1. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO
Un cuerpo rígido es aquel
constituido por un sistema
de partículas, tal que al ser
aplicada una fuerza
A BF1
F2
aplicada una fuerza
externa, la distancia entre
dos de ellas permanece
constante. Está sometido a
dos tipos de movimientos:
traslación y rotación.
2. MOMENTUM ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO
Ri
Z
iω
r
iv
r
3
2
1
iiii
iiiiii
iiii
ii
vxrmL
vmxrpxrL
Rsenrv
rxv
=
==
==
=
ωθω
ω
rrr
rrrrr
rrr
( )
ω
ω
2
iiiz
iiiiz
RmL
RRmL
=
=
Ri
Ai
ir
r
2
π
iL
r
izL
r
iθ
4
2
cos
iiiiz
iiii
iiiiiz
iiii
vRmL
senvrm
vrmL
=⇒
=
−=
θ
θ
π
3. Si deseamos hallar el
momentum angular
total a lo largo del
eje Z, debemos
sumar las
contribuciones de las
otras partículas:
( )ω22
33
2
22
2
11
1
321
...................
.................
nn
n
i
izznzzz
RmRmRmRm
LLLLLLz
++++=
=++++= ∑
=
5
1
2
∑
=
=
n
i
iiRmI
I: momento de
inercia
6ωILiz = 7α
ω
I
dt
d
I
dt
dLiz ==
Para determinar
el momentum
angular de todo
el cuerpo:
∑=+++= iLLLLL
rvrrr
.....................321
4. X0
Y0
z0
z
Existen por lo menos
tres direcciones
mutuamente
perpendiculares para
los que el momentum
angular es paralelo al
eje de rotación; estos
X0
Y0
z0
Y0
z0
X0
eje de rotación; estos
reciben el nombre de
ejes principales de
inercia (x0, y0, z0 ), y sus
momentos omento
principales de inercia.
(Ix, Iy, Iz)
5. En forma general
cuando un cuerpo
rota alrededor de un
eje principal de
inercia, el
momentum angular
total es paralelo a ω
r
8ω
rr
IL =
( ) αω
rr
r
II
dt
d
dt
Ld
==⇒
9α
rr
IM =
Rv ω=
Para una partícula que
se encuentra rotando
con velocidad vi, la
expresión para la
energía cinética es:
ii Rv ω=
10
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22222
ω
ωω
IE
RmRmEvmE
k
i i i
iiiikiik
=
==⇒=∑ ∑ ∑
6. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
Para un
conjunto
discreto de
partículas:
12
∑=
i
ii RmI
( ) 322
222
dmyxI
yxR
z
i
∫ +=⇒
+=
De la figura:
Z
PR
Si del cuerpo anterior
se toma una placa
Consideremos
un cuerpo
rígido que gira
alrededor del
eje Z, tomemos
un dm en el
punto P.
X
Yx
P
y
R
dm
5
2
2
yxz
y
x
III
dmxI
dmyI
+=⇒
=
=
∫
∫
X
Y
Z
x
y
R
4
se toma una placa
delgada, los momentos
de inercia respecto a X
é Y son:
7. TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJE PARALELOS
Este teorema relaciona el momento de inercia alrededor
de un eje que pasa por el centro de masas y otro paralelo
al mismo
Zc
Z
a = separación
entre los ejes Z y
P
X
Y Yc
a
CM
RCM
P’
x
yR
entre los ejes Z y
Zc
CM = origen del
CM
Zc, eje paralelo que
pasa a través del
CM del cuerpo
8. De la
figura: ( )
yaaRR
yaayxayxR
yxR
Cm
CM
2
2
222
222222
222
++=⇒
+++=++=
+=
Luego el
momento de
inercia respecto
del eje Z es:
( )
( )∑∑ ∑
∑∑
++=
++==
yamamRm
yaaRmRmI
CM
CM
2
2
22
222
∑++= ymaMaI 22
∑++= ymaMaICM 22
La cantidad
puede ser evaluada
de la posición del
CM:
, pero yCM= 0
∑ ym
∑
∑=
m
ym
YCm
6:;0 2
∑ +==⇒ aMIIluegoym CM
9. Ejemps.
1.- Hallar el momento de
inercia del sistema
mostrado para la rotación
alrededor de un eje
paralelo que pasa a través
de las dos masas. m
m
m
m
2b
2a
1
2
3
4
2
2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
1
8
)2()2()0()0(
amI
amammmrmI i
i
i
=
+++== ∑=
10. m1 m2
m3m4
z
x
y2.- Cuatro partículas están en los vértices de un
cuadrado unidas por varillas sin masa, de modo
que m1=m3= 3 kg y m2=m4= 4 kg. La longitud del
lado del cuadrado es L = 2m. (a) Hallar el
momento de inercia respecto a un eje
perpendicular al plano de las partículas y que
pasa a través de m4. (b)¿Cuánto trabajo se
necesita para producir una rotación de 2 rad/s
alrededor de este eje?
z
∑
∑
=+=+==
=+=+==
+=
28)4(3)4(4)2()2(
28)4(4)4(3)2()2(
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
mmxmI
mmymI
III
iiy
iix
yxz(a)
2
56 mkgIz =
( ) J
s
rad
mkgIEEw kk 112456
2
1
2
1
2
2
22
0 =
==−= ω(b)
11. 3.- Calcular el momento de inercia de una varilla delgada homogénea con
respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a través de (a) un
extremo; y (b) al centro.
dx
x
x
y
dx
x
x
y yc
x
L
x
L/2L/2
(a)
2
0
3
0
2
0
2
2
3
1
3
LM
L
Mx
I
dxx
L
M
dx
L
M
xI
dx
L
M
dmperodmxI
L
y
LL
y
y
=
=
=
=
==
∫∫
∫
(b)
2
2
2
2
2
3
2
12
1
3
LMI
x
L
M
dx
L
M
xI
CM
L
L
L
L
CM
=
=
= ∫−
−
2
2
22
2
12
1
23
1
2
LMI
L
MLMaMII
L
aaMII
CM
CM
Cm
=
−=−=
=+=Usando el
teorema de
Steiner:
12. r
dr
y
z
4.- Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo con respecto a (a)
Un eje perpendicular que pasa por su centro; (b) Un eje que coincide con un
diámetro.
( )
( )
[ ] 2
0
4
2
0
3
0
2
2
22
2
1
4
2
2
2
;2;
RMIr
R
M
I
drr
R
M
drr
A
M
rI
rAdrr
A
M
dmdmrI
R
RR
=⇒
=
=
=
=
==
∫∫
∫
π
π
π
ππ(a)
Rx
y
(b) En este caso Ix = Iy
2
4
1
2
1
2
RMIII
IIIIIIPara
xx
xyxz
=⇒=
=⇒+==
13. 5.- Emplear el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia de
una esfera maciza alrededor de un eje tangente a la esfera.
2
aMII +=
Según el teorema de
Steiner:
R 2
aMII CM +=
2
RMIIRa CM +=⇒=
R
14. R
r
x
dx
CM
De la figura:
Consideremos un conjunto de discos de espesor dx y
radio r, que cubren el volumen de la esfera.
( ) ( ) 3222
3
4
RVdxxR
V
M
dxr
V
M
dm π
π
π =−==
Para un disco dmdiscodelmasaRMI == ,
2
1 2
( )( )
−−==⇒= ∫ dxxRxR
M
rdmdIdII
R
CM
22222 11 π
CM ( )( )
−−==⇒= ∫
−
dxxRxR
V
M
rdmdIdII
R
CM
22222
2
1
2
1 π
( )
( )
2
222
222
5
2
2
2
1
RMI
dxxRMVI
dxxRMVdI
CM
R
R
CM
=
−=
−=⇒
∫−
π
π
222
5
7
5
2
RMRMRMI =+=⇒
15. Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que
está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una
polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el
coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano
horizontal vale 0.1, calcular:
La aceleración de los cuerpos
Las tensiones de la cuerda
La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg haLa velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha
descendido 2 m partiendo del reposo. (emplear dos
procedimientos de cálculo para este apartado) I=MR2/2
17. aTT
aT
aT
5,7
2001960
5049
12
2
1
=−
=−
=− De donde: 2
/42,7 sma =
Reemplazando datos, tenemos:
Al desplazarse 2m, el cuerpo de 200 kg:
tay
1 2
=
Si aplicamos el balance de energía:
2)8,9(20015
2
1
2
1
200
2
1
50
2
1
2
1
2
1
2
1
2222
22
2
2
1
−
++=
∆+++=
ω
φω
RvvW
IvmvmW
smv
tav
tay
/45,5
2
2
=⇒
=
=
18. El trabajo fue realizado por la fuerza de rozamiento, entonces:
smv
Rvdiscodelangular
velocidadlaybloqueslosentrerelaciónlaSiendo
Jxfw
/45,5
.
982.49.
=⇒
=
=−=−=
ω
