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EJERCICIOS DE CONSERVACION DE LA ENERGIA
FISICA DE RESNICK 4TA. EDICION: CAPITULO VIII
Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
EP(R ) = EK
1/2m v2
= ½ Kx2
K=
= 2.38 ∗ (
)
.
K = 110.14 x106
N/m

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JULIO 2023
a) m = 900 Kg
-- W= ∆ = −
W= - (mgh -0) = - (-mgh)
W= 900*9.8*9.2
W= 81144 (J)
b) P= W/t
P = 81444/(12*60*60)
P = 1.88 (W)
a) W= −∆ = −(− ℎ − 0) = ℎ
W= 90*9.8*8850
W= 78.057 x105
(J)
b) De:

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JULIO 2023
78.057 x105
(J)= 1865607.075 cal
78.057 x105
(J)= 1865.0707 Kcal
1865.0707 Kcal∗ ! "
= 6.019 &'(
6.019 bar ----------------------rta)
a) UP = mgH
UP= 220 lb*
)*
+.+ "
∗ 9.8 ∗ (40 + 4.4) ./ ∗ 0.3048
01
UP= 13262.46 (J)

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JULIO 2023
a) EA= EB
EK(A)+EP(A) = EK(B)+EP(B)
0+ mgh =
+
2+
3 + 0
mgh =
+
2+
3
23 = 42 ℎ
23 = √2 ∗ 9.8 ∗ 0.236
23 = 2.15
7
a) EA= EB
EK(A)+EP(A) = EK(B)+EP(B)
+
2+
8 + 0 = 0 + ℎ
+
2+
8 = ∗ 9209:;10

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JULIO 2023
2+
8 = 2 ∗ 9209:;10
28 = 42 ∗ 9209:;10
28 = √2 ∗ 9.8 ∗ 9209:;10
28 = 55.96 ( /9)
a) EK(A) =
+
2+
8
= (8) =
+
∗ 2.4 ∗ 150+
= (8) = 27000 (?)
b) =@(8) = ℎ
=@(8) = 2.4 ∗ 9.8 ∗ 125
=@(8) = 2940 (?)
c) EA = EB
Ek(A) +EP(A) = Ek(B) +EP(B)
Ek(A) +EP(A) = Ek(B) +0

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JULIO 2023
27000 + 2940 =
+
2+
3
2+
3 = 29940 ∗
+
+.
23 = 157.96 (
7
)
a) EA = EB
Ek(A) +mgR = 0+mg(2R)
Ek(A) = mgR
+
2+
= A
2+
= 2 A
2 = 42 A = 42 B

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JULIO 2023
2
⃗ = 2 DE934 F + 2 9:;34G
a) EK(A)=
+
2+
EK(A)=
+
(0.112) (8.16DE934)+
EK(A)= 2.56 (J)
b) EA = EC
Ek(A) +EP(A) = Ek(C) +EP(C)
+
2+
+0 =
+
2+
H-mg(h)
+
2+
H =
+
2+
+ ℎ
+
2+
H =
+
2+
+ ℎ
2+
H = 2+
+ 2 ℎ
2! = √81.6+ + 2 ∗ 9.8 ∗ 2.87
2! = 10.81 /9

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JULIO 2023
Considerando al sistema como conservativo:
a) EA = EB
+
2+
+mgh =
+
2+
3 + ℎ
+
2+
=
+
2+
3
2+
3 =
+
2+
23 = 2
b) En C: EA = EC
Ek(A) +EP(A) = Ek(C) +EP(C)
+
2+
+mgh =
+
2+
H +
*I
+
+
2+
=
+
2+
H −
*I
+
2+
= 2+
H − ℎ

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JULIO 2023
2+
H = 2+
+ ℎ
2H = 42+ + ℎ
c) En D: EA = ED
Ek(A) +EP(A) = Ek(D) +EP(D)
+
2+
+mgh =
+
2+
J + 0
+
2+
+ ℎ =
+
2+
J
2+
J = 2+
+ 2 ℎ
2J = 42+ + 2 ℎ
a) EA = EB
+
2+
8 +0 = 0 + ℎ

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JULIO 2023
+
2+
8 = B9:;15
2+
8 = 2 B9:;15
B = K
2 9:; 15
80 mi/h = 35.76 m/s
B =
L. M
2∗9.89:; 15
= 252.13
a) De la gráfica, se obtiene:
/';N = =
K= 0.4/0.04= 10 N/m

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JULIO 2023
EK(R) = ½ Kx2
= ½ mv2
Kx2
= mv2
2 = O = O10 ∗
. P
(0.055)
2 = 2.82 /9
b)
∆ + ∆ = 0
∆ = −∆
+
2+
= −( Q0
+
− Q +
)
+
2+
= (Q +
− Q0
+
)
2+
=
+
(Q +
− Q0
+
)
2+
=
+∗
. P
(0.055+
− 0.015+)
V = 3.83 m/s

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a) EA = EB
0+mgh = 0 +
+
2+
3
Cos35= h’/L
h’= Lcos35 = 2.13cos35= 1.745 m
h= L-h’ = 2.13-1.745 = 0.385 m
+
2+
3 = ∗ .385
2+
3 = 2 ∗ .385
23 = √2 ∗ 9.8 ∗ .385 = 2.75 R 7
S

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JULIO 2023
a) F= mg
Kx= mg
K=
*
= 7.94 ∗
T.P
. +
K= 762.86 N/m
b) La energía del resorte es:
=@(U) =
+
Q+
=
+
(762.86) ∗ (0.102 + .286)+
=@(U) = 57.42 (?)
c) Toda la energía del pinto más bajo es igual a la posición a la que
llega.
EB = EC
=@(U) = = (H) + =@(H)

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JULIO 2023
=@(U) = 0 + ℎ
mgh= 57.42
ℎ =
L . +
*
=
L . +
.T ∗T.P
h= 0.74 m= 74 cm
=8 = =3
EP(A) = EK(B)
= (3) = ℎ
9: 9'&: VW:: Y =
Z
= Y[
De donde: = (3) = ℎ = Y[ ℎ
P=

1
] = = (3) = Y[ ℎ

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JULIO 2023
WC = 0.48 Y[ ℎ
^H = 0.48
_Z*I
1
^H = 0.48 ∗ 1000 ∗ 330000 ∗ 9.8 ∗
L
M
^H = 129.36Q10 (W)
b) E = 129.36Q10 ] ∗ 'ñE
E = 129.36Q10 ] ∗ 'ñE ∗ 365
ab 7
ñ
∗ 24
I
ab
Energía=E= 1133193.6 x104
Kw-h
$ = 1133193.6 x104
Kw-h Q 1.2
!1
I
*dólar/100 ctva
$ = 1359832.32 *100 dólar
$= 135.98 x10 6
dolar
De: Y =
Z
; = Y[
*d = 1000
*
e ∗ 8 ∗ 10 + +
∗ 0.75 m
*d = 6x 1015
Kg
Mretorn mar = 1/3 *6x 1015
Kg
Mretorn mar = 2 x1015
Kg
P= W/t
^ =
*I
1

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JULIO 2023
f = g ∗ hihj
∗
k.l∗jii
mñn∗opj
qrms
mñn
∗gt
u
qrm
∗opii
s
u
f = g ∗ hihj
∗ k. l ∗
jii
ohj.opvhij
P= 3.1 x1011
(W)
P= 3.1 x105
(MW)
=8 = =3 h= 1/2gt2
;
EP(A) += (8) = EK(B) + =@(3)
0 + ℎ = EK(B)
EK(B) = mg(1/2gt2
)
= (3) =
+
+
/+
(J)
De: EP(A) += (8) = EK(B) + =@(3)
Mgh+0= mg(1/2gt2
)+ UB
UB = mgh -
+
+
/+
UB = mgh -
+
∗ /+
UB = mgh - ∗ z
UB = mg(h-y)

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JULIO 2023
b)

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JULIO 2023
RECUERDE: EP = mgh
EP(T) = EP(L)
9.8(2.02 − 1.1) = 1.67ℎ{
h’= 5.4 m
h= h’+1.1 = 5.4+1.1
hL = 6.5 m
EA = EB

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JULIO 2023
+
|Q+
= = (3) + =@(3)
+
|Q+
= =@(3)
+
|Q+
= ℎ
ℎ =
+
∗
)
*
ℎ =
+
∗ 20.8 ∗
∗ . P
.T ∗T.P
ℎ = 1.923
De: sen 27= h/d
} =
I
7~•+
=
.T+
7~•+
= 4.24 ( )

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JULIO 2023
La constante del resorte es:
= =
+MP
. +
= 11502.15
€
a) EP(R) = ½ Kx2
EP(R) = ½ (11502.15 )(0.0548)2
=@(U) = 17.27 (?)
De: =@(U) = ℎ
ℎ =
•‚(ƒ)
*
=
.+
. P∗T.P
= 0.554
Como: sen 32 = h/(d+x)
d+x= h/sen32= 0.554/sen32
} + Q = 1.046
b) EA = EB
= (8) + =@(8) = = (3) + =@(3)
0 + ℎ′ = = (3) + 0
ℎ′ = ½ m2+
3
9:;32 =
I‡
; h’= h- xsen32
2+
3 = 2ℎ′
23 = 42(0.554 − 0.05489:;32) ∗ 9.8
23 = 3.2 (
7
)

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JULIO 2023
a) K= 4.15 lbf/in= 4.15/2.2*9.8/(0.0254)= 727.8 N/m
+
|Q+
= (ℎ + ℎ{)
+
|Q+
= (ℎ + Q9:;36)
|Q+
= 2 (6.33./ + Q9:;36)
727.8
€
Q+
= 2 ∗ 2.8 E;ˆ' ∗ 0.0625
"
•‰
∗
)*
+.+ "
9.8 /9+(6.33 ∗ 0.3048 + Q9:;36)
727.8
€
Q+
= 1.559 Š(6.33 ∗ 0.3048 + Q9:;36)
727.8Q+
= 3 + 0.9164Q
Q+
= 0.00413 + 0.00126Q
Q+
− 0.00126 Q − 0.00413 = 0
‹ =
. +M±√ . +M • ∗ .
+
=
. +M± . +P
+
X = 0.0648 m ∗
T. b•
= 2.56 F;
b)
+
|Q+
= (ℎ{) + 1/2mv2
727.8*(0.0648)2
= 0.175 lb*
)*
+.+"
∗ 9.8 ∗ 0.038 + 0.5 ∗
. L
+.+
∗ 2+
3.056 = 0.0296 + 0.03982+
2+
= 76.04
Vo = 8.72 m/s

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JULIO 2023
Cos 58= h/L ; h= Lcos58
h= 3.82 cos58 = 2.024 m
EA = EB
0 + +
2+
= 0 + ℎ
2+
= 2 ℎ
2 = 42 ℎ = 42 ∗ 9.8 ∗ (3.82 − 2.024)
2 = 35.2 m/s ----------cuando baja

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El centro de masa de la cadena es:
D =
Ž
•
+
=
•
P
Pcm = (mg/4)
‘ − ^! = 0
‘ =
*
De: F-T=0
F= ‘ =
*
] = ‘ ∗ }
W =
*
∗
’
•
+
=
*
∗
•
P
W=
*
+
B
EP( R) =
+
Q+
F= mg= Kx
De: EP( R) =
+
Q+
EP( R) =
+
Q ∗ Q
EP( R) = +
∗ Q

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JULIO 2023
EP( R) =
+
=“
=“ = 2=“(U)
EA = EB
mg(h+y) =
+
Q+
2.14 ∗ 9.8(0.436 + Q) =
+
∗
P.M
.
(Q+)
20.972(0.436 + Q) = 930(Q+)
930Q+
− 20.972 Q − 9.1444 = 0
Q =
+ .T +±√+ .T + • ∗T ∗T.
+∗T
Q =
+ .T +± PL.M+
PM
X= 0.111 m= 11.1 cm

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JULIO 2023
Ep(R) = EB
+
|Q+
= =@(3) + = (3)
+
|Q+
= 0 + = (3)
+
|Q+
=
+
2+
|Q+
= 2+
2 = Q4 /
Como: altura que cae: d= vt
h =
+
/+
d= 2.2-0.27 = 1.93 m
ℎ =
+
(
.T
”
)+
Para que llega al blanco:
+
|Q ′+
= 0 + = (3)
+
|Q{+
=
+
2+
′

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JULIO 2023
2 ′ = Q′4 /
d’= 2 ′/′
h =
+
/′+
h =
+
(
+.+
”{
)+
I
I
=
•
*R
•.–e
—”
S
•
*(
.
—”‡
)
+
R
.T
”
S
+
=
+
(
+.+
”{
)+
R
.T
”
S
+
= (
+.+
”{
)+
2 ′ = 1.142 R 7
S
2{
= 1.14 ∗ Q4 /
Q′4 / = 1.14 ∗ Q4 /
Q{
= 1.14 ∗ 1.1 (D )
X’= 1.25 cm

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JULIO 2023
a) EP = EQ
EK(P)+ EP(P)= EK(Q)+ EP(Q)
0+ EP(P)= EK(Q)+ EP(Q)
EP(P)= EK(Q)+ EP(Q)
mgh=
+
m v+
™ + mgR
mg(5R)= +
m v+
™ + mgR
g(5R)= +
v+
™ + gR
+
v+
™ = 4gR
v+
™ = 8gR
Como no hay fricción: N=0
N+Fc = m
v2
Q
•
Fc = m
v2
Q
•
Fneta = O(mg)+ + (m
v2
Q
•
)+
Fneta = O(mg)+ + (m
8gR
•
)+
Fneta = 4(mg)+ + (8mg)+
Fneta = √65mg

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JULIO 2023
b)
EP = EM
EK(P)+ EP(P)= EK(M)+ EP(M)
0+ EP(P)= EK(M)+ EP(M)
EP(P)= EK(M)+ EP(M)
mgh=
+
m v+
ž + 2mgR
mg(h)= +
m v+
ž + 2mgR
g(h)= +
v+
ž + 2gR
De:
N+Fc = m
v2
M
•
; 0+Fc = m
v2
M
•
mg = m
v2
M
•
v+
ž = gR
Como: gh= +
v+
ž + 2gR
gh= +
gR + 2gR
h= +
R + 2R
h =
L
+
R

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JULIO 2023
La mayor tensión se produce cuando tarzan está en el punto más bajo:
EA = EC
EK(A)+ EP(A) = EK(C) + EP(C)
0+ EP(A) = EK(B) +0
ℎ{
= ½ 2H
+
2H
+
= 2ℎ{
Además: T-mg= m ¡
•
T-mg= m
+I{*
•
‘ = R1 +
+I‡
•
S
T= 180lbf(1+2*8.5/50)
T= 241.2
Como T < Truptura ---------------no se rompe

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JULIO 2023
241.2 lbf < 250 lbf
a) ∆ U= -W
∆ = - ¢ £}Q
∆ = − ¢
¤ •
+}Q
∆ = −¥ + ¢ }Q
∆ = −¥ + ¢ Q¦+
}Q
∆ = −¥ +(−Q¦
)
∆ = −¥ +(
”
− )
∆ = Uf – Uo
U(x) 0 -------x - ∞
U(x) = -
¤ •
b) W= = − ¢
¤ •
+}Q
•a
W= = −¥ +(−Q¦ •a
)

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JULIO 2023
W= - ¥ + ∗ R−
•a
S
W= −¥ + ∗ R •a
− S
W= ¥ + ∗ R −
•a
S
W= ¥ + ∗ R
•a¦
( •a)
S
W= ¥ + ∗ R
a
( •a)
S
a) ∆ U= Uf – Uo= -W
∆ = - ¢ £}Q
∆ = − ¢ (−3Q − 5Q+)}Q
∆ = ¢ (3Q + 5Q+)}Q
∆ =
+
Q+
+
L
Q
∆ =
+
( Q+
− Q+
) +
L
(Q − Q )
Si U(0)=0 -- xo=0
∆ =
+
( Q+) +
L
Q
X= 2.26 m
∆ =
+
( 2.26+) +
L
∗ 2.26
∆ = 7.66 + 19.23 (?)
∆ = 26.89 (?)

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JULIO 2023
b)
EA = EB
EK(A) + EP(A) = EK(B) + EP(B)
+
2+
8 + =“(8) =
+
2+
3 + =“(3)
2+
8 + 2=“(8) = 2+
3 + 2=“(3)
2+
8 + 2(2=“(8) − 2=“(3)) = 2+
3
2+
3 = 2+
8 + 2¨2=“(8) − 2=“(3)©
2+
3 = 2+
8 +
+
¨2=“(8) − 2=“(3)©
De: ∆ =
+
( Q+) +
L
Q
X= 4.91 -----U=
+
( 4.91+) +
L
4.91
U= 36.16+ 197.28
U= 233.44 J
X= 1.77 -----U=
+
( 1.77+) +
L
1.77
U= 36.16+ 197.28
U= 13.94 J
2+
3 = 4.13+
+
+
. P
(234.44 − 13.94)
23 = 19.77 (
7
)

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
a)
W= ¢ £}Q
] = ¢ (52.8Q + 38.4Q+
)}Q
”
] =
L+.P
+
Q+ P.
Q
] =
L+.P
+
(Q+
− Q+ ) +
P.
(Q − Q )
] = 26.4(1.34+
− 0.522+) + 12.8(1.34 − 0.522 )
] = 40.21 + 28.98
W = 69.18 (J)
b)

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JULIO 2023
El trabajo del resorte se gasta en la energía que
consume la masa al moverse.
W =
+
(2+
)
69.18 =
+
∗ 2.17 ∗ 2+
V= 7.98 m/s
a) Del gráfico: L=d+r
r = L-d =120-75 = 45 cm
EA = EB
tomando como referencia para las energías potencias el punto B:
0+ EP(A) = EK(B) +0
mgL = ½ mvB
2
vB= 42 B = √2 ∗ 9.8 ∗ 1.2
vB = 4.85 m/s
b) EB = EC

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JULIO 2023
EK(B) + EP(B) = EK(C) + EP(C)
½ mvB
2
+0= EK(C) +2mgr
½ mvB
2
= ½ mvC
2
+2mgr
½ vB
2
= ½ vC
2
+2gr
vC
2
= vB
2
-4gr
2! = 42+
3 − 4gr
2! = √4.85+ − 4 ∗ 9.8 ∗ 0.45
2! = 2.43 /9
En el punto C:
= ¡
vC
2
> gr
EA = EB
0+ EP(A) = EK(B) +0
mgL = ½ mvB
2

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
vB= 42 B =
EB = EC
EK(B) + EP(B) = EK(C) + EP(C)
½ mvB
2
+0= EK(C) +2mgr
½ mvB
2
= ½ mvC
2
+2mgr
vB= 42 B =
vB
2
= vC
2
+4gr
vC
2
= vB
2
-4gr
vC
2
> gr
vB
2
-4gr > gr
2 B > 5 (
2 B > 5 (B − })
2L > 5L-5d
−3B > −5}
3B < 5} ; 5d > 3L
--------------------- d >
L
B
B: T+mg= mvB
2
/R
Si el cordón se afloja: T=0

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JULIO 2023
g= vB
2
/R
vB = 4 A
a)
=8 = =H sen28 = h/d
+
|Q+
= =)(8) + =@(8)
+
|Q+
= 0 + =@(8)
+
|Q+
= (ℎ + ℎ{)
+
|Q+
= (}9:;28 + Q9:;28)

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JULIO 2023
+
∗ 427 ∗ (0.214)+
= 3.22 ∗ 9.8(}9:;28 + 0.2149:;28)
9.777= 14.815d+3.17
d= 0.446 m
d = 44.6 cm
b)
EA = EC
ℎ = =)(H) + =@(H) + =@(U)
}9:;28 =
+
2H
+
− Q9:;28 +
+
‹+
|Q+
= 2 }9:;28 + 2 (Q9:;38) − 2H
+
|Q+
= 2 (}9:;28 + (Q9:;38)] − 2H
+
®' 2:®EDF}'} áQF ' :9:
Vc = AO = 0.214 ∗ O
+
.++
Vc = 4.26 m/s
427Q+
= 2 ∗ 3.22 ∗ 9.8(0.4469:;28 + (Q9:;28)] − 3.22 ∗ 2.46+
427Q+
= 63.112(0.4469:;28 + (Q9:;28)] − 3.22 ∗ 2.46+
427Q+
= 13.215 + 29.63Q − 19.486
Q+
− 0.069Q + 0.015 = 0
¿??????????????????????????????????????????????????

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JULIO 2023
EA = EB
0+ EP(A) = EK(B) + EP(B)
mgR = ½ mvB
2
+ mgh
gR = ½ vB
2
+ gh
En el punto B: no existe contacto entre el muchacho y el bloque de
hielo: N= 0
mgsenN = 23
+
/R
gRsenN = 23
+
Además: se;N =
I
U
23
+
= A ∗
I
U
= ℎ
Por tanto:
gR = ½ (gh)+ gh

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JULIO 2023
R = ½ (h)+ h
R=
+
h
ℎ =
+
A
a) El valor mínimo de la velocidad será para:
Š + = °
U
; Š = 0
= °
U
; 23
+
= A
De: EA = EB
= (8) + =@(8) = = (3) + =@(3)
= (8) + 0 = = (3) + +=@(3)
+
2+
8 =
+
2+
3 + (2A)
2+
8 = 2+
3 + 4 (A)

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JULIO 2023
2+
8 = A + 4 (A)
2+
8 = 5 A
2±²³ (8) = 45 A
b) Se tiene que:
9:;´ ≤
¶
U
9:;´ ≤
¶
U
De: EA = EP
= (8) + =@(8) = = (@) + =@(@)
= (8) + 0 = = (@) + +=@(@)
+
2+
=
+
2+
@ + (ℎ + A)
9:;´ = ℎ/A
+
2+
=
+
A9:;´ + (A + ℎ)
2+
= A9:;´ + 2 (A + ℎ)
2+
= 2 A + 2 ℎ + A9:;´
2+
= 2 A + 2 A9:;´ + A9:;´
2+
= 2 A + 3 A9:;´
(0.7752 b•)+
=2 A + 3 A9:;´
0.6*5gR = gR(2+3sen´)
3= 2+3sen´
9:;´ =
´ = 9:;¦
R S = 19.47o

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JULIO 2023
a) Del DCL
En el punto más bajo se tiene que:
mg= F
F= Kx ; K=constante de la cuerda elástica
Kx= mg
X= mg/K
Y la longitud en el punto mas bajo es:
L’ – L+ x
------------------ L’ > L

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JULIO 2023
Recuerde:

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JULIO 2023
La grafica de la fuera que actúa es:
La energía cinética es:

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JULIO 2023
a) La fuerza se calcula como:
F= -
a·
a1
; DE E £ :9 DE;9/';/:
£ = −
∆·
∆1
F= -
¸( )¦¸( )
¹( )¦¹( )
= −
¦ ¦(¦ )
¦
F= −
¦ •
¦
= = 4.67 N
b) La energía cinética en x=2:
EK = ½ mv2
EK = ½ (2)(-2)2
= 4 J
De la gráfica: x=2 --------------- U92)= -7 J
Etotal = EK +U
Etotal = 4- 7 =-3 (J)

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JULIO 2023
Se aprecia que el cuerpo se mueve entre
X1 = 3m y x2 = 14 m
c) Si X=7 m -----------------U(7) = -17 J
Etotal = EK +U
EK= Etotal – U
EK= - 3- (-17)= 14 J
EK = ½ mv2
14 = ½ *2*v2
V = 3.74 m/s

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JULIO 2023
a) Si E >0 que para el caso es E1 , la partícula ligera se separará completamente y se
moverá de acuerdo a la ecuación:
V = O
+
(= − 9Q))
b) Si la energía es como E2:
La partícula puede moverse entre los puntos r1= 0.15 y r2 = 0.29
c) Si x= 0.3 nm --------- U= -1.1 x10-19
(J)
d)
E1 = 1 x10-19
(J)
Etotal = EK +U
EK= E1 – U
EK= 1 x10-19
– (-1.1 x10-19
)
EK= 2.1 x 10 -19
(J)
e) F= -
∆·
∆»
Aproximando una recta entre 0.2 y o.3 nm, se tiene:
F= -
¦ ¹ ¼•–¦(¦+¹ ¼•–)
( . ¦ .+)¹ ¼–
= −10x10¦ ¾

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JULIO 2023
a)
En el geogebra se ha simulado una función matemática que genera una forma similar a la del
problema, por tanto una función es de la forma:
U(x)= (¿Q+
− À):¦Á
b) F=
a·
a
=
a
a
((¿Q2
− À):−NQ2
)
£ = (¿Q+
− À)
a
a
¨:¦Á
© + :¦Á a
a
( ¿Q+
− À)
£ = (¿Q+
− À):¦Á (−2NQ) + 2¿Q:¦Á
£ = :¦Á Â−2NQ(¿Q+
− À) + 2¿Q]
£ = :¦Á Â−2N¿Q + 2NQÀ + 2¿Q]
£ = 2:¦Á Â−N¿Q + NQÀ + ¿Q]
D)
Se aprecia que la función potencial posee un mínimo en x=0 y dos máximos en x1 y x2
Por tanto:
En Xo ---------------------equilibrio estable
En X1 y X2 -------------------equilibrio inestable

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JULIO 2023
El sistema es un sistema conservativo, en donde:
EA = EB
EK(A)+ EP(A)= EK(B)+ EP(B)
+
2+
+ ℎ =
+
2+
+ + ℎ
+
2+
=
+
2+
+
2+
= 2+
+ --- 2 = 2+ = 2
U(X,y)= ½ Kx2
+ ½ Ky2
a) Fx= -dU/dx ; Fy= −
a·
aÃ
£ = −
a
a
( ½ Kx2
+ ½ Ky2
)
£ = − Q
£
Ã = −
a
aÃ
( ½ Kx2
+ ½ Ky2
)
£
Ã = − z

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JULIO 2023
£
⃗ = −|Q F − |z G
£
⃗ = −|(QF + zG)
b) Sea: Q+
+ z+
= (+
U(r,´)= ½ K(r2
)
Fr = -
Ä·
Ä
= −
Ä
Ä
R+
|(+
S
Fr = - kr
£Å = 0
a) Sea: (() = − ”
:
¦
Æ
Æ”
F( r)= −
Ä·
Ä
= −Â−
Ä
Ä
Ç ”
:
¦
Æ
Æ”È]
£ = Â ” Ä
Ä
(:
¦
Æ
Æ”) + :
¦
Æ
Æ”
Ä
Ä
( ”
)]
£ = Â ”
∗ :
¦
Æ
Æ”
Ä
Ä
R−
”
S + :
¦
Æ
Æ” R− ”
S]
£ = Â − ”
∗ :
¦
Æ
Æ” R
”
S − :
¦
Æ
Æ”( ”
)]
£ = − ∗ :
¦
Æ
Æ”Â + ”
]
b) £ (( ) = − ∗ :
¦
Æ”
Æ”Â + ”
”
]

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JULIO 2023
£ (( ) = − ∗ :¦
É
”
+
”
Ê
£ (( ) = −
+
”
∗ :¦
£ (2( ) = − ∗ :
¦
Æ
Æ”Â + ”
]
£ (2( ) = − ∗ :
¦
Æ”
Æ” É
+ ”
+ ”
”
Ê
£ (2( ) = − ∗ :¦+
Â
+ ”
+
”
£ (2( ) = −
3
4(
∗ :¦+
£ (4( ) = − ∗ :
¦
Æ
Æ”Â + ”
]
£ (4( ) = − ∗ :
¦
•Æ”
Æ” É
”
+ ”
M ”
Ê
£ (4( ) = − ∗ :¦
Â
”
+
M ”
]
£ (4( ) = −
5
16(
∗ :¦
£ (10( ) = − ∗ :
¦
Æ
Æ”Â + ”
]
£ (10( ) = − ∗ :
¦
•ËÆ”
Æ” É
”
+ ”
”
Ê
£ (10( ) = − ∗ :¦ +
Â
”
+
”
£ (10( ) = −
11
100(
∗ :¦
£F;'® :;/::
£ (2( )
£ (( )
=
3
4(
∗ :¦+
2
(
∗ :¦
Æ(+ ”)
Æ( ”)
=
P
:¦
=0.138
£ (4( )
£ (( )
=
5
16(
∗ :¦
2
(
∗ :¦
Æ( ”)
Æ( ”)
=
L
+
:¦
=0.0078

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JULIO 2023
Æ( ”)
Æ( ”)
=
••
•ËËÆ”
·”∗~¼•Ë
Æ”
·”∗~¼•
Æ( ”)
Æ( ”)
=
+
:¦T
= 6.78Q10¦M
Sea: £
⃗ = −| zF − |+QG ; | ≠ |+
La fuerza es conservativa, si el trabajo que realiza F por sus trayectorias, son iguales, así:
] = ¢ £
⃗. }(
⃗
}(
⃗ = }QF + }zG
] = ¢( − |1zF − |2QG). (}QF + }zG)
] = − ¢(|1z}Q − |2Q}z)
Para la trayectoria 1:
Y=0 ; x= a
] = − ¢ |1z}Q − ¢ |2Q}z
] = − ¢ |1(0)}z − ¢ |2'}z
] = −|2' ¢ }z = −|2'(& − 0)

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JULIO 2023
] = −|2'&
x=0 ; y=b
]+ = − ¢ |1z}Q − ¢ |2Q}z
]+ = − ¢ |1(&)}Q − ¢ |2(0)}z
]+ = − ¢ |1(&)}Q
]+ = −|1& ¢ }z
'
0
]+ = −|1& ¢ }z = −|1&(' − 0)
]+ = −|1'&
Se tiene : ] ≠ ]+
Ec. Recta: y= mx+b ; b=0
A(0,0) a B(a,b)
0=b
Y= mx
b= ma ; m= b/a
Y = Q
dy =(b/a)dx
] = − ¢ |1z}Q − ¢ |2Q}z
] = − ¢ |1 R
&
'
QS }Q − ¢ |2(Q) R
&
'
S }Q
] = −|1 R
&
'
S ¢ Q}Q
'
0
− |2 R
&
'
S ¢ Q}Q
'
0
] = −|1 R
&
'
S (
1
2
)Q2
0
'
− |2 R
&
'
S (
1
2
)Q2
0
'
] = −|1 R
&
'
S (
1
2
)('2
− 0) − |2 R
&
'
S (
1
2
)('2
− 0)
] = −
|1
2
&' −
|2
2
&'

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JULIO 2023
] ≠ ]+ ≠ ]
a) =“( ) = ℎ = 25.3 ∗ 9.8 ∗ 12.2
=“( ) = 3024.87 (?)
b) = (0) = +
2+
= +
∗ 25.3 ∗ 5.56+
= (0) = 391.06 (?)
c) Wfr = 3024.87-391.06
Wfr = 2633.82 (J)

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JULIO 2023
18000 mill/h = 8046.72 m/s
220 mill/h= 98.35 m/s
a) = =
+
2+
=
+
(79000) ∗ 8046.72+
= = 2.56Q10 + (J)
b) = =
+
2+
=
+
(79000) ∗ 98.35+
= = 3.82Q10 (J)
c) La diferencia de energía, se consume por fricción con el medio y pérdidas
internas de la máquina
∆E = 2.56x10 +
− 3.82Q10
∆E = 2.55 x10 +
La razón de aumento de energía se mide por:
dE/dt= ?
W = ∆=
∆= = ℎ − ℎ+ ; ℎ1 > ℎ2

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
∆= = ℎ
dE= mgdh
a•
a1
=
a*
a1
a•
a1
= 2
a•
a1
= 68 ∗ 9.8 ∗ 59
a•
a1
= 39317.6 (])
EA == EB
EK(A)+ EP(A) = EK(B) + EP(B)
½ mvA
2
+ EP(A)= ½ mvB
2
+0
∆=@ = ∆=)
∆•Î
∆•‚
= 1
De los datos, se tiene:
∆•‚
∆•Ï
=
*I
•
( ¦ Ë)
=
+*I
¦ Ë
∆•‚
∆•Ï
= 2 ∗ 9.8 ∗
L
¦ .+
= 1.852
∆•Î
∆•‚
= 0.54 = 54 %

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JULIO 2023
Considérese una determinada cantidad de agua que pasa al inicio y al final
∆=“ = ℎ
∆=) = +
(2+
− 2+ )
El restante 46% se pierde por interacciones del agua con otros elementos del
río, calor generado y otros.
=@(8) = ℎ = 524 ∗ 9.8 ∗ 292 = 1499478.4 (J)
= (8) =
+
2+
=
+
∗ 524 ∗ 62.6+
= 1026715.12 (?)
Wfr= = (3) − =@(8)
Wfr= 1026715.12 − 1499478.4
Wfr = - 472763.28 (J)

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JULIO 2023
Wfr = EP(B) – EK(A)
]0 = ℎ −
+
2+
Si el arrastre se elimina, se tiene:
0 = ℎ −
+
2+
ℎ =
+
2+
Se tiene que:
]0 = ℎ − ℎ
]0 = (ℎ − ℎ )
]0 = − (∆ℎ)
∆ℎ = ]0 /
El trabajo de la fuerza de arrastre es negativo:
∆ℎ = − R−
MP
T. ∗T.P
S = 738.17
Se cumple que:

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JULIO 2023
Wfr = EP(B) – EK(A)
Wfr = mgh – ½ mvA
2
Wfr = mg(dsen33) – ½ mvA
2
-34.6 = 4.26*9.8*dsen33- ½(4.26)*7.812
-34.6 = 22.74d- 129.92
d= 4.19 m
a) Wfr = EP(C) – EK(C)
Wfr = mgh – ½ mvC
2
-fh = mgh – ½ mvo
2
mgh+fh = ½ mvo
2
h( mg+f) = ½ m vo
2
mvo
2
= 2h(mg+f)

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JULIO 2023
ℎ = ”
+(* •0)
ℎ = ”
+(* •0)∗
•
Ð
ℎ = ”
+R*•
Ñ
Ð
∗
Ò
Ò
S
ℎ = ”
+*R •
Ñ
Ð
∗
•
Ò
S
= ”
+*R •
Ñ
Ó
S
b) Cuando baja:
Wfr = EK(A) – EP(B)
Wfr = ½ mvf( c)
2
- mgh
-fh = ½ mvf( C)
2
- mg( ”
+*R •
Ñ
Ó
S
)
mg( ”
+*R •
Ñ
Ó
S
)-f ”
+*R •
Ñ
Ó
S
= ½ mvf( C)
2
½ mvf( C)
2
= ”
+*R •
Ñ
Ó
S
Â − .]
vf( C)
2
=
+ ”
+* R •
Ñ
Ó
S
Â − .]
vf( C)
2
= ”
* R •
Ñ
Ó
S
Â − .]
vf( C)
2
= ”
R •
Ñ
Ó
S
Â
*¦0
*
]
vf( C)
2
= ”
R •
Ñ
Ó
S
Â1 −
0
*
]
vf( C)
2
= ”
R •
Ñ
Ó
S
Â1 −
0
Ô
]
20(H) = 2 Õ
¦
Ñ
Ó
•
Ñ
Ó

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JULIO 2023
La fuerza de fricción esta presente entre A y B que es donde se comprime el resorte:
EK(A)+ Wfr = EP(resorte)
Wfr = EP(resorte) – EK(A)
Wfr = ½ Kx2
– ½ mvA
2
2 Wfr = Kx2
– mvA
2
vA
2
= ¨|Q+
− 2]0 ©
vA
2
=
.
R
.T
.
∗ 0.0416+
− (−2 ∗ 0.117)S
vA
2
= 0.424
vA = 0.65 m/s por un carril con extremos

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
Como las partes curvas no tienen fricción, el cuerpo se detiene en la parte plana luego de ir y
regresar varias veces*n):
EA = EC
mgh +Wfr = 0
Wfr = -0.234*9.8*1.05= -2.4078 (J)
Como el trabajo resistivo en pasa por el tramo plano es de 0.688, pasará n veces
por el:
n(0.688)= 2.408
n= 2.408/0.688 = 3.499
----------------------- que está de regreso en la parte plana hacia B y prácticamente
en la mitad de L
Wf = frd
Wfr’= 0.499(0.688)- 0.343 J (consume en el regreso hasta
pararse)
.MPP
.
=
+. M
a‡
d’= 1.0765 m
x= 2.16- 1.0765
x = 1.0804 m

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
a) EA = EB
EK(A) + EP(A) = EK(B)+EP(B)
0 + EP(A) = EK(B)+0
mg(h1 -h2)= ½ mvB
2
gh’ = ½ vB
2
23 = 42 ℎ′ = 42 ∗ 9.8 ∗ (862 − 741)
23 = 48.69 /9
b)
∆= = =@(8) − =@(3)
∆= = (ℎ1 − ℎ2)
∆= = 54.4 ∗ 9.8(862 − 741)
∆== 64507.02 (J)

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
a) ∆ =
+
(2+
+ − 2+
)
F = ma= mv1
2
/r1
~
•
= •
•
2+
=
:+
(
+
2+
=
~
+ •
De igual forma para la orbita de radio r2 :
2+
+ =
~
+
2+
+ =
~
+
De:

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
∆ =
+
(2+
+ − 2+ )
∆ =
~
+
−
~
+ •
∆ =
~
+
R −
•
S
b) Se conoce que:
∆ = −]
∆ = − ¢ £}(
•
∆ = − ¢
~
}(
•
∆ = − :+
¢ (¦+
}(
•
∆ = − :+
∗ (− ) +
∆ = − :+
(
•
− )
∆ = :+
( −
•
)
c) El cambio de energía total es:
∆= = ∆ + ∆
∆= =
~
+
R −
•
S + :+
( −
•
)

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
a) 4000 lbf= 17818.18 N
1000 lbf -ft=1357.75 J
Ep(A) + Wf = EK
17818.18*12*.3048-4454.54*12*.3048= ½ (17818.18/9.8 )*v2
48878.76 =909.09 v2
V= 7.33 m/s
b) K=
" 0
01
∗
)*0
+.+ " 0
∗ 9.8
€
*0
∗
01
. P
= 146146.5
€
Wfr = Ep(R) -EK(A) -EP(A)
−4454.54z =
+
z+
−
+
2+
− z
−1357.75z =
+
∗ 146146.5z+
−
+
(
P P. P
T.P
)7.33+
-17818.18y
−1375.75z = 73073.3z+
− 48844.45- 17818.18y
0 = 73073.3z+
− 48844.45 – 16460.44y

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
z+
− 0.67 − 0.23 = 0
z =
.M ±√ .M • ∗ .+
+
z = 0.67±1.17
2
= 0.92
a)
N = /';¦
R
P
S = 4.57o
F-fr = ma ; v= cte ------------------------ a=0
F = fr
^ 1 =
a
a1
=
a
a1
(£Q) = £
a
a1
^ 1 = £
a
a1
= Fv
^ 1 = . 2
. =
@
=
M
L
. = 1066.67 Š
b)

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
F- mgsen45-fr =0
F= fr+mgsen45= 1066.67+1700*9.8*sen4.57
F= 2394.09 N
P=Fv= 2394.09*15= 35911.33 (W)
Hay un incremento de potencia de:
∆^ = 35911.33 − 16000 = 19911.33 ]
c)
mgsenN − . = 0
. = 9:;N
P=Fr v
16000= mg*15senN
16000= 17000*9.8*15sen N
Sen N = 0.96
DE9+
N = 1 − 9:;+
; DE9N = 0.28
tanN =
7~•Á
! 7Á
=
.TM
.+P
=
m = 3.42
a) E= mc2
E= 0.120 * (3x108
)2
E= 1.08 x1016
J Peta= P= 1015
E= 10.8 PJ

Msc. Widmar Aguilar
JULIO 2023
b) P= W/t
t = W/P
t= 10.8 ∗
•Ö
= 0.8307 Q10 9 ∗
I
M 7
∗
ab
+ I
∗
•
MLab
t= 26.34x104
años
a) De: logE = 1.44 M+5.24
Log E= 1.44*7.1+5.24
logE= 15.464
E= 2.91x1015
(J)
b) E=mc2
=
+.T •Ö
( ×)
= 0.032
m= 32 g

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