Este documento describe los polinomios de Zernike, que se utilizan para simular y reconstruir frentes de onda distorsionados por la atmósfera. Explica cómo los polinomios de Zernike se pueden usar para descomponer una aberración de onda en una suma de funciones modales y cómo la simulación de frentes de onda involucra generar coeficientes estadísticamente independientes y transformarlos a la base de Zernike. También cubre cómo la reconstrucción modal implica calcular los coeficientes inversos utilizando

1. POLINOMIOS DE ZERNIKE
M. P. Cagigal, V. F. Canales
Optica adaptativa en astronomía y medicina
Universidad de Laredo. Septiembre. 2000.
UC

2. UCCONTENIDO
- Descripción de los polinomios de Zernike.
- Simulación de frente de ondas ditorsionados
por la atmósfera.
- Reconstrucción del frente de ondas a partir de
los datos del sensor.

3. UCABERRACION DE ONDA
Q
Q’
P0
La función φ(r,t) = Q-Q’ definida sobre la pupila del sistema se
denomina aberración de onda.
Se puede desarrollar en polinomios de Zernike.
P’0
E(r,t) = E 0(r,t) exp(ik φ(r,t) )

4. UCPolinomios de Zernike
0)(R1nZ
0)msen(2)(R1nZ
0)mcos(2)(R1nZ
0
ni
m
nimpari
m
npari
=+=
≠+=
≠+=
mr
mr
mr
θ
θ
2sn
2/)mn(
0s
s
m
n
s]!m)/2[(ns]!m)/2[(ns!
)!sn()1(
)(R −
−
=
∑ −−−+
−−
= rr

5. UC
0 1 2 3 4
0
Z1=1
Constante
1
Z2=2r cosθ
Z3=2r senθ
Tilts
2
Z4=3
1/2
(2r
2
-1)
Desenfoque
Z5=6
1/2
r
2
sen2 θ
Z6=6
1/2
r
2
cos2θ
Astigmatismo
3
Z7=8
1/2
(3r
3
-2r)
sen θ
Z8=8
1/2
(3r
3
-2r)
cosθ
Coma
Z9=8
1/2
r
3
sen3 θ
Z10=8
1/2
r
3
cos3θ
Coma de
curvatura 0
4
Z11=5
1/2
(6r
4
-
6r
2
+1)
Esférica
Z12=10
1/2
(4r
4
-
3r
2
)cos2 θ
Z13=10
1/2
(4r
4
-
3r
2
) sen2θ
Astigm. 5º orden
Z14=10
1/2
r
4
cos4 θ
Z15=10
1/2
r
4
sen4θ
Frecuencia acimutal (m)
ordenradial(n)
Polinomios de Zernike

6. UC
m
piston
tilttilt
desenfoque astigmatismo
coma
esférica astigmatismo 5º orden
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
n
Z1
Z2 Z3
Z11
Z4 Z5Z6
Z10Z7Z8
Z12
Z9
Z14 Z15Z13
Polinomios de Zernike

7. UCDesarrollo en Pol. De Zernike
)(Za)( i
i
2i
i
max
rr

∑=
=φ
3/5
0
2
i
2
2
i
2
j )j(coefaa)( 





====∆ ∑∑
∞
=
∞
= r
D
r
jii

φ

8. Índice del último modo corregido j Varianza residual ∆j,rad2
1 1.0299 (D/r0)5/3
2 0.582 (D/r0)5/3
3 0.134 (D/r0)5/3
4 0.111 (D/r0)5/3
5 0.0880 (D/r0)5/3
6 0.0648 (D/r0)5/3
7 0.0587 (D/r0)5/3
8 0.0525 (D/r0)5/3
9 0.0463 (D/r0)5/3
10 0.0401 (D/r0)5/3
11 0.0377 (D/r0)5/3
12 0.0352 (D/r0)5/3
UCVarianza residual

9. UCSIMULACION
- Obtención de datos realistas.
- Realización de aproximaciones.
- Separación de las distintas contribuciones.
- Manejo del ruido.
- Elevado número de muestras.
- Condiciones poco frecuentes.

10. UCSIMULACION
)(Za)( i
i
2i
i
max
rr

∑=
=φ
Simulación de los valores de ia

11. UCPolinomios de Karhünen-Loève
- Base con coeficientes estadísticamente independientes.
- Funciones no analíticas.
- Desarrollable en modos de Zernike.

12. UC





 ++
Γ




 +−
Γ




 +−
Γ











 +
Γ
=><= ∗
2
/332n´n
2
/371nn´
2
17/3n´n
2
n´-5/3n
δK
aaC
3/5
0
zzz´
i´iii´
r
D





⋅



=
=+
=⋅
=
casosderestoelen0
0m
parj'j
siym´msi1
δz 1)1)(n´(n(-1)2.2698K n´-2m)/2(n
zz´ ++= +
Covarianzas de los coef. de Zernike

13. UCMatriz de covarianzas-SVD
C = X S XT X Diagonal
S Unitaria


























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
0025.00000000000000
00025.0000000000000
000025.000000000039.0000
0000025.0000000039.00000
00000025.00000000039.000
000000063.000000000
0000000063.00000000
00000000063.0000000144.0
000000000063.00000144.00
0000039.0000000236.00000
000039.000000000236.0000
00000039.00000000236.000
000000000144.00004557.00
00000000144.0000004557.0
C

14. UCAlgoritmo simulación
1 - Estimación del número de polinomios NR en la simulación. Sin piston.
2 - Descomposición SVD de la matriz de covarianzas.
3 - Generación de NR variables gauss. bi (1 <i< NR). < bi >=0 y varianza Sii
4 - Cálculo de coef. de Zernike usando: A=XB. A: vector de coef. ai de Zer.
B: vector de coef. bi de Karhünen-Loève. X matriz de cambio de base.
5 - Multiplicación de los ai por (D/r0)5/6
para incluir la atmósfera.
6 - Cálculo del frente de onda a partir de )(Za)( i
i
2i
i
max
rr

∑=
=φ

15. Corrección:
a1...aC = 0
Condiciones
Atmosféricas
ai = ai*(D/r0)5/6
SVD
descomposicion de la matriz
de covarianxa de Zernike
CNxN = X S XT
N número de
modos
Coeficientes
Karhünen-Loève : B
(b1...bi...bN)
Números Gaussianos
aleatorios, var Sii
Coef. Zernike.:
A = X B
Frente de onda
Simulación de frentes de onda UC

16. Simulación de frentes de onda UC

17. Reconstrucción modal UC
)(Za)( i
i
2i
i
max
rr

∑=
=φ
mm x
r
x
r
∂
∂
=
∂
∂
∑=
)(Z
a
)( i
k
1i
i

φ
mm
y
r
y
r
∂
∂
=
∂
∂
∑=
)(Z
a
)( i
k
1i
i

φ

18. Reconstrucción de frentes de onda UC
[ ] aBS ⋅=
















































∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
1
2
2
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
M
M
y
r
y
r
y
r
x
r
x
r
x
r
S








φ
φ
φ
φ
φ
φ














=
ka
a
a
a

2
1

19. Matriz de derivadas UC
[ ]
















































∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
k
2
2
2
1
2
k
2
2
2
1
1
k
1
2
1
1
2
k
2
2
2
1
2
k
2
2
2
1
1
k
1
2
1
1
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
MMM
MMM
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
B





















20. Reconstrucción modal UC
( )( ) SBBBa TT
⋅=
−1
El uso de polinomios de Zernike permite encontrar de
forma explícita los coeficientes de B

21. Conclusiones UC
- Descripción de la aberración de onda estableciendo
conexión con las aberraciones clásicas.
- Simulación.
- Reconstrucción modal.