1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa. 2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión. 3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior. 4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.

1. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES
G x
z
y
n
n
σMAX(COMPRESIÓN)
σMAX(TRACCIÓN)
Problemas resueltos

2. 5.1.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de
la figura.
Cálculo de reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:
Diagramas de esfuerzos:
15 kN/m
10 kN.m
20 kN
8 kN
A
B
2 m 1 m 1 m 1 m
RA
RB
: 23
35
A
B
resolviendo R kN
R kN
=
=
0 15.2 20 8 (1)
0 .4 15.2.1 20.3 8.5 (2)
A B
A B
F R R
M R
= + = + +
= = + +
∑
∑
0 2
23 15. 0 23 2 7
0 23 15. 0 1,53
23. 15. . 0 0 2 16 .
2
1,53 17,63 .
y y y
y
z z z
z
x
V x x V kN x V kN
V x x m
x
M x x x M x M kN m
x M kN m
− −
= − = → = = → = −
= − = → =
= − = → = = → =
= → =
2 3
23 15.2 7
23. 15.2.( 1) 10 2 26 .
3 19 .
y
z z
z
x
V
M x x x M kN m
x M kN m
− −
= − = −
= − − + = → =
= → =
27
7
8
23
1,53 m
x
Vy (kN)
17,63
16
19
26
8
Mz (kN.m)
x
-
+
+

3. 3 4
23 15.2 20 27
23. 15.2.( 1) 10 20.( 3) 3 19 .
4 8 .
0 3,7
4 5
8
8.(5 ) 4 8 .
5 0
y
z z
z
z
y
z z
z
x
V kN
M x x x x M kN m
x M kN m
M x m
x
V kN
M x x M kN m
x M
− −
= − − = −
= − − + − − = → =
= → = −
= → =
− −
=
= − − = → = −
= → =

4. 5.2.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de
la figura
Cálculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Diagramas de esfuerzos:
1
0 .2,5.1,5 10 11,87
2
1 1
0 .2,5.1,5.(2 .1,5) 10.1 14,68 .
2 3
A
A A
F R kN
M M kN m
= = + =
= = + + =
∑
∑
2,5 kN/m 10 kN
1,5 m 1 m 1 m
RAMA
h
x
2,5
: 1,67.
1,5
h
por semejanza de triángulos h x
x
= → =
0 1,5
1 1
. . . .1,67. 0 0 1,5 1,87
2 2
1 1
. .1,67. . . 0 0 1,5 0,94 .
2 3
1,5 2,5
1
.1,5.2,5 1,87
2
1 2
.1,5.2,5.( .1,5) 1,5 0,94 . 2,5 2,81 .
2 3
y y y
z z z
y
z z z
x
V x h x x x V x V kN
M x x x x M x M kN m
x
V kN
M x x M kN m x M kN m
− −
= − = − = → = = → = −
= − = → = = → = −
− −
= − = −
= − − = → = − = → = −
11,87
1,87
Vy (Kg)
x
14,68
2,81
0,94
Mz (Kg.m)
x
-
-

5. 2,5 3,5
11,87
11,87.(3,5 ) 14,68 2,5 2,81 .
3,5 14,68 .
y
z z
z
x
V kN
M x x M kN m
x M kN m
− −
= −
= − − = → = −
= → = −

6. 5.3.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de
la figura sometida a las cargas verticales y horizontales indicadas
Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos:
10 kN
8 kN
z
y
1 m 2 m 1 m
VA VB
HA
HB
0 10 (1)
0 8 (2)
0 .4 10.1 (3)
0 .4 8.3 (4)
y A B
z A B
zA B
yA B
F V V
F H H
M V
M H
= + =
= + =
= =
= =
∑
∑
∑
∑
7,5
2,5
2
6
A
B
A
B
V kN
V kN
H kN
H kN
=
=
=
=
0 1
7,5 2
7,5. 0 0 1 7,50 .
2. 0 0 1 2 .
y z
z z z
y y y
x
V kN V kN
M x x M x M kN m
M x x M x M kN m
− −
= =
= = → = = → =
= = → = = → =
2,5
7,5 6
2
7,5
6
2
2,5
Vy (kN)
Vz (kN)
Mz (kN.m)
My (kN.m)
x
x
x
x
-
-
+
+
+
+

7. 1 3
7,5 10 2,5
2
7,5. 10.( 1) 1 7,5 . 3 2,5 .
2. 1 2 . 3 6 .
3 4
7,5 10 2,5
2 8 6
7,5. 10.( 1) 3 2,50 . 4 0
2. 8.( 3) 3 6 .
y
z
z z z
y y y
y
z
z z z
y y
x
V kN
V kN
M x x x M kN m x M kN m
M x x M kN m x M kN m
x
V kN
V kN
M x x x M kN m x M
M x x x M kN m
− −
= − = −
=
= − − = → = = → =
= = → = = → =
− −
= − = −
= − = −
= − − = → = = → =
= − − = → = 4 0yx M= → =

8. 5.5.-Representar los diagramas de solicitaciones de la estructura de nudos rígidos de la
figura
Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos:
10 kN
6 kN/m
3 m
4 m
VA
VB
HA
A
C D
B
0 10
0 6.4
0 .4 10.3 6.4.2
H A
V A B
A B
F H kN
F V V
M V
= =
= + =
= = +
∑
∑
∑
4,5
19,5
A
B
V kN
V kN
=
=
4,5 10
10. 0 0 3 30 .
y
z z z
Pilar AC
N kN V kN
M x x M x M kN m
= − =
= = → = = → =
- - +
++
4,5
N (kN)
Mz (kN.m)
19,5
10
4,5
19,5
30
30
31,69
Vy (kN)
-

9. :
10 10 0
4,5 6.
0 4,5 4 19,5 0 0,75
4,5. 10.3 6. .
2
0 30 . 4 0 0,75 31,69 .
:
19,5
0
0
y
y y Y
z
z z z
y
z
Viga CD
N
V x
x V kN x V kN R x m
x
M x x
x M kN m x M x M kN m
Pilar BD
N kN
V
M
= − =
= −
= → = = → = − = → =
= + −
= → = = → = = → =
= −
=
=

10. 5.7.-Representar los diagramas de solicitaciones de la viga de la figura
Cálculo de reacciones:
20 kN/m
18 kN/m
10 kN.m
8 kN.m 50 kN
22 kN
3 m2 m1 m
65,6
47,6
2,4
62,4
14,8
7,210
97,2
8
21,6
Vy
Vz
Mz
My
x
x
x
x
Solución:
+
+
-
-
+
+
-
-
VA VB
HA HB
1
0 .18.2 50 20.3 (1)
2
0 22 (2)
1 2
0 .5 10 18.(3 .2) 50.3 20.3.1.5 (3)
2 3
0 .5 8 22.3 (4)
resolviendo (1), (2), (3), (4) 65,6 62,4
14,8 7,2
y A B
z A B
zB A
yB A
A B
A B
F V V
F H H
M V
M H
V kN V kN
H kN H kN
= + = + +
= + =
= = + + + +
= = +
⇒ = =
= =
∑
∑
∑
∑

11. [ ]
[ ]
0 1: 0 8 .
1
1 3: 65,6 9.(3 ).( 1) .( 1). 18 9.(3 )
2
1 65,6 3 47,6
14,8
( 1) 1 2
65,6.( 1) 9.(3 ).( 1). .( 1). 18 9.(3 ) . .( 1) 10
2 2 3
1 10 . 3 97,2
y z z y
y
y y
z
z
z z
x V V M M kN m
x V x x x x
x V kN x V kN
V kN
x
M x x x x x x
x M kN m x M kN
− − = = = =
− − = − − − − − − −
= → = = → =
= −
−
= − − − − − − − − − −
= → = − = → = .
8 14,8.( 1)
1 8 . 3 21,6 .
1
3 6: 65,6 .18.2 50 20.( 3)
2
3 2,4 6 62,4
14,8 22 7,2
1 1 ( 3)
65,6.( 1) .18.2.( 1 .2) 10 50.( 3) 20.( 3).
2 3 2
3 97,2 . 6
y
y y
y
y y
z
z
z
m
M x
x M kN m x M kN m
x V x
x V kN x V kN
V kN
x
M x x x x
x M kN m x
= − −
= → = = → = −
− − = − − − −
= → = − = → = −
= − + =
−
= − − − − − − − − −
= → = = 0 .
8 14,8.( 1) 22.( 3)
3 21,6 . 6 0 .
z
y
y y
M kN m
M x x
x M kN m x M kN m
→ =
= − − + −
= → = − = → =
18
h
x
1 2
18
9.(3 )
2 3
h
h x
x
= → = −
−

12. 5.11.-Una sección de una viga está sometida a las siguientes solicitaciones: Vy = 90 kN.,
Vz = -70 kN., Mz = 40 kN.m., My = -50 kN.m. La sección es rectangular de 30 cm x 40 cm.
Calcular:
1) Tensiones normal y cortante en un punto de la sección de coordenadas:
y= -10 cm., z= 8 cm
2) Línea neutra, indicando las zonas de la sección de tracción y de compresión
3) Tensión normal máxima, indicando el punto donde se dará.
4) Diagramas de tensiones cortantes y Tensión cortante máxima
5) Tensión cortante media
50 kN.m
40 kN.m
70 kN
90 kN
40 cm
30 cm
8 cm
10 cm
A
z
y
x
σx
)(0
9000030.40.
12
1
16000040.30.
12
1
43
43
sprincipaleEjessimetriadeejesI
cmI
cmI
zy
y
z
→=
==
==
6 6
2
4 4
.. 40.10 .( 100) 50.10 .(80)
6,94 /
160000.10 90000.10
y Az A
xA
z y
M zM y
N mm
I I
σ
− −
= + = + = −
3 3
2
4
. ( ) . ( ) 70.10 .(3220.10 )
0,626 /
( ). ( ). 40.10.90000.10
y z z y
xzA
z y
R Q z R Q z
N mm
t z I t z I
τ
−
= + = = −
3 3
2
4
. ( ) . ( ) 90.10 .( 4500.10 )
0,84 /
( ). ( ). 30.10.160000.10
y z z y
xyA
z y
R Q y R Q y
N mm
t y I t y I
τ
−
= + = = −
3
( ) 30
( ) 30.10.( 15) 4500
( ) 0
z
y
t y cm
Q y cm
Q y por simetría
=
= − = −
=
3
( ) 40
( ) 0
( ) 40.7.11,5 3220
z
y
t z cm
Q z por simetría
Q z cm
=
=
= =
z
y
40
8 7
A
τxz
z
y
30
10
10
A
τxy

13. 2) Línea neutra:
. 50.160000
2,22
. 40.90000
y z
z y
M I
tag
M I
α
−
= − = − = →
3) Tensiones normales máximas:
α = 65,8º
α = 65,8º
n
n
z
y
G z z
y y
n
n
n n
T T
T
T
C C C
C
Mz > 0 My < 0
T
C
T
C
G
n
n
z
x
x
B
D
y
σMAX(C)
σMAX(T)
6 6
2
4 4
.. 40.10 .20.10 50.10 .( 15.10)
( ) 13,33 /
160000.10 90000.10
y Bz B
MAX xB
z y
M zM y
T N mm
I I
σ σ
− −
= = + = + =
6 6
2
4 4
.. 4010 .( 20.10) 50.10 .15.10
( ) 13,33 /
160000.10 90000.10
y Dz D
MAX xD
z y
M zM y
C N mm
I I
σ σ
− −
= = + = + = −

14. 4) Diagramas de tensiones cortantes
Diagramas de τxy:
→
siendo:
Diagramas de τxz:
→→→→
siendo:
3 2 2 3
4
. ( ) . ( ) 90.10 .15.(20 ).10
( ). ( ). 30.10.160000.10
y z z y
xy
z y
R Q y R Q y y
t y I t y I
τ
−
= + =
20 0
0 1,125
20 0
xy
xy
xy
y
y
y
τ
τ
τ
= → =
= → =
= − → =
z
y
y
20
30
τxy
τXYMAX
τXYMAX
2 2 3
( ) 30
20
( ) 30.(20 ). 15.(20 )
2
( ) 0
z
y
t y cm
y
Q y y y cm
Q y por simetría
=
+
= − = −
=
3 2 2 3
4
. ( ) . ( ) 70.10 .20.(15 ).10
( ). ( ). 40.10.90000.10
y z z y
xz
z y
R Q z R Q z z
t z I t z I
τ
− −
= + =
15 0
0 0,875
15 0
xz
xz
xz
z
z
z
τ
τ
τ
= → =
= → = −
= − → =
2 2 3
( ) 30
15
( ) 40.(15 ). 20.(15 )
2
( ) 0
y
z
t z cm
z
Q z z z cm
Q z por simetría
=
+
= − = −
=
y
40
15
z
z
τxzMAX
τxzMAX

15. 5) Tensión cortante media:
2
2
1,125 /
0,875 /
xyMAX
xzMAX
N mm enlos puntos del eje z
N mm enlos puntos del eje y
τ
τ
=
=
2 2 2
1,425 /MAX xyMAX xzMAX N mm enel centro de gravedad Gτ τ τ= + =
τxyMAX
τxzMAX
τMAX
G
y
z
τXYmediaτXYmedia
τxzmedia
τxzmedia
3
2
3
2
90.10
0,75 /
300.400
70.10
0,583 /
300.400
y
xymedia
z
xzmedia
V
N mm
A
V
N mm
A
τ
τ
= = =
−
= = =

16. 5.12.-La sección de una viga IPE-300 está solicitada por los esfuerzos cortantes:
Vy=30 kN., Vz=20 kN. Se pide calcular:
1) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección, debidas
sólo a Vy.
2) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección debidas
sólo a Vz
3) Valores medios de las tensiones cortantes en alas y alma
Tramo s1:
→→→→
→→→→
Tramo s2:
→→→→
→→→→
h/2=150 mm
h/2=150 mm
b/2=75 mm b/2=75 mm
tw= 7,1 mm
tf=10,7 mm
10,7 mm
z
y
Vy=30 kN
s1s2
s5
Vz=20 kN
s4 s3
d=248,6
4 4
4 4
300
8360.10
604.10
z
y
IPE
I mm
I mm
−
=
=
. ( ) . ( )
( ). ( ).
y z z y
xs
z y
V Q s V Q s
t s I t s I
τ = +
1 1
21
1 1 1
3
1
4
3 2
1
( ) 10,7
10,7
( ) 10,7. .(150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5.
2
. ( ) 30.10 .1547,75.
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .( 5,35. 802
( ).
f
z
y
y z
y xs
z
z y
z xs
y
t s t
Q s s s
s
Q s s s s
V Q s s
debidoaV
t s I
V Q s s
debidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − =
= − = − +
→ = =
− +
→ = = 1
4
,5. )
10,7.604.10
s
1
2
1
0 0
75 3,9 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → =
1
2
1
0 0
75 9,176 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → =
[
2 2
22
2 2 2
3
2
4
3 2
2
( ) 10,7
10,7
( ) 10,7. .(150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5.
2
. ( ) 30.10 .1547,75.
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .(5,35. 802,
( ).
f
z
y
y z
y xs
z
z y
z xs
y
t s t
Q s s s
s
Q s s s s
V Q s s
debidoaV
t s I
V Q s s
debidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − =
= − − = −
→ = =
−
→ = = 2
4
5. )
10,7.604.10
s
2
2
2
0 0
75 3,9 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → =
2
2
2
0 0
75 9,176 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → = −

17. Tramo s3:
→→→→
→→→→
Tramo s4:
→→→→
→→→→
Tramo s5:
→→→→
[ ]3 3
23
3 3 3
3
3
4
3
3
( ) 10,7
10,7
( ) 10,7. . (150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5.
2
. ( ) 30.10 .( 1547,75. )
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .( 5,35.
( ).
f
z
y
y z
y xs
z
z y
z xs
y
t s t
Q s s s
s
Q s s s s
V Q s s
debidoaV
t s I
V Q s s
debidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − − = −
= − = − +
−
→ = =
−
→ = =
2
3
4
802,5. )
10,7.604.10
s+
3
2
3
0 0
75 3,9 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → = −
3
2
3
0 0
75 9,176 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → =
[ ]
[ ]
4 4
23
3 4 4
3
4
4
3 2
4
( ) 10,7
10,7
( ) 10,7. . (150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5.
2
. ( ) 30.10 .( 1547,75. )
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .(5,35.
( ).
f
z
y
y z
y xs
z
z y
z xs
y
t s t
Q s s s
s
Q s s s s
V Q s s
debidoaV
t s I
V Q s s
debidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − − = −
= − − = −
−
→ = =
→ = = 4
4
802,5. )
10,7.604.10
s−
4
2
4
0 0
75 3,9 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → = −
4
2
4
0 0
75 9,176 /
xs
xs
s
s N mm
τ
τ
= → =
= → = −
2
35 5
, 5
2
3 3 5
4
( ) 7,1
( ) / 2 7,1. . 314.10 7,1.
2 2
( ) 0 ( )
30.10 .(314.10 7,1. ). ( ) 2
( ). 7,1.8360.10
. ( )
0
( ).
w
z pl y
y
y z
y xs
z
z y
z xs
y
t s t
s s
Q s W s
Q s por simetría
s
V Q s
debidoaV
e s I
V Q s
debidoaV
e s I
τ
τ
= =
= − = −
=
−
→ = =
→ = =
2
5
2
5
0 15,87 /
124,3 13,1 /
xs
xs
s N mm
s N mm
τ
τ
= → =
= → =

18. Debido a Ry: hay tensiones cortantes en el alma y en las alas
Observación: Las tensiones cortantes en las alas, debidas a Vy , se suelen despreciar
Debido a Vz: sólo hay tensiones en las alas
3) Valores medios de las tensiones cortantes en alma y alas
2
15,87 / ( )MAX N mm enel centro del alma Gτ =
2
9,176 /MAX N mm enel centro delas alasτ =
d/2=12,43 cm
d/2=12,43 cm
z
15,87
13,1
13,1
3,9
3,9
τMAX
G
τMAX
*
*
alma
ala
ala
14,08
τmedia
91,76
9,176
τMAX
τMAX
z
Diagramas de τxs debidas a Vy: Diagramas de τxs debidas a Vz:
τmedia
5,53
3
2
3
2
2
30.10
( ) 14,08 /
. 300.7,1
20.10
( ) 5,53 /
. 53,8.10 248,6.7,1
y y
xymedia
alma w
z z
xzmedia
alas w
V V
alma N mm
A h t
V V
alas N mm
A A d t
τ
τ
= = = =
= = = =
− −

19. 5.13.-En la viga de la figura y para los tres casos de sección indicados, calcular las
tensiones normales y cortantes en los puntos 1,2 y 3 señalados de la sección más solicitada.
Cálculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:
→ Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos
Sección más solicitada: 1 15 15 .y zx V kN M kN m−
= → = =
a) Sección rectangular:
0 20 (1)
0 .4 20.1 (2)
A B
A B
F R R
M R
= + =
= =
∑
∑
15
5
A
B
R kN
R kN
=
=
15
15
5
Vy
Mz
x
x
+
+
-
0 1
15
15.
0 0 1 15 .
y
z
z z
x
V kN
M x
x M x M kN m
− −
=
=
= → = = → =
1 4
15 20 5
15. 20.( 1)
1 15 . 4 0
y
z
z z
x
V kN
M x x
x M kN m x M
− −
= − = −
= − −
= → = = → =
45 mm
90 mm
22,5 mm
y
z
1
2
3
22,5 mm
3 4 41
.45.90 273,4.10
12
0
z
zy
I mm
I ejes de simetría ejes principales
= =
= → →
z
z
I
yM .
=σ
( )
( ).
y z
xy
z
V Q y
t y I
τ =
( )
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ =
y
1
3
2
1
2,25 cm
IPE-140
R= 5 cm
2,5 cm
y
d/2=5,6 cm
3
y
20 kN
1 m 3 m
9 cm
4,5 cm
z
1
2
3
z
2
z
RA
RB

20. punto 1:
siendo:
punto 2:
siendo:
punto 3:
siendo:
6
2 21
1 4
. 15.10 .45
/ 246,9 /
273,4.10
z
z
M y
N mm N mm
I
σ = = =
1
1
1
( )
0
( ).
y z
xy
z
V Q y
t y I
τ = = 1
1
1
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
1 1
1
1
1
45 0
( ) 45
( ) 0
( ) 0
z
z
y mm z
t y mm
Q y
Q z por simetría
= =
=
=
=
0
. 2
2 ==
z
z
I
yM
σ
3 3
2 2
2 4
2
( ) 15.10 .45,6.10
5,55 /
( ). 45.273,4.10
y z
xy
z
V Q y
N mm
t y I
τ = = =
2
2
2
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
2 2
2
3 3
2
2
0 0
( ) 45
( ) 45.45.22,5 45,6.10
( ) 0
z
z
y z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= =
=
= =
=
6
2 23
3 4
. 15.10 .22,5
/ 123,45 /
273,4.10
z
z
M y
N mm N mm
I
σ = = =
3 3
3 2
3 4
3
( ) 15.10 .34,2.10
4,17 /
( ). 45.273,4.10
y z
xy
z
V Q y
N mm
t y I
τ = = =
3
3
3
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
3 3
3
3 3
3
3
22,5 0
( ) 45
22,5
( ) 45.22,5.(22,5 ) 34,2.10
2
( ) 0
z
z
y mm z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= =
=
= + =
=
σ1
σ3 x
y
z
1
2
3
τxy2
τxy3

21. b) sección circular
Cálculo de t(y) y de Qz(y) para un punto cualquiera
punto 1:
siendo:
punto 2:
siendo:
yR
z
y
G
y
´
dy´
4 4
4 4. .50
490,9.10
4 4
0
z
zy
R
I mm
I ejes de simetría ejes principales
π π
= = =
= → →
z
z
I
yM .
=σ
( )
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ =
25 mm
R = 50 mm
z
y
1
2
3
2 2
3
2 2 2 2 2
( ) 2.
2
( ) 2. ´ . ´. ´ .( )
3
R
z
y
t y R y
Q y R y dy y R y
= −
= − = −∫
6
21
1 4
. 15.10 .50
152,78 /
490,9.10
z
z
M y
N mm
I
σ = = =
1
1
1
( )
0
( ).
y z
xy
z
V Q y
t y I
τ = =
1
1
1
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
1 1
1
1
1
50 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
z
z
y mm z
t y
Q y
Q z por simetría
= =
=
=
=
0
. 2
2 ==
z
z
I
yM
σ
3 3
2 2
2 4
2
( ) 15.10 .83,3.10
2,55 /
( ). 100.490,9.10
y z
xy
z
V Q y
N mm
t y I
τ = = =
2
2
2
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
2 2
2
3
2 2 3 32
2
2
0 0
( ) 100
2
( ) .(50 0 ) 83,3.10
3
( ) 0
z
z
y z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= =
=
= − =
=
( )
( ).
y z
xy
z
V Q y
t y I
τ =

22. punto 3:
siendo:
c) sección IPE-140
punto 1:
punto 2:
siendo:
6
23
3 4
. 15.10 .25
76,39 /
490,9.10
z
z
M y
N mm
I
σ = = =
3 3
3 2
3 4
3
( ) 15.10 .54,1.10
1,91 /
( ). 87.490,9.10
y z
xy
z
V Q y
N mm
t y I
τ = = =
3
3
3
( )
0
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ = =
3 3
2 2
3
2
2 2 3 33
3
3
25 0
( ) 2. 50 25 87
2
( ) .(50 25 ) 54,1.10
3
( ) 0
z
z
y mm z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= =
= − =
= − =
=
x
y
z
σ1
σ3
τxy2
τxy3
1
2
3
1
2
3
z
y
d/2 = 56 mm
4,7 mm
6,9 mm
6,9 mm
140 mm
73 mm
4 4
541.10
0
z
zy
I tablas mm
I
= =
=
z
z
I
yM .
=σ
( )
( ).
y z
xs
z
V Q s
t s I
τ =
6
21
1 4
. 15.10 .70
194,08 /
541.10
z
z
M y
N mm
I
σ = = =
1
1
1
( )
0
( ).
y z
xs y
z
V Q s
despreciamos debidas aV enlas alas
t s I
τ τ= = →
0
. 2
2 ==
z
z
I
yM
σ
3 3
2 2
2 4
2
( ) 15.10 .44,2.10
26,07 /
( ). 4,7.541.10
y z
xs
z
V Q s
N mm
t s I
τ = = =
2
3
2 ,
( ) 4,7
( ) / 2( ) 44,2z pl y
t s mm
Q y W tablas cm
=
= =

23. punto 3
siendo:
3 3
3 2
3 4
3
( ) 15.10 .36,8.10
21,73 /
( ). 4,7.541.10
y z
xy
z
V Q s
N mm
t s I
τ = = =
6
23
3 4
. 15.10 .56
155,27 /
541.10
z
z
M y
N mm
I
σ = = =
3
3 3
2 ,
( ) 4,7
112 112
( ) / 2( ) . . 44,2 .4,7. 36,8.10
2 4 2 4
z pl y
t s mm
d d
Q y W tablas e mm
=
= − = − =
1
2
3
z
y
x
σ1
σ3
τxs2
τxs3

24. 5.14.-La viga de la figura es una HEB-200. Se pide calcular:
1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores
2) Tensiones normales máximas de tracción y compresión en la sección de
empotramiento
3) Tensión cortante máxima en el alma y alas en la sección de empotramiento
1) Diagramas de esfuerzos. Proyectamos las cargas sobre los ejes principales z e y:
Cálculo de las reacciones:
7,07.cos45º
7,07.sen45º
10.cos30º
10.sen30º
z
y
5 kN
5 kN
8,66 kN
5 kN
z
y
5 kN 5 kN
x
y
z
1 m 1 m
5 kNVA
HA
MAz
MAy
A
8,66 kN
0 8,66 5 13,66
0 5 5 0
0 8,66.1 5.2 18,66 .
0 5.1 5.2 5 .
y A
z A A
Az Az
Ay Ay Ay
F V kN
F H H
M M kN m
M M M kN m
= = + =
= + = → =
= = + =
= = = → =
∑
∑
∑
∑
30º 10 kN
z
7,07 kN
45º
y
10 kN
7,07 kN
1 m 1 m
Sección

25. 2) Línea neutra:
σMAX en la sección x=0
5 kN 5 kN
x
y
z
1 m 1 m
5 kN
13,66 kN
18,66 kN.m
5 kN.m
A
8,66 kN
0 1
13,66
0
13,66. 18,66
0 18,66 .
1 5 .
5 .
y
z
z
z
z
y
x
V kN
V
M x
x M kN m
x M kN m
M kN m
− −
=
=
= −
= → = −
= → = −
= −
1 2
13,66 8,66 5
5
13,66. 18,66 8,66.( 1)
1 5 .
2 0
5 5.( 1)
1 5 .
2 0
y
z
z
z
z
y
y
y
x
V kN
V kN
M x x
x M kN m
x M
M x
x M kN m
x M
− −
= − =
=
= − − −
= → = −
= → =
= − + −
= → = −
= → =
z
y
α = 37,3º
n
n
GT
C x
σMAX(T)
σMAX(C)
A
B
3 4
3 4
4 4
4 4
( 0). 5.10 .5696.10
0,76
( 0). 18,66.10 .2003.10
37,3º
: ( ) 5696.10
( ) 2003.10
y z
z y
z
y
M x I
tag
M x I
siendo I tablas mm
I tablas mm
α
α
= −
= − = − = −
= −
= −
=
=
6 6
2
4 4
.. 18,66.10 .( 100) 5.10 .( 100)
( ) 57,72 /
5696.10 2003.10
y Az A
MAX A
z y
M zM y
T N mm
I I
σ σ
− − − −
= = + = + =
6 6
2
4 4
.. 18,66.10 .(100) 5.10 .(100)
( ) 57,72 /
5696.10 2003.10
y Bz B
MAX B
z y
M zM y
C N mm
I I
σ σ
− −
= = + = + = −
-
5
13,66
Vy
Vz
5
5
My
-
+
+
18,66
5

26. 3) Debido a Vy la tensión cortante máxima se dará en el centro del alma (G) .
Observación: Debido a Vz: como en la sección x=0 es Vz=0 → τ = 0
z
y
τMAX(alma)
τMAX(alma)
G
τMAX(ala)
τMAX(ala)E
3
2
( ) 4
3 3
,
. ( ) 13,66.321.10
8,55 /
( ). 9.5696.10
: ( ) ( ) 9
( ) /2( ) 321.10
y z
MAX alma G
z
w
z pl y
V Q G
N mm
t G I
siendo t G t tablas mm
Q G W tablas mm
τ τ= = = =
= =
= =
3
2
( ) 4
3 3
. ( ) . ( ) 13,66.138,75.10
2,22 /
( ). ( ). 15.5696.10
: ( ) ( ) 15
15
( ) 100.15. 100 138,75.10
2
y z z y
MAX ala G
z y
f
z
V Q G V Q E
N mm
t G I t E I
siendo e E t tablas mm
Q E cm
τ τ= = + = =
= =
 
= − = 
 

27. 5.15.-La sección de una viga tiene la forma indicada en la figura y está sometida a una
fuerza cortante Vy=30 kN. Se pide:
1) Los diagramas de tensiones cortantes. Tensión cortante máxima y tensión cortante
media
2) Si también estuviese solicitada con Vz = 20 kN., calcular la tensión cortante total en el
punto a indicado en la figura
tramo s1 :
tramo s2 :
3 3 4 41 1
.150.200 .(150 2.8).(200 2.8) 3043,7.10
12 12
zI mm= − − − =
sec ,
tan , sec ,( )o
y
xs
Al ser la ción simétrica respectodel eje y y estar sometida soloaV lastensiones
cor tes enlos puntos decortedela ciónconel eje y puntos A y B sonceroτ
0 0
0
. ( ) . ( ). ( )
( 0 )
( ) ( ). ( ).
y z y zxs
xs xs xs
z z
V Q s V Q st s
como en A y B
t s t s I t s I
τ
τ τ τ= + → = → =
3
21
1 14
1 1
30.10 .(768. )
0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768.
xs xs xs
f z
s
s s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ= = → = = → =
= = = =
3
22
2 24
2 2
30.10 .(768. )
0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768.
xs xs xs
f z
s
s s N mm
siendo t s t cm Q s s s
τ τ τ= = → = = → =
= = = =
8 mm
200 mm
y
z
s1s2
s3s4
s5s6
τxs0=0
92 mm
92 mm
75 mm 75 mm
7,17,1
7,17,1
11,27
11,27
7,1 7,1
7,17,1
τMAXτMAX
Solución:
τmedia(almas)=9,37
Vy = 30 kN
5 cm
a
0,8 cm
20 cm
15 cm
y
z
A
B
C D

28. tramo s3 :
tramo s4 :
tramo s5 :
2)
3
23
3 34
3 3
30.10 .( 768. )
0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768.
xs xs xs
f z
s
s s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ
−
= = → = = → = −
= = = − = −
3
24
3 44
4 4
30.10 .( 768. )
0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768.
xs xs xs
f z
s
s s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ
−
= = → = = → = −
= = = − = −
3 2
5 5
4
2 2 2
5 5 5
25
5 5 5
30.10 .( 4. 736. 57600)
8.3043,7.10
0 7,1 / 92 11,27 / 184 7,1 /
: ( ) 8 ( ) 75.8.96 8. .(92 ) 4. 736. 57600
2
xs
xs xs xs
w z
s s
s N mm s N mm s N mm
s
siendo t s t mm Q s s s s
τ
τ τ τ
− + +
=
= → = = → = = → =
= = = + − = − + +
2
11,27 /MAX N mm enel centro delas almasτ = →
3
230.10
( ) 9,37 /
2. . 2.200.8
y y
xsmedia
almas w
V V
almas N mm
A h t
τ = = = =
3 3 4 41 1
.200.150 .(200 2.8).(150 2.8) 1935,64.10
12 12
yI mm= − − − =
sec
tan , sec ( )o
z
xs
Al ser la ción simétrica respectodel eje z y estar sometida ahora sóloaV lastensiones
cor tes enlos puntos decortedela ciónconel eje z puntosC y D sonceroτ
[ ]
2
5
3
20 0
4
0
( ) ( 42 ) 10 /
. ( ) 20.10 . 50.8.(75 4). ( )
( ) 3,67 /
( ) ( ). 8.1935,64.10
: 0
y xs xs
z yxs
z xs
y
xs
debidoaV a s mm N mm
V Q st s
debidoaV a N mm
t s t s I
siendo
τ τ
τ
τ
τ
→ = = = ↓
−
→ = + = = ↑
=
2
( ) 10 3,67 6,33 /y z xsdebidoa V V a N mmτ+ → = ↓ − ↑= ↓

29. 5.20.-En la sección de la figura sometida a los esfuerzos: Vy = 3 kN y Mz = 1 kN.m. se pide
calcular:
1) Tensiones normales máximas de tracción y de compresión.
2) Diagrama de distribución de tensiones cortantes en la sección
Cálculo de G:
Cálculo de Iz , Iy, Izy:
10 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
Vy=3 kN
Mz=1 kN.m
G
9 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
G
G2
G1
4,5 cm
5 cm
yG=2,87 cm
zG=2,87 cm
cmz
AA
zAzA
z
cmy
AA
yAyA
y
G
GG
G
G
GG
G
87,2
1.91.10
5,0.1.95.1.10
..
87,2
1.91.10
5,5.1.95,0.1.10
..
21
21
21
21
21
21
=
+
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
9 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
G
G2
G1
4,5 cm
5 cm
yG=2,87 cm
zG=2,87 cm
7,13 cm

30. 1)Tensiones máximas de tracción y compresión:
Cálculo de la línea neutra:
423
2
423
1
4
21
123)5,413,7.(1.99.1.
12
1
57)5,087,2.(1.101.10.
12
1
180
cmI
cmI
cmIII
z
z
zzz
=−+=
=−+=
=+=
4
1 2
3 2 4
1
3 2 4
2
180
1
.1.10 10.1.(10 2,87 5) 128,7
12
1
.9.1 9.1.(2,87 0,5) 51,3
12
y y y
y
y
I I I cm
I cm
I cm
= + =
= + − − =
= + − =
[ ] [ ]
4
1 2
4
1
4
2
106,58
0 10.1.(2,87 0,5).(10 2,87 5) 50,48
0 9.1. (7,13 4,5) . (2,87 0,5) 56,1
zy zy zy
zy
zy
I I I cm
I cm
I cm
= + =
= + − − − =
= + − − − − =
7,13 cm
1 cm
2,87 cm
z
y
G
2,87 cm
n
α = 30,63º
n
1
2
º63,30
592,0
180
58,106
.
.
0
..
..
=
===
−
−=
=
−
−
−=
α
α
α
y
yz
yz
yzz
y
yzyyz
yzzzy
I
I
IM
IM
tag
Mcomo
IMIM
IMIM
tag
22
.
)..()..(
)0(
.
)...()...(
yzzy
yzzyz
y
yzzy
yzzzyyzyyz
III
zIMyIM
M
III
zIMIMyIMIM
−
−
===
−
−+−
=σ
6 4 6 4
2
1 4 4 4 2
(1.10 .180.10 ).( 71,3) (1.10 .106,58.10 ).( 18,7)
51,52 / ( )
180.10 .180.10 (106,58.10 )
MAXN mm Cσ σ
− − −
= = − =
−
6 4 6 4
2
2 4 4 4 2
(1.10 .180.10 ).(28,7) (1.10 .106,58.10 ).( 28,7)
39,09 / ( )
180.10 .180.10 (106,58.10 )
MAXN mm Tσ σ
− −
= = =
−

31. 2) Diagramas de τ:
tramo s1
siendo:
tramo s2
95 mm
10 mm
95 mm
10 mm
z
y
G
s1
28,7 mm
71,3 mm
cm
s2
71,3 mm
cm
2
2
.( . ( ) . ( )) .( . ( ) . ( ))
( ).( . )
0
. . ( ) . ( )
( ).( . )
y y z yz y z z y yz z
xs
y z yz
z
y y z yz y
xs
y z yz
V I Q s I Q s V I Q s I Q s
t s I I I
comoV
V I Q s I Q s
t s I I I
τ
τ
− + −
=
−
=
 − =
−
1 1
21
1 1 1
( ) 1
( ) .10.23,7 237.
( ) .10.(71,3 ) 5. 713.
2
z
y
t s cm
Q s s s
s
Q s s s s
=
= =
= − = − +
3 4 4 2
1 1 1
4 4 4 2
3.10 . 180.10 .237. 106,58.10 .( 5. 713. )
10.(180.10 .180.10 (106,58.10 )
xs
s s s
τ
 − − + =
−
2
1 1 1
2
1 1
1
0 0 95 2,34 / 0 62,5
0 31,3 ( 31,3) 0,744 /
xs xs xs
xs
xsMAX xsMAX xs
s s N mm s mm
d
s mm s N mm
ds
τ τ τ
τ
τ τ τ
= → = = → = = → =
→ = → = = = = −
3 4 2 4
2 2 2
4 4 4 2
3.10 . 180.10 .(5. 713. ) 106,58.10 .( 237. )
10.(180.10 .180.10 (106,58.10 )
xs
s s s
τ
 − − − =
−

32. siendo:
22
2 2 2
2 2
( ) 10
( ) .10. (71,3 ) 5. 713.
2
( ) .10.( 23,7) 237.
z
y
t s mm
s
Q s s s s
Q s s s
=
 
= − − = −  
= − = −
2
2 2
2
2
2 2
2
0 0 95 2,38 /
0 115 ( 0 10)
0 57,3 ( 57,3) 4,213 /
xs xs
xs
xs
xsMAX xsMAX xs
s s N mm
s mm fuera del campo
d
s mm s N mm
ds
τ τ
τ
τ
τ τ τ
= → = = → = −
= → = −
→ = → = = = = −
z
y
G
4,213
2,38
2,34
0,744
57,3 mm
31,3 mm

33. 5.21.-En la viga de la figura se pide:
1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores
2) Dimensionamiento a resistencia de la sección, empleando los criterios plástico,
elástico y de Von Mises y para los siguientes casos de sección:
a) Perfil IPE
b) sección rectangular bxh siendo h=2b
c) sección circular
Datos: fy = 275 N/mm2
; coeficiente de minoración del material: γγγγM =1,1; coeficiente de
mayoración de cargas: γγγγ =1,5
Nota: El angular mediante el cual se transmite la carga a la viga se supone rígido y a su
vez rígidamente unido a la misma. No se considerará el peso propio de la viga.
Se trasladará el efecto de la carga de 5000 Kg que actúa sobre el angular a la viga a través
de la unión de ambos.
Cálculo de reacciones
Diagramas
50 kN
1 m 2,8 m
0,2 m
1 m 3 m
50 kN
10 kN.m
RA RB
A
B
0 50 (1)
0 .4 50.1 10 (2)
: 35
15
A B
A B
A
B
F R R
M R
resolviendo R kN
R kN
= + =
= = +
=
=
∑
∑
0 1
35
35.
0 0
1 35 .
y
z
z
z
x
V kN
M x
x M
x M kN m
− −
=
=
= → =
= → =
1 4
15
15.(4 )
1 45 .
4 0
y
z
z
z
x
V kN
M x
x M kN m
x M
− −
= −
= −
= → =
= → =
15
35
Vy
35
45
Mz
+
+
-

34. 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico:
Sección mas solicitada: x= 1
+
: Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN
max
*
,
6 3 3
*
,
45 .
.
275
: 45.10 .1,5 . 270.10
1,1
) :
tan :
220
15
.
3
: ( )
z
z zpl d zpl yd
zpl zpl
y
y
yd
y ypl d v
v
M kN m
M M W f
sustituyendovalores W W mm
a casode IPE
entrandoentablas IPE
comprobaciónacor teV
V kN
f
V V A
siendo A area del a ma
IP
l
E
=
≤ =
≤ → ≥
→
=
≤ =
=
−
2
3
*
. ( 220) 220.5,9 1298
275
1,1
:15.10 .1,5 1298. : 22500 187350,1
3
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.187350,1 93675
¡
w
y ypl
h t IPE mm
sustituyendovalores y operando
sí cumpleacor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector co
= = − = =
≤ ≤
= < = =
3 3
2 2
3 3
* 3
tan
) sec tan : 257,7.10
. .(2. )
( 2. ) 270.10
4 4
tan :
275
1,1
. 15.10 .1,5 8354,47. 22500
64,
12058
3 3
63 129,27
zpl
zpl
y
yd
y ypl v
b mm h mm
n fuerza cor te
b casode ción rec gular W mm
b h b b
W como h b b
comprobaciónacor teV
f
V V A
=
= = = = = = == →
≤ = ≤ → <
2
*
3 3
3
63 ¡ !
. 64,63.129,27 8354,47
: 22500 0,5. 602932
¡ tan
) sec : 270.10
4
.
3
v
y ypl
zpl
zpl
sicumple
siendo A A b h mm
y además V V sí severifica
noes necesariocombinar momento flector con fuerza cor te
c casode cióncircular W mm
W R
→
= = = =
= < = →
=
= = 3
* 3
2 2 2
*
270.10
tan :
275
1,1
. 15.10 .1,5 10833,5. 22500 1563676,7 ¡ !
3 3
. .58,72
58
10833,5
: 22500 0,5. 781838,3
,
¡
72
y
yd
y ypl v
v
y ypl
comprobaciónacor teV
f
V V A sicumple
siendo A A R mm
y además V V sí severifica
R mm
noes ne
π π
=→
≤ = ≤ → < →
= = = =
= < = →
tancesariocombinar momento flector con fuerza cor te

35. Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio elástico:
Sección mas solicitada: x= 1
+
: Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN
*
max ,
6 3 3
*
,
45 . .
275
: 45.10 .1,5 . 270.10
1,1
)
tan :
15
24
.
3
(
0
: )
z z zel d zel yd
zel zel
y
yd
y y ypl d v
v
M kN m M M W f
sustituyendovalores W W mm
a casode IPE
entrandoentablas IPE
comprobaciónacor teV
f
V kN V V A
siendo A area del alm
IPE
a
= ≤ =
≤ → ≥
→
= ≤ =
=
−
= 2
3
*
. ( 240) 240.6,2 1488
275
1,1
:15.10 .1,5 1488. : 22500 214774,3
3
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.214774,3 107387,1
¡
w
y ypl
h t IPE mm
sustituyendovalores yoperando
sí cumpleacor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector
= − = =
≤ ≤
= < = =
2 2
3 3 3 3
* 2
,
tan
) sec tan :
. .(2. ) 2
270.10 ( 2. ) . 270.10
6 6 3
tan :
15 . : . 74.148 10952
4
3
7 148
zel zel
y
yd
y y ypl d v v
con fuerzacor te
b casode ción rec gular
b h b b
W mm W comoh b b
comprobaciónacor teV
f
V kN V V A sie
b mm h mm
ndo A A b h mm
s
= = = = = = =
→
= ≤ = = = = =
= =
3
*
275
1,1
:35.10 .1,5 10952. : 22500 1580785
3
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.1580785 790392,5
¡ tan
) sec
y ypl
ustituyendovalores yoperando
sí cumpleacor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector con fuerzacor te
c casode ción
≤ ≤
= < = =
3
3 3 3
* 2 2 2
,
3
7
:
.
270.10 270.10
4
tan :
15 . : . .70 15393,8
3
275
1,1
:15.10 .1,5 15393,8. : 22500 2221 03
0
9
3
zel zel
y
yd
y y ypl d v v
circular
R
W mm W
comprobaciónacor teV
f
V kN V V A siendo A A R mm
sustituyendovalores y operando
R mm
π
π π
= = = →
= ≤ = =
=
= = =
≤ ≤
*
,6
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.2221903,6 1110951,8
¡ tan
y yplsí cumpleacor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector con fuerzacor te
= < = =

36. Dimensionamiento a resistencia de la sección con el criterio de Von Mises:
Secciónes más solicitada:
Puntos más solicitados: se predimensionará en el punto 1 (σmax) y se comprobarán puntos 2 y 3
1 15 45 . ( )
1 35 ( ) 35 .
y z
y z
x V kN M kN m máx
x V kN máx M kN m
+
−
= → = − =
= → = =
1 15 45 . ( )y zx V kN M kN m máx+
= → = − =
3
3 3
3 3
max
4
3
)sec : 270.10 : 240
)sec tan * 2. :
1 1
. . . .(2 )
12 12270.10 270.10 74
2
148
)sec :
.
4270.10 270.
zel
z
zel zel
z
zel zel
máx
a ción IPE W tablas IPE
b ción rec gular h b siendo h b
b h b b
I
W W b mm
hy b
h mm
c cióncircular
R
I
W W
y R
π
≥ → −
=
≥ → = = = ≥ → ≥
→ ≥
≥ → = = ≥ 3
10 70R mm→ ≥
* * 6
* 1
1
*
1
6
*2 *2 * 3 3
1 1 1 1
1:
. 45.10 .1,5
0
45.10 .1,5 275
3. 270.10
1,1
z z
z zel zel
co zel
zel
punto
M y M
I W W
W mm
W
σ
τ
σ σ τ σ
= = =
=
= + = = ≤ → ≥
:sec32 cionesdetipostreslosparaypuntosonescomprobaci
*
2
* 3 3
*
2 4
)sec 240
2:
0
. (2) 15.10 .1,5.183.10
17,07
(2). 6,2.3890.10
y z
z
a ciónIPE
punto
V Q
t I
σ
τ
−
=
−
= = = −
2
27529,57 250
1,1coσ = < =
y
1
3
2
1
y
3
y
z
1
2
3
z2
z

37. Por último se comprobarían de nuevo los puntos 1, 2 y 3, para los tres casos, en la sección:
(como se ve coincide con el criterio de dimensionamiento elástico
3 4 4
*
2
3
*
*
2 4
1
)sec tan : 148 74 .74.148 1991,05.10
12
2:
0
148 148
15.10 .1,5.(74. . ). (2) 2 4 3,09
(2). 74.1991,05.10
z
y z
z
b ciónrec gular h mm b mm I mm
punto
V Q
t I
σ
τ
= = → = =
=
−
= = = −
2 5,36 250coσ = <
* 6
* 3
3 4
3
*
*
3 4
3 :
. 45.10 .1,5.37
125, 4
1991, 05.10
37
15.10 .1,5. 74.37.(37 )
. (3) 2
2,32
(3). 74.1991, 05.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
 
− +  = = = −
3 125,5 250coσ = <
4
4 4
*
2
3 2 2 3/2
*
*
2 4
.70
)sec : 70 1885,7454.10
4
2:
0
2
15.10.1,5. .(70 0 )
. (2) 3
1,95
(2). 140.1885,7454.10
z
y z
z
c cióncircular R mm I mm
punto
V Q
t I
π
σ
τ
= → = =
=
 
− −  = = =−
2 3,38 250coσ = <
* 6
* 3
3 4
3 2 2 3/2
*
*
3 2 2 4
3:
. 45.10 .1,5.35
125,28
1885,7454.10
2
15.10 .1,5. .(70 35 )
. (3) 3
1,46
(3). 2. 70 35 .1885,7454.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
 
− −  = = = −
−
3 125,3 250coσ = <
3 3
1 35.10 ( ) 35.10 .y zx V kN máx M kN m−
= → = =
6
*
* 3
3 4
3 3
*
*
3 4
3:
190,4
45.10 .1,5.. 2 165,2
3890.10
190,4 190,4
15.10 .1,5. 183.10 .6,2.
. (3) 2 4
14,45
(3). 6,2.3890.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
 
− −  = = = −
3 167,1 250coσ = <

38. 5.22.-En la viga de la figura se pide el dimensionamiento de la sección a resistencia
usando un criterio plástico de dimensionamiento.
Datos: perfil IPE; fy = 275 N/mm
2
; γγγγM = 1,1; γγγγ= 1,35
Cálculo
de
reacciones en los apoyos:
Diagramas de esfuerzos:
30 kN
5 kN
1 m 1 m2 m
A B
z
y
VA
VB
HA
HB
0 30 (1)
0 5 (2)
0 .4 30.3 (3)
0 .4 5.1 (4)
resolviendo (1),(2),(3),(4): 22,5 ; 7,5 ; 1,25 ; 3,75
y A B
z A B
zB A
yB A
A B A B
F V V
F H H
M V
M H
V kN V kN H kN H kN
= → + =
= → + =
= → =
= → =
= = = =
∑
∑
∑
∑
Vy
Vz
Mz
My
22,5
7,5
1,25
3,75
22,5
3,75
+
-
-
+
+1,25
7,5

39. Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico
Comprobación a flexión:
Tanteamos secciones, pero partiendo de un predimensionado
Predimensionado rápido: Estudio separados Mz y My:
**
, ,
1
yz
zpl d ypl d
MM
M M
+ ≤
* 6 3 3
,
* 6 6
* 6 3 3
,
* 6 6
275
. 30,38.10 . 121,5.10
1,1
: . 22,5.10 .1,35 30,38.10 .
275
. 5,06.10 . 20,25.10
1,1
: . 3,75.10 .1,35 5,06.10 .
z zpl d zpl yd zpl zpl
z z
y ypl d ypl yd ypl ypl
y y
M M W f W W mm
siendo M M N mm
M M W f W W mm
siendo M M N
γ
γ
≤ = → ≤ ⇒ ≥
= = =
≤ = → ≤ ⇒ ≥
= = =
3 3 3 3
121,5.10 20,25.10
lg 160
1º tan : 160:
sec :
1 : 22,5 . ; 1,25 . ; 22,5 ; 1,25
zpl ypl
z y y z
mm
conlos valores deW mm y deW mm
buscoentablasun perfil queva a paralos dos IPE
teo IPE
ciónes mas solicitadas a flectores
x M kN m M kN m V kN V kN−
≥ ≥
⇒ −
−
= = = = =
* 6 6 * 6 6
3 3 3 6
,
3 3 3 6
,
22,5.10 .1,35 30,30.10 . ; 1,25.10 .1,35 1,687.10 .
275
123,9.10 . 123,9.10 30,975.10 .
1,1
275
26,1.10 . 26,1.10 6,525.10 .
1,1
sustituyendo
z y
zpl zpl d zpl yd
ypl ypl d ypl yd
M N mm M N mm
W mm M W f N mm
W mm M W f N mm
= = = =
= → = = =
= → = = =
** 6 6
6 6
, ,
3 3 3 6
,
en la fórmula de dimensionamiento:
30,38.10 1,687.10
1 1,24 1 No vale
30,975.10 6,525.10
2º tan : 180:
275
166,4.10 . 166,4.10 41,6.10 .
1,1
34,6.1
yz
zpl d ypl d
zpl zpl d zpl yd
ypl
MM
M M
teo IPE
W mm M W f N mm
W
+ ≤ → + = > →
−
= → = = =
= 3 3 3 6
,
** 6 6
6 6
, ,
275
0 . 34,6.10 8,65.10 .
1,1
sustituyendo en la fórmula de dimensionamiento:
30,38.10 1,687.10
1 0,92 1 Si vale
41,6.10 8,65.10
ypl d ypl yd
yz
zpl d ypl d
mm M W f N mm
MM
M M
→ = = =
+ ≤ → + = < →

40. Comprobación a cortantes:IPE-180
*
,
* 3
2
*
,
275
1,1
. 30375 954. 137698
3 3
:
. 22,5.10 .1,35 30375
. 180.5,3 954
1 1
y además : 30375 .137698 Si
2 2
¡no hay que interactuar con los mom
yd
y y ypl d v
y y
v w
y ypl d
f
V V V A N N Si cumple
siendo
V V N
A área alma h t mm
V V
γ
→ ≤ = → ≤ = ⇒
= = =
= = = =
≤ → ≤ ⇒
*
,
* 3
2 2
*
,
entos flectores!
275
1,1
. 1687,5 1616,2. 233278,4
3 3
:
. 1,25.10 .1,35 1687,5
. 23,9.10 146.5,3 1616,2
1 1
y además : 1687,5 .233278
2 2
yd
z z zpl d v
z z
v w
z zpl d
f
V V V A N N Si cumple
siendo
V V N
A área alas A d t mm
V V
γ
→ ≤ = → ≤ = ⇒
= = =
= = − = − =
≤ → ≤ ,4 Si
¡no hay que interactuar con los momentos flectores!
⇒
+
Se podría comprobar también la sección: x = 3 :
7,5 . ; 3,75 . ; 7,5 ; 3,75
repitiendo los mismos cálculos anteriores pero con estos valores de las solicitaciones ¡Sí cumple!
z y y zM kN m M kN m V kN V kN= = = =
→

41. 5.23.- La figura muestra la viguería del suelo de un piso de un edificio. Las vigas son
metálicas y se consideran articuladas en sus extremos. La carga permanente que actúa
sobre el suelo se compone de: a) Forjado unidireccional de viguetas metálicas con bloques
cerámicos: 3,5 kN/m2
, b) Pavimento del suelo: 1 kN/m2
. Se pide dimensionar a resistencia
la sección de las vigas de los tipos 1 y 4, utilizando perfiles IPE y un criterio elástico de
dimensionamiento
Dato: fy = 275 N/mm2
; γγγγM = 1,1; γγγγ = 1,35
Nota: Sólo se tendrá en cuenta la carga permanente
Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 1 (criterio elástico):
(Como la longitud de la viga es menor de 6 m. no añadimos el peso propio de la misma)
Carga total permanente sobre el suelo:
Forjado:…….3,5 kN/m
2
Pavimento:…1 kN/m
2
TOTAL:……..4,5 kN/m
2
2
arg : 4,5 / .2 9 /c a q kN m m kN m= =
( 2 ) 18.2 9.2.1 18 .
( 0 ) 18 .
zmáx z
ymáx y
M M x m kN m
V V x m kN m
= = = − =
= = =
3
2 m 2 m2 m
3
2
2
2
2
1 1
1 1
4
4 m
4 m
A A
B B
A A
C D
9 kN/m
2 m
RA= 18 kN RB= 18 kN
18
Mz (kN.m)
2 m
x
A B
+
Vy (kN)
18
x
+
-
18

42. Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 4 (criterio elástico):
(Como la longitud de la viga es mayor de 6 m. añadimos el peso propio de la misma, estimado
en 1kN/m)
z y
* * 6
,
3
dim :
sección más solicitada a flectores: x = 2 m: M 18 . ;V 0
275
18.1,35 24,3 . . 24,3.10 .
1,1
97200 160
sección más solici
z z zel d zel yd zel
zel
criterioelástico de ensionamiento
kN m
M kN m M M W f W
W mm tablas IPE
= =
= = ≤ = ≤
= → → −
z y
*
,
* 2
3
tada a cortantes: x = 0 m: M 0;V 18 kN
: .
3
: 18.1,35 24,3 ( ) . 160.5 800
275
1,1
: 24,3.10 800. 24300 115470 ¡ !
3
yd
y y ypl d v
y v w
f
Comprobación a cortadura V V V A
siendo V kN A área alma h t mm
sustituyendo sí cumple
= =
≤ =
= = = = = =
≤ → < →
Vigas tipo 1 →→→→ IPE-160
2 m 2 m 2 m
C D
B B
36 kN 36 kN
RC= 39 kN RD= 39 kN
76,5
Mz(kN.m)
x
1 kN/m
7676
Vy(kN)
x
39
39
37
37
1
1
+
+
-

43. Vigas tipo 4 →→→→ IPE-270
z ysección más solicitada a flectores: x = 3 m: M 76,5 . ;V 0kN m= =
* * 6
,
3
z y
dim :
275
76,5.1,35 103,3 . . 103,3.10 .
1,1
413200 270
sección más solicitada a cortadura: x = 0 m: M 0 . ;V 39
z z zel d zel yd zel
zel
criterioelástico de ensionamiento
M kN m M M W f W
W mm tablas IPE
kN m kN
Comprobació
= = ≤ = ≤
= → → −
= =
*
,
* 2
3
: .
3
: 39.1,35 52,65 ( ) . 270.6,6 1782
275
1,1
:52,65.10 1782. 52650 257209,5 ¡ !
3
yd
y y ypl d v
y v w
f
n a cortadura V V V A
siendo V kN A área alma h t mm
sustituyendo sí cumple
≤ =
= = = = = =
≤ → < →

44. 5.24.-Las vigas que soportan la cubierta de una nave industrial “correas”, se encuentran
apoyadas sobre los cordones superiores de dos cerchas, separadas entre sí 5 m y con una
pendiente de 22º. La separación entre correas es de 1,175 m. Las carga que han de
soportar estas correas son:
- Carga permanente:
• Peso de la uralita, incluidos ganchos y solapes…………….0,2 kN/m2
• Peso estimado de las correas:……………………………….0,18 kN/m
- Sobrecarga de nieve:………………………………………………..0,8 kN/m2
Se pide dimensionar a resistencia la sección de dichas correas, utilizando perfiles IPE y
empleando un criterio plástico de dimensionamiento
Datos: coeficientes de mayoración de cargas : -cargas permanentes: γγγγ=1,35 -sobrecarga de
nieve: γγγγ=1,5. No se tendrá en cuenta la acción del viento.
Material: fy =275 N/mm2
; γγγγM =1,1
Cargas sobre las correas:
22º cercha
1,175 m
1,175 m correas
cercha
5 m
1,175 m
22º cercha
2
2
2
arg ( )
: 0,2 / .1,175 0,235 /
:0,18 /
: 0,415 /
arg ( )
sup :0,8 /
sup : 0,8.cos 22º /
:
p
n
C a permamente CP
cubierta kN m m kN m
peso propiocorreas kN m
Total q kN m
Sobrec a denieve SN
sobre erficiehorizontal kN m
sobre erficieinclinada kN m
Total q
=
=
2
0,8 / .cos22º.1.175 0,87 /kN m m kN m= =
qpz= 0,155
y
z
qpy= 0,385
qp= 0,415
CP
qnz= 0,326
y
z
qny= 0,807
qn= 0,87
SN
.cos22º 0,385 / . 22º 0,155 /
.cos22º 0,807 / . 22º 0,326 /
py p pz p
ny n nz n
q q kN m q q sen kN m
q q kN m q q sen kN m
= = = =
= = = =

45. Dimensionamiento a resistencia de la sección de las correas utilizando un criterio plástico:
combinaciones de cargas:
2,5 m
qpy = 0,385 kN/m
qpz=0,155 kN/m
Mz (kN.m)
My kN.m)
1,2
0,483
CP
2,5 m
0,963
Vy (kN)
0,387
Vz (kN)
0,963
0,387
+
-
+
+
-
-
qny = 0,807 kN/m
qnz=0,326 Kg/m
Mz (kN.m)
My (kN.m)
2,5
1,01
SN
2,5 m
Vy (kN)
Vz (kN)
2,01
2,01
2,5 m
0,815
0,815
+
-
+
+
-
-
max max max max
max max max max
1,2 . 0,483 . 0,963 0,387
2,5 . 1,01 . 2,01 0,815
z y y z
z y y z
CP M kN m M kN m V kN V kN
SN M kN m M kN m V kN V kN
→ = = = =
→ = = = =
* *
* *
.1,35 .1.5
1,2.1,35 2,5.1,5 5,37 . 0,483.1,35 1,01.1,5 2,167 .
0,963.1,35 2,01.1,5 4,315 0,387.1,35 0,815.1,5 1,75
z y
y z
CP SN
M kN m M kN m
V kN V kN
+
= + = = + =
= + = = + =

46. Correas → IPE-120
**
, ,
* * * *
* 6 3
,
*
,
comprobación a flexión: 1
predimensionado rápido :
sección 2,5 5,37 . ; 2,167 . ; 0; 0
275
. sustituyendo :5,37.10 . 21480
1,1
yz
zpl d ypl d
z y y z
z zpl d zpl yd zpl zpl
y ypl d ypl
MM
M M
x m M kN m M kN m V V
M M W f W W mm
M M W
+ ≤
= → = = = =
≤ = ≤ → =
≤ = 6 3
3 3
275
. sustituyendo : 2,167.10 . 8668
1,1
con los valoresde: 21480 y 8668 se busca una sección que
valga para los dos IPE-100
yd ypl ypl
zpl ypl
f W W mm
W mm W mm
≤ → =
= =
⇒
er 3 3
,
,
1 tanteo : 100: 39410 9150
275
. 39410. 9852500 . 9,8525 .
1,1
275
. 9150. 2287500 . 2,2875 .
1,1
5,37 2,167
sustituyendo : 1 ¡ !
9,8525 2,2875
2º tant
zpl ypl
zpl d zpl yd
ypl d ypl yd
IPE W mm W mm
M W f N mm kN m
M W f N mm kN m
noesválida
− = =
= = = =
= = = =
+ > →
3 3
,
,
eo : 120 : 60730 13580
275
. 60730. 15182500 . 15,1825 .
1,1
275
. 13580. 3395000 . 3,395 .
1,1
5,37 2,167
sustituyendo : 1 ¡ !
15,1825 3,395
(No haría
zpl ypl
zpl d zpl yd
ypl d ypl yd
IPE W mm W mm
M W f N mm kN m
M W f N mm kN m
sí esválida
− = =
= = = =
= = = =
+ < →
falta la comprobación de cortantes en esa sección, ya que son cero)
* * * *
* 2
,
3
*
,
comprobación a cortantes:(IPE-120)
sección x = 0: 4,315 ; 1,75 ; 0; 0
. siendo : (área alma) . 120.4,4 528
3
275
1,1
sustituyendo : 4,315.10 528. ¡ !
3
.
y z z y
yd
y ypl d v v w
y
z zpl d v
V kN V kN M M
f
V V A A h t mm
sí cumple
f
V V A
= = = =
≤ = = = = =
≤ →
≤ = 2
3
siendo : (área alas) . 1320 93,4.4,4 909
3
275
1,1
sustituyendo :1,75.10 909. ¡ !
3
(noharía falta combinar momentosflectorescon fuerzascortantes, pues los momentos flectores
en dicha sección so
d
v wA A d t mm
sí cumple
= = − = − =
≤ →
n cero)