE X, y = 0 con eje Y
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x,
cuando la variable y toma el valor 0.

EJE Y, x = 0

Son de la forma (0, b).
(-3, 0) corte
Se hallan calculando los valores de la variable y con eje X
cuando la variable x toma el valor 0.
SIGUIENTE

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Una función es creciente en un tramo si, al aumentar
el valor de x, también aumenta el valor de y.

Una función es decreciente en un tramo si, al
aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

SIGUIENTE

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Una función es creciente en un tramo si, al aumentar
el valor de x, también aumenta el valor de y.

Una función es decreciente en un tramo si, al
aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

Decreciente Creciente
en (-∞, -5) en (5, 4)

Decreciente
en (4, + ∞)

SIGUIENTE

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Máximos y mínimos
En los puntos donde la gráfica pasa de ser
creciente a decreciente

se dice que la función alcanza un máximo.

En los puntos donde la gráfica pasa de ser
decreciente a creciente

se dice que la función alcanza un mínimo.

Mínimo en x = -5
Máximo
en x = 4

SIGUIENTE

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Simetrías

Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)
o simetría par
Una función es simétrica respecto del eje de
ordenadas cuando
f ( x ) = f (− x )

Simetría respecto del origen
o simetría impar
Una función es simétrica respecto del origen cuando
f ( − x ) = −f ( x )

SIGUIENTE

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Simetrías

f (x) = x2 − 4

Simetría par f ( x ) = f ( −x )

f ( x ) = x 2 − 4

f ( − x ) = ( − x ) − 4 = x − 4
2 2

f ( x ) = x 3 + 5x

Simetría impar f ( x ) = −f ( − x )

f ( x ) = x 3 + 5 x


[ ] [ ]
 − f ( − x ) = − ( − x ) 3 + 5( − x ) = − − x 3 − 5 x = x 3 + 5 x


SIGUIENTE

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Unidad 9: Funciones

Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se
repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo.

Conocido el valor de la
función en un intervalo
de amplitud T, se
puede construir el resto
de la gráfica
trasladándola a la
derecha e izquierda
periodo por todo el dominio.
T =2

SIGUIENTE

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Unidad 9: Funciones

Estudio de una función
Dominio:
Dom f (x ) = (− ∞,+∞) → todos los números reales

Recorrido:
Im f ( x ) = (− ∞, +∞) → todos los números reales

Puntos de corte:
Eje X : x = -5 P(-5,0) Eje Y : y = 0 P(0,0)
x = 0 P(0,0)

Continuidad: la función es continua.

decrecient e (-3,0)
Crecimiento y decrecimiento: creciente (- ∞,-3) ∪ (0, + ∞)

máximo en (-3,3)
Máximos y mínimos:
mínimo en (0,0)

No es simétrica.

No es periódica.

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Enlaces de interés

DivulgaMat Diccionario matemático

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Actividad: La función lineal y la función afín

Dirección:
http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm

En la sección chilena de la Editorial
Santillana, se propone una actividad en
la que se podrá realizar la gráfica de la
función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para
distintos valores de la variable x y los
parámetros m, n, a y b.

Para conocerlo, sigue este enlace.

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