EJERCICIOS FISICA: MOVIMIENTO CURVILINEO

1. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 32 − −→ =
=
= 32
= 16 − − − − − 1
= 8 − −→ =
=
= 8
= 8 − − − − − 2
= − − − −→ 1
= 16 ; =
= 4

2. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 8
=
= 8 = 8
= 2 − − − − − −→ = 8 /"
= 0.75
= 0.75 ∗ 8 = 6
= 6 = 6
= 2 − − − − − −→ = 6 /"
⃗ = ) + +
⃗ = 8) + 6+
= √8 + 6 = 10
-
.
⃗ = ) + +

3. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
=
= 4 = 16 /
= 0.5 − −−→ = 16 ∗
0 /
/"
= 2 1
-
.
2
= ; y= 2√
= 12 ∗ 4
3
2 = 4
= 8
= 0.5 − −−→ = 8 ∗
0
= 4 /"
⃗ = 2) + 4+
= √2 + 4 = √20 = 4.47
-
.
De: 4
⃗ = 4 ) + 4 +
4 =
56
4 = 16 /
= 48
= 0.5 − −−→ 4 = 48 ∗ 1
0
2
-
.
4 = 12
-
.
4 =
57
4 = 8 = 8
= 0.5 − −−→ 4 = 8
-
.
Se tiene que: 4
⃗ = 12) + 8+
4 = √12 + 8 = √208
4 = 14.42
-
.

4. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
⃗ = ) + +
= 0.5
= 0.5
= 0.5 ∗ =
56
= 1
-
.
2
= 4 − −−→ = 16 1
-
.
2
=
= 2
= 4 − −−→ = 2 ∗ 16 = 32 /"
⃗ = 32) + 16+
= √16 + 32 = √1280 = 35.78
-
.
De: 4
⃗ = 4 ) + 4 +
4 =
56
4 = 2 = 4 /"

5. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 4 − −−→ 4 = 4 ∗ 4 = 16 /"
4 =
57
4 = = 2 /"
= 4 − −−→ 4 = 2 ∗ 4 = 8 /"
4 = 16) + 8+
4 = √16 + 8 = √320 = 17.89
-
.
Se tiene: = 0.25
= 2 ; = 0.25 2 =
⃗ = ) + +
=
= =
= 4 t/
= 2 − − − − − −→ = 4 ∗ 8 = 32
-
.

6. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= = 2
= 4
= 2 − −−→ = 4 ∗ 2 = 8 /"
⃗ = 8) + 32+
= √8 + 32 = 32.98
-
.
De: 4
⃗ = 4 ) + 4 +
4 =
56
4 = 4 = 4 /"
= 2 − −−→ 4 = 4
-
.
4 =
57
4 = 4 /
= 12 /"
= 2 − −−→ 4 = 12 ∗ 4 = 48
-
.
4 = 4 ) + 48+
= √4 + 48 = 48.17
-
.

7. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
:
⃗ = 2" 2 ) + 2;<" + − 2 =
⃗ =
>
⃗
⃗ = ?2" 2 ) + 2;<" + − 2 =@
⃗ = 4 cos 2 ) − 2" + − 4 =
= 2 − −−→ ⃗ = −2.615 ) − 1.82+ − 8=
De: 4
⃗ =
5
D⃗
4
⃗ = ?4;<" 2 ) − 2" + − 4 @
4
⃗ = −8 sen 2 ) − 2;<" + − 4=
= 2 − −−→ 4
⃗ = 6.05 ) + 0.833+ − 4=
.=
5G 7
H
− − − − ) I< "JK): 4L IJ < á ) <
ℎ = O −
0
P .
ℎ = 1 O ∗
5G 7
H
2 −
0
P
5G 7
H
ℎ = 1 O" 30 ∗
5G.QR/
H
2 −
0
P
5G.QR/
H
ℎ = 1
5G .QR /
H
2 −
5G .QR /
H

8. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
ℎ =
5G .QR /
H
=
0 ∗ .S
∗T.
= 1.28
U = O 5 ; 5 = 2 .
.=
5G 7
H
; 5 = 2
5G 7
H
U =
5G 6 5G 7
H
= 2 O;<"30 ∗
5G.QR/
H
U = 2 O ;<"30 ∗
.QR/
H
=
5G
H
" 2 ∗ 30
U =
0
T.
" 60 = 8.84
⃗V = ⃗O + P
⃗ ; t= tv
5 = 2
5G 7
H
= 2 ∗
0 .QR/
T.
= 1.02 "
⃗V = 10 ;<"30) + " 30+ − 9.8 1.02 +

9. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
⃗V = 8.66 ) + 5+ − 10+
⃗V = 8.66 ) − 5+
V = √8.66 + 5 = 10
-
.
De: = O" 30 ∗ −
0
P
10= O;<"30 ∗ ; =
0
5GWX./
= O" 30 ∗
0
5GWX./
−
0
P
0
5GWX./
= 10 4 30 −
0 H
5 GWX. /
1.5 = 10 4 30 − 50 ∗
T.
5 G∗WX. /
YS/.////
5 G
= 4.274
O = 12.36
-
.

10. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
senZ = ; = U = [
=
S
/
De: = 4 Z −
H
5 GWX. ]
-
/
= 4 53.13 −
T.
∗ ∗ WX.S/.0/
−0.75 = 1.333 − 0.034
0.034 − 2.083 = 0
0.034 − 2.083 = 0
X= 61.26 (m)

11. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
Y= (3/4)x= 45.95
De: U =
S
/
=
S
/
∗ 45.95
R= 76.58 (m)
ℎ = O" 30 ∗ −
0
P
también: 12= O;<"30 ∗ ; =
0
5GWX./
ℎ = O" 30 ∗
0
5GWX./
−
0
P
0
5GWX./
5 = 12 4 30 −
0 H
5 GWX. /
5 = 12 4 30 − 72 ∗
/
5 G∗WX. /

12. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
/ ^
5 G
= 1.928
O = 39.92
_
.
U = O;<"Z ∗
U = O S
∗
ℎ = O" Z −
0
P
-150 =150 1
/
S
2 − 4.9
4.9 − 90 − 150 = 0
Resolviendo la ecuación: Wolfram Alpha

13. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 19.905 "
U = O 1
S
2 ∗
U = 150 ∗ 1
S
2 ∗ 19.905 = 2388.6
’
:
⃗ = 3 /
− 2 ) − 14
3
+ 2 + + 3 − 2 =
⃗ =
>
⃗
= ` 3 /
− 2 ) − 14
3
+ 2 + + 3 − 2 =a
⃗ = 9 − 2 ) − 14 ∗
0 b
3
+ 12 + + 6 =
= 2 ∶ ⃗ = 36 − 2 ) − d
2
√2
+ 1e + + 12=
⃗ = 34 ) − 2.414+ + 12=
= √34 + 2.414 + 12
= 36.14 1
-
.
2
De: 4
⃗ =
5
D⃗
= ? 9 − 2 ) − 1
√
+ 12 + + 6 =]
4
⃗ = 18 ) − b
3
+ + 6=
4
⃗ = 18 ) − 2 ∗ 1−
0
2 b
[
+ + 6=

14. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4
⃗ = 18 ) +
0
[ + + 6=
= 2 ∶ 4
⃗ = 18 ∗ 2) +
1
2
/ + + 6=
4
⃗ = 36) + 0.354+ + 6=
4 = √36 + 0.354 + 6 = 36.5
-
.
⃗ = 3) + 6 − 2 +
⃗ =
>
⃗
; :
⃗ = ⃗
:
⃗
>
= ?3) + 6 − 2 +@
:
⃗ = 3 ) + f6 − g+
:
⃗ = 3 ) + 6 − +
= 1; :
⃗ = 3) + 5+
= 3: :
⃗0 = 9) + 9+
∆:
⃗ = :
⃗0 − :
⃗
∆:
⃗ = 9 − 3 ) + 9 − 5 +
∆:
⃗ = 6) + 4+
∆: = √6 + 4 = 7.21
= K ; = ;
⃗ = ) + +

15. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= ; =
= ;
=
W
/
/
De: = K
=
j
=
W
/j
/
= k
W
/j
/ = k
W
/j
[
= = dk
W
/j
[
e
=
/ 3
k
W
/j
Se sabe que: a= dv/dt
4 =
57
= ;
4 = 2; ---------------------------Rta
4 =
56
= d
/ 3
k
W
/j
e
4 =
56
= d
/
k
W
/j
3
e
4 =
/
k
W
/j
∗
0 b
3
4 =
/
k
W
/j
∗
0
3 -----Rta
l
4 =
/
k
W
/j
∗
0
3
4 = 2;

16. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
⃗ = 16 ) + 4 /
+ + 5 + 2 =
t = 0: ⃗X = 2= (m/s)
4
⃗ =
5
DDD⃗
= ? 16 ) + 4 /
+ + 5 + 2 =
4
⃗ = 32 ) + 12 + + 5=
= 2: 4
⃗ = 32 ∗ 2) + 12 ∗ 4+ + 5=
4
⃗ = 64 ) + 48 + + 5=
4 = √64 + 48 + 5 = 80.16
-
.
De: ⃗ = :
⃗
:
⃗ = ⃗
:
⃗ = ?
>
16 ) + 4 /
+ + 5 + 2 =]dt
:
⃗ =
0Y
/
/
) + + + `
S
+ 2 a =
:
⃗ =
0Y
/
/
) + + + 1
S
+ 2 2 =
= 2: :
⃗ =
0Y
/
∗ 8) + 16+ + 10 + 4 +
:
⃗ = 42.67) + 16+ + 14+
l
= 42.67
= 16
m = 14

17. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= ; =
= 2:;<"2
= 2: ;<"2
= :" 2 = :" 2
De: + = :
= : − ? :" 2 @
= : ?1 − " 2 @
= : ;<" 2
= :;<"2
= = :;<"2 = −2:" 2
= 2:;<"2
Se tiene:
4 =
56
= −2:" 2
4 = −4:;<"2
4 =
56
= 2:;<"2
4 = −4:" 2

18. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
n
4 = −4:;<"2
4 = −4:" 2
= ; =
= −3
= −3
Como: = 0.05 − −−→ = 0.05 ∗ 2
= 0.05 ∗ 2
=
= 2 ∗ 0.05 ∗ 5 ∗ −3 1
-
.
2
= −1.5 1
-
.
2
Se tiene: 4 = −1.5
-
.
4 =
57
; = 0.05 ∗ 2
57
= 0.1 = 0.1
56
+
4 = 0.1 4 +
4 = 0.1 5 ∗ −1.5 + −3

19. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 = 0.1 (1.5)= 0.15 m/s2
:
⃗ = 5;<"2 ) + 4" 2 +
⃗ =
>
⃗
= 5;<"2 ) + 4" 2 +
⃗ = −10" 2 ) + 8;<"2 +
= 1 ∶ ⃗ = −10" 2 ) + 8;<"2+
⃗ = −9.093 ) − 3.33 +
= o −9.093 + −3.33 = 9.68 1
-
.
2
De: 4
⃗ =
5
D⃗
= −10" 2 ) + 8;<"2 +)
4
⃗ = −20;<"2 ) − 16" 2 +
= 1 ∶ 4
⃗ = −20;<"2 ) − 16" 2+
⃗ = −8.33 ) − 14.55 +
= o −8.33 + −14.55 = 16.76 1
-
.
2
n
= 5;<"2
= 4" 2
S
= ;<"2 ; = " 2
1
S
2 + 1 2 = ;<" 2 + " 2
1
S
2 + 1 2 = 1
√S
+ = 1 ------ elipse

20. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 4
Derivando: 2 = 4
2 = 4
") = 4 − − − −→ = ±4
=
±
= ±2
= o + = 4
o 2 + = 4
o5 = 4
= k
0Y
S
= ±1.79
-
.
= ±3.58 1
-
.
2
l
= ±3.58 1
-
.
2
= ±1.79 1
-
.
2

21. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
De: 2 = 4
2 = 4
2 1
57
+ 2 = 4
56
2q 4 + r = 44
Se conoce que: y= ±4
2 q ±4 4 + r = 44
±4 4 + = 24
±4 4 + 3.2 = 24
Por facilidad del problema considerar que la partícula está en la parte superior
de la curva:
4 4 + 3.2 = 24
4 = 0.54 − 0.8 ; = 2√
4 Z = =
0
√
Z = 4 b0
1
0
√
2 = 26.57o
s
4 = 4 ;<"Z
4 = 4 " Z − −→ t
4 ;<"Z = 4 ;<"Z Z
4 " Z = 4 " Z
Sumando las ecuaciones: 4 ;<"Z + 4 " Z = 4
Como v= cte ----------------- at =0 y solo tiene aceleración centrípeta

22. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 ;<"Z = − 4 " Z
4 = − 4 4 Z
Se tiene: 4 = 0.54 − 0.8
4 = −0.5 4 4 Z − 0.8
4 = −0.5 4 tan 26.57 − 0.8
4 = −0.64
-
.
4 = − 4 4 Z = 0.64 4 26.57
4 = 0.32
-
.
= −1.5 ∗ 10b/
+ 15 v
= ; = 75
_
.
Derivando: = −3 ∗ 10b/
= −3 ∗ 10b/
= −3 ∗ 10b/
∗ 50
= −150 ∗ 10b/
= o + = 75

23. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
o −150 ∗ 10b/ + = 75
1.0225 = 5625
= 74.17 1
-
.
2 = - 74.17 (m/s)
De: = −150 ∗ 10b/
= −150 ∗ 10b/
∗ −74.17 = 11.13
-
.
Se tiene: = −3 ∗ 10b/
57
= −3 ∗ 10b/
4 = −3 ∗ 10b/
1
56
+ 2
4 = −3 ∗ 10b/
4 +
4 = −3 ∗ 10b/
50 4 + 74.17
4 =- 0.15 4 − 16.5
V=cte -------- 4 = 0
4 = 4 ;<"Z
4 = 4 " Z
4 ;<"Z = 4 ;<" Z
4 " Z = 4 " Z
Sumando las ecuaciones:
4 ;<"Z + 4 " Z = 4 ;<" Z + " Z
4 ;<"Z + 4 " Z = 4

24. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 = 0
4 ;<"Z + 4 " Z = 0
4 ;<"Z = −4 " Z
4 = −4 tanZ
De: 4 =- 0.15 4 − 16.5 ; Z = 4 b0
1
00.0/
^ .0^
2 = 8.53o
4 = 0.15 4 4 Z − 16.5
4 = 0.15 4 4 8.53 − 16.5
4 = −16.88
-
.
4 = −4 tanZ = 16.88 4 8.53
4 = 2.53
-
.
wV = 3 − 1 = 2 "
⃗x =
∆>
⃗
∆
∆:
⃗ = :
⃗V − :
⃗O
∆:
⃗ = 30 ;<"345) + " 345+ − 30 ;<"315) + " 315+
∆:
⃗ = 28.98 ) − 7.76 + − 21.21) + 21.21 +

25. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
∆:
⃗ = 7.77 ) + 13.45 +
⃗x =
∆>
⃗
∆
=
^.^^ yz0/. S {
⃗x = 3.89 ) + 6.73 j (m/s)
= 2 + 3 + 4 = 9 |
∆:
⃗ = 2 − 4 ) + 3+ = −2) + 3+ (km)
∆: = o −2 + 3 = 3.605 =
⃗x =
∆>
⃗
∆
=
b yz/ {
Sz z0 ∗Y
= −1.45) + 2.174 +
-
.
x = o −1.45 + 2.174 = 2.61 ∗ "
Vm = }
=
T
0/
Vm
= rapidez promedio
= 6.52 (m/s)

26. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
~
= ; " =
= ; ;<"=
m = ℎ − K
;, K, ℎ = ;< " 4 "
:
⃗ = ; " = ) + ; ;<"= + + ℎ − K =
⃗ = :
⃗ = ; " = ) + ; ;<"= + + ℎ − K =)
⃗ = ;= ;<"= ) − ;=" = + − K=
l
= ;= ;<"=
= −;= " =
€ = −K
;, K, ℎ = ;< " 4 "
= o ;=;<"= z −;=" = + K
= o ;= ;<" = + " = + K
= √; = + K (m/s)
4
⃗ = ⃗ = ;= ;<"= ) − ;=" = + − K=
4
⃗ = −;= " = ) − ;= ;<"= +
l
4 = −;= " =
4 = −;= ;<"=
4€ = 0
;, K, ℎ = ;< " 4 "
4 = o; = ;<" = + " =

27. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 = ;= (m/s2
)
= 4= ; = ;
4 = ; = ;
Derivando: 2 = 4=
2 = 4=
2 X; = 4= ; = •W
‚
De: 2 = 4=
2 1 + 2 = 4=
56
2q X4 + r = 4=4
2q X4 + ; r = 4=4
2 X4 + 2; = 4=4
2 X; + 2; = 4=4
4 =
W
‚ X + ;
4
⃗ = 4 ) + 4 +
4
⃗ =
W
‚ X + ; ) + ; +
t
4 =
W
‚ X + ;
4 = ;

28. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= − v ; = 2 1
_
.
2
Derivando: = −
= −
= −
∗
= 1
T
0
2
= 0.9 = 0.9*2 = 1.8
⃗ = 2) + 1.8 + 1
_
.
2
= √2 + 1.8 = 2.69
_
.
De: = − ; ax = dvx/dt =0
q r = 1 − 2
4 = 4 − 1
56
+ 2
4 = 4 − 20 4 +
4 = 4 − 20 4 + 4
4 = 4 11 − 2 −
4 = 4 1
T
0
2 −
0
S
4 = 4 ) + 4 +

29. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4
⃗ = 0) − 0.02 + 1
_
.
2
4 = 0.02 1
_
.
2
= ; " 1
ƒ
„
2
Derivando:
= ; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2
= ; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2
= o +
X = k + ? ; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2@
X = k ?1 + `; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2a @
X = ?1 + `; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2a
= X 1 +
Wƒ
„
;<"
ƒ
„
b
3
Por tanto:

30. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= ; 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2 ? X 1 + 1
Wƒ
„
2 ;<"
ƒ
„
b
3
@
= ; X 1
ƒ
„
2 cos 1
ƒ
„
2 ?1 + 1
Wƒ
„
2 ;<"
ƒ
„
@b
3
De la ecuación de la trayectoria:
= 4 Z −
H
5 GWX. ]
−1 = 5 4 30 − 9.8 ∗
S
5 GWX. /
0Y/.//
5 G
= 3.89
O = 6.48 1
-
.
2
De: O =
5 O;<"30 ∗ = 5
=
S
Y. WX./
= 0.89 "

31. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
X= Vot
=
5•
=
Y
0
= 0.43 "
La altura que cae es:
-ℎ…
= X −
0
P = −
0
P
ℎ…
=
0
P =
0
32 0.43
ℎ…
= 2.94 v
ℎ = 5 − ℎ…
= 5 − 2.94
ℎ = 2.06 v

32. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
t = 3 (s)
X= VAcos† ∗
También: −ℎ = O −
0
P
-75 = O " † −
0
P
−75 = 3 O" † − 4.5 ∗ 32
3 O" † = 69
3 1
WX.‡
2 " † = 69
3 1
Y
/WX.‡
2 " † = 69
4 † =
YT
Y
; † = 48.99o
De: O =
WX.‡
=
Y
/WX. .TT
= 30.48 1
_
.
2
⃗_ = ⃗O + P
⃗
⃗_ = 30.48 ;<"48.99) + " 48.99+ − 32 ∗ 3 +
⃗_ = 20) + 23+ − 96+
⃗_ = 20) − 73+
_
.
_ = √20 + 73 = 75.69
_
.

33. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
=
= + 0.5 60;<"60 ----(1) ; (OBJETO A)
= 60;<"† − − − − 2 (objeto B)
También:
= 60 + 0.5 " 60 −
0
P + 0.5
Y: y= 60 " † −
0
P
60 + 0.5 " 60 −
0
P + 0.5 = 60 " † −
0
P

34. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
51.96t + 25.98 − 4.9t − 4.9 − 1.225 = 60 " † −
0
P
51.96t + 24.76 − 4.9t − 4.9 = 60 " † − 4.9
51.96t + 24.76 − 4.9 = 60 " †
47.06 + 24.76 = 60 " †
" † =
^. Y z .^Y
Y
Usando: " † + ;<" † = 1
Se tiene:
+ 0.5 60;<"60 = 60;<"†
+ 0.5 ;<"60 = ;<"†
;<"† =
.S z . S
Usando: " † + ;<" † = 1
1
^. Y z .^Y
Y
2 + 1
.S z . S
2 = 1
0 .Y z // . 0 zY0/. Y
/Y
+
. S z . S z . Y S
= 1
Resolviendo con wólfram Alpha:

35. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
Se toma t = 6.905 (s)
= + 0.5 60;<"60
= 6.905 + 0.5 60 ∗ ;<"60
= 222.15 m
De: = 60;<"†
;<"† =
.0S
Y.T S∗Y
= 0.536
† = 57.57o
y= 60 " † −
0
P
y= 60 6.905 " 57.57 −
0
∗ 9.8 6.905
y= 116.06 (m)
n
= 222.15
= 116.06

36. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
De: = 4 † −
5G WX. ‡
P
8 − 4 = 4 30 −
WX. /
∗ 32
4 = 0.577 − 0.0133
− 43.3 + 300 = 0
=
/./±√ /./ b ∗/
=
/./± S.T
n 0 = 34.64 v
= 8.66 v
X = 40tcos† : 20 = 40 ;<"† -----------(1)
Y= 40 " † −
0
P
(8-4) = 40t" † −
0
P − − − − − 2
=
0
WX.‡
------ en (2)
4 = 40 ∗
0
WX.‡
∗ " † −
0
P
0
WX.‡

37. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 = 20 ∗ 4 † −
0
∗ 32
0
WX.‡
4 = 20 ∗ 4 † − 4 " ; †
4 = 20 ∗ 4 † − 4 1 + 4 †
1 = 5 ∗ 4 † − 1 + 4 †
4 † − 5 4 † + 2 = 0
4 † =
S±√S b ∗
=
S± .0
n
4 †0 = 4.56
4 † = 0.44
n
†0 = 77.63X
† = 23.77
X = 30tcos† : 30 = 30 ;<"† -----------(1)
Y= 30 " † −
0
P
-1.2 = 30t" † −
0
P − − − − − 2
=
0
WX.‡
------ en (2)
−1.2 = 30 ∗
0
WX.‡
∗ " † −
0
P
0
WX.‡
−1.2 = 30 ∗ 4 † − 4.9
0
WX.‡

38. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
−1.2 = 30 4 † − 4 .9" ; †
−1.2 = 30 ∗ 4 † − 4.9 1 + 4 †
4 † − 6.12 4 † + 0.76 = 0
4 † =
Y.0 ±√Y.0 b ∗ .^Y
=
Y.0 ±S. ^
n
4 †0 = 5.995
4 † = 0.125
n
†0 = 80.53X
† = 7.13
X = VAcos† ∗ ; O =
S
.SWX.‡
h= vAsen† −
0
P
−1.2 = O " † −
0
9.8 2.5
−1.2 = 2.5 O" † − 30.625
Se tiene: −1.2 = 2.5
S
.SWX.‡
" † − 30.625
−1.2 = 50 4 † − 30.625
4 † = 0.5885
† = 30.48X
De: O =
S
.SWX.‡

39. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
O =
S
.SWX./ .
= 23.2
-
.
= ;<"30 ∗ ; 350 = 110 ;<"30
= 3.674 "
h -ho= vsen30*t – (1/2) gt2
; g= 32.2 ft/s2
ℎ = 30 + 110 ∗ 3.674 ∗ " 30 −
0
32.2 ∗ 3.674
ℎ = 14.75 v

40. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 40 ;<"60
15= 40tcos60 ; t= 0.75 (s)
El tiempo subida es: . =
.QRY
/ .
= 1.076 "
5 = 2 . = 2.15 "
Por tanto: wV = 2.15 − 0.75 = 1.4 "
ˆOV = O 5 = 40;<"60 ∗ 2.15
ˆOV = 43 (ft)
= ˆOV − 15 = 28 v
De: d= vBt
28= vB*1.4
VB = 20 (ft/s)
n
= Xt0;<"†0
= Xt ;<"†
l
= 4 †0 −
5 ‰WX. ‡3
P
= 4 † −
5 ‰WX. ‡
P

41. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
∆ = 0 −
∆ =
5•WX.‡3
−
5•WX.‡
=
5•
0
WX.‡3
−
0
WX.‡
∆ =
5•
WX.‡ bWX.‡3
WX.‡3WX.‡
De:
4 †0 −
5 ‰WX. ‡3
P = 4 † −
5 ‰WX. ‡
P
4 †0 −
5 ‰WX. ‡3
P = 4 † −
5 ‰WX. ‡
P
4 †0 − 4 † =
5 ‰WX. ‡3
P −
5 ‰WX. ‡
P
5 ‰
P `
0
WX. ‡3
−
0
WX. ‡
a = 4 †0 − 4 †
5 ‰
P `
WX. ‡ bWX. ‡3
WX. ‡3WX. ‡
a = 4 †0 − 4 †
=
5 ‰
H
WX. ‡3WX. ‡ ? ŠR‡3b ŠR‡ @
WX. ‡ bWX. ‡3
De: ∆ =
5•
WX.‡ bWX.‡3
WX.‡3WX.‡
∆ =
5 ‰ WX. ‡3WX. ‡ ? ŠR‡3b ŠR‡ @
5•H WX. ‡ bWX. ‡3
WX.‡ bWX.‡3
WX.‡3WX.‡
∆ =
5‰?WX.‡3WX.‡ ŠR‡3b ŠR‡ @
H WX.‡ zWX.‡3
∆ =
5‰?WX.‡3WX.‡
‹Œ•Ž3
••‹Ž3
b
‹Œ•Ž
••‹Ž
@
H WX.‡ zWX.‡3
∆ =
5‰?WX.‡3WX.‡
‹Œ•Ž3••‹Ž •‹Œ•Ž ••‹Ž3
••‹Ž3••‹Ž
H WX.‡ zWX.‡3
∆ =
5•
H
∗
.QR‡3WX.‡ b.QR‡ WX.‡3
WX.‡ zWX.‡3
Como: " 4 − K = " 4;<"K − " K;<"4
∆ =
5•
H
∗
.QR ‡3b‡
WX.‡ zWX.‡3

42. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
Se tiene que: 4 Z =
0
S
Z = 11.31o
; senZ = ; cosZ =
X= 40;<"30 ∗ ; =
/ .Y
"
Además: = 4 30 −
∗ WX. /
P
" 11.31 = ;<"11.31 ∗ 4 30 −
WX. 00./0
∗ WX. /
∗ 9.8
" 11.31 = ;<"11.31 ∗ 4 30 − 0.004
0.004 d=0.37
= 94.23

43. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
De: = 4 45 −
∗5G WX. S
P
20 = 160 4 45 −
0Y
5G WX. S
∗ 32.2
20 = 160 −
/
5 G
O = 76.73 1
_
.
2
Se sabe que: . =
5G.QR S
H
. =
^Y.^/.QR S
/ .
= 1.685 (s)
‘ = 2 . = 3.37 (s)
R=alcance= O;<"45 ∗ 5
s = R − 160
s = 76.73cos45 ∗ 3.37 − 160
s = 22.85 ft

44. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
De: h = X O −
0
P = −
0
P
−1.5 = −
0
P − −→ 1.5 = 4.9
= 0.553 (s)
X= vAt
= o2ℎP
= √2 ∗ 2 ∗ 9.8 ∗ 0.553
= 3.46

45. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= O;<"30 ∗
= 4 30 −
∗5G WX. /
P
10-1.8= 20 4 30 −
5G WX. /
∗ 9.8
Y0/.//
5G
= 3.347
O = 27.94
-
.
=

46. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
" 10 = ; = " 10
;<"10 = ; = ;<"10
De la ecuación de la trayectoria:
= 4 † −
∗5G WX. ‡
P
" 10 = ;<"10 ∗ 4 45 −
WX. 0
∗ WX. S
∗ 32.2
" 10 = ;<"10 ∗ 4 45 −
WX. 0
∗ WX. S
∗ 32.2
0.811= 0.005d
= 166.2 v
Se tiene: = X = 80;<"60 ∗
25= 80cos60*t

47. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
t = 0.625 s
H= voy t – ½ gt2
H= v•sen60 ∗ t −
0
gt
H = 80sen60 ∗ 0625 −
0
32.2 0.625
H = 37.012 (ft)
H > 15 --- pasa el arco
h = H − 15 = 37.012 − 15 = 22.012 ft
Vox = 80cos60 = 40 ft/s
55 + = 40
= 40 − 55
= X −
0
P
tan45= y/x
4 45 = 80" 60 ∗ −
/ .
= 69.282 − 16.1
40 − 55 = 69.282 − 16.1
16.1 − 29.282 − 55 = 0
Resolviendo:

48. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
= 2.97 "
Se tiene: = 40 − 55
= 63.8 v
Y= x tan45= x = 63.8 (ft)
B(118.8 , 63.8) ft
Se sabe que la altura máxima es:

49. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
H=
5 G.QR ‡
H
8 − 1 =
0S
∗T.
" †
" † = 0.78 ; † = 51.34o
El tiempo en subir al punto máximo es:
. =
0S.QRS0./
T.
= 1.195 "
X= 15cos 51.35*ts
+ 4 = 15;<"51.34 ∗ 1.195
= 7.2
De: H=
5 G.QR ‡
H
8 − 1 =
5 G
∗T.
" 40
7 = 0.021 O

50. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
O = 18.22 1
-
.
2
De: + 4 = O .
. =
5G.QR
H
=
0 . .QR
T.
= 1.195 ™
+ 4 = 18.22;<"40 ∗ 1.195
d = 12.68 m
De la ecuación de la trayectoria:
= 4 † −
∗5G WX. ‡
P
−20 = 35 4 † −
/S
WX. ‡
∗ 32.2
−20 = 35 4 † − 3.082" ; †
−20 = 35 4 † − 3.082 4 †+1)
3.082 4 † − 35 4 † − 16.92 = 0
4 † − 11.36 4 † − 5.49 = 0
4 † =
00./Y±√00./Y z ∗S. T

51. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
4 † =
00./Y±0 .
n
4 †0 = 11.82
4 † = −0.46
n
†0 = 85.16X
† = −24.7X
Vox = 2cos30 = 1.732 m/s
Voy = - 2sen30 = - 1 m/s
El tiempo en caer los 3 m es:
-3= - 1*t-4.9t2
+ 0.204 − 0.612 = 0
Resolviendo:
t = 0.687 s

52. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
La distancia máxima:
R = vocos30*t
R= 1.732*0.687
R = 1.19 (m)
La mínima es:
Rmin =R-1
Rmi = 1.19-1 = 0.19 (m)
De la ecuación de la trayectoria:
= 4 † −
∗5G WX. ‡
P
− 7.5 − 3 = 21 4 0 −
0
5G WX.
∗ 32.2
- 4.5 = −
^0 .0
5G
O = 39.72 1
_
.
2
El tiempo en caer al suelo es:
ℎ = −
0
P ∗ ′
−7.5 = −
0
∗ 32.2 ′
t’= 0.683 (S)

53. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
21 + " = 39.72 ∗ 0.638
" = 6.1 v
4 Z =
/
− −→ Z = 36.87X
" 36.87 =
0
; ;<"36.87 =
0
Se tiene:
− + 4 = 4 † −
∗5G WX. ‡
P
− 100" 36.87 + 4 = 100;<"36.87 4 25 −
0 WX./Y. ^
5G WX. S
∗ 9.8
−64 = 37.305 −
/ 0^T
5G
/ 0^T
5G
= 101.305

54. EJERCICIOS DE LA FISICA PARA INGENIEROS: RUSSELL HIBBELER VOL. 12
CINEMATICA: MOVIMIENTO CURVILINEO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Msc. Widmar Aguilar
DICIEMBRE 2023
O = 19.41
-
.
Además: " 36.87 =
0
; = 60
;<"36.87 =
0
; = 80
X= vA cos25*tAB
Ow =
5GWX. S
=
0T. 0WX. S
= 4.55 "