2. CALCULAR:Ѳ (agudo) si: Tg³ X Tg³ y Tg³z Tg³ Ѳ = 1 Además : Sen (x + y) = Tg (z + y) Sec (x +2y) = Csc (y + 2x) Sec 3 (x +y - z) = Ctg (x – z +23º)

3. RESOLUCION: Del 3er. dato: (x +2y) + (y + 2x) = 90° x +y = 30 ° ……(1) En el 2do dato: Sen 30 ° = Tg (y + z) Tg (y + z) = ½ y + z = 26,5 ° ……(2) – (2): (x + y) - (y + z) = 30 ° - 26,5 ° x – z = 3,5 ° ……(3)

4. PROBLEMA 2

5. En un triangulo rectángulo: ABC (^B = 90° ) Sobre los catetos AB y BC se ubican : P y Q respectivamente; si desde dichos puntos se trazan perpendiculares a la hipotenusa, PM = a y QN = b Hallar PQ en función de a,b y “ Ѳ” Además: m ACB = Ѳ, m BPQ = Ѳ (a‹ b)

8. PROBLEMA 3

9. Si: Sen (a ∏/3) Sec (∏/2 – b ∏/3) = √3 Tg ∏/6 Ademas: a = Csc Ѳ . Csc α b = Sec Ѳ . Sec α Calcular. H = √2 Sec (Ѳ + α/2)

10. RESOLUCION: En la 1ra, condicion por la propiedad del complemento se cumple que: Sec (∏/2 – b ∏/3) = Csc (b ∏/3) Reemplazando en el 1er dato: Sen ()a ∏/3) . Csc (b ∏/3) = 1 Y por propiedad de las R. T. reciprocas: A ∏/3 = b ∏/3 a = b ……….(1) Reemplazando la 2da y 3ra condicion en (1) Csc Ѳ . Csc α = Sec Ѳ . Sec α

11. Csc α/Sec α = SecѲ/Cscѳ Cos α/Sen α = SenѲ/CosѲ Ctg α = TgѲ (propiedad R. t. complementarias) Α + Ѳ = 90⁰ Luego en H: H= √2 Sec (90°/2) = √2 Sec45° H= 2

12. Y (2) en el 4to dato: Sec 3 (30 - z°) = Ctg (3,5° + 23 ° ) Sec (90 ° - 3z ) = Ctg 26,5 ° = 2 Csc 3z = 2 30 ° z = 10 ° Pero, de (1) : y = 30 ° - z En el 1er dato del problema Tg 3x tg(90 ° - 3x) tg 30 ° tg 3 Ѳ = 1 Ctg 3 x 1 Tg 3 Ѳ = √3 3 Ѳ = 60 ° Ѳ = 20 ° 3/3 Tg 3Ѳ = 1

13. PROBLEMA 4

14. En un triangulo rectángulo ABC (recto en B) desde “B”se traza una ceviana BD (D en AC) y desde “C” se Levanta una perpendicular CH a dicha ceviana. Calcular HD si: AB = m, CH = n Ademas: m BAC = m, DCH RESOLUCION Interpretado el enunciado: B m H X n α α A D C

15. De la figura, sea: m BAD = m HCD = α En r HDC: x = n TG α ……(1) HD En r ABC : bc= m Tg α Observación: m BDC = m BCD = 90° - α Luego: BDC: isoceles BD = BC = m Tg α Entonces: BH = BD – HD BH = mn TG α En r BHC: por pitagoras

16. BC² = BH² + HC² m² Tg² α = (m - n) ² Tg² α + n² De donde: Tg²α = √n/2m – n …….(2) (2) En (1): x = n √n/2m-n

17. PROBLEMA 5

18. Desde la parte mas alta de un acantilado de H m de la altura, se observa un globo con un ángulo de elevación, igual a “Ѳ” ; desde un punto ubicado en la superficie del acantilado , se observa el globo con un ángulo de elevación igual a “α” y la parte mas alta del acantilado con un ángulo de elevación igual a 26° 30َ. Calcule Tgα (Ctg Ѳ - 1) . Si además el globo se encuentra a una altura igual a 3 H m RESOLUCION: E 3H A Ѳ Q H α α 53°/2 D B C

19. r r ABC : notable(53 /2 ) Si : AB =H BC = 2H r r CED : CD = 3H Ctgα Cuadrilátero AQDB: AB=QD = H EQ = 2 H r AEQ : AQ= EQ CtgѲ AQ = 2H Ctg Ѳ Pero: AQ = BD AH Ctg Ѳ = 2H+3H Ctgα 2Ctg Ѳ = 2+3 Ctgα 2(Ctg Ѳ - 1) =3Ctgα Tgα(CtgѲ - 1) =3/2 r

20. Problema 6

21. Desde un punto P ubicado en el mismo plano horizontal de las bases de los faros A y B ubicados al SO y SE, respectivamente, se les observa con elevaciones angulares de 53° y 37 ° . Si los faros están distanciados 6√5 menos y desde parte alta del faro B se observa con depresión la cúspide del otro faro, hallar la altura de cada uno Dato: TgѲ= √5/30 RESOLUCION: N N M Ѳ H O E 4a 3b 37 ° 53° 3a 4b A 6√5 B SO S SE

22. Del dato : Tg Ѳ = √5 /30 = NH/MH 5/30 = NH/ 6√5 ->NH=1 Pero: BH:4ª->3b =4ª +1 …(*) Además: (3a)² + (4b)² = (6√5 )² 9a² + 16b² = 180 Multiplicado por 9: 81 a² + 16b(3 b)² =1620 Reemplazando (*): 81a² + 16 ( 4a + 1)² = 1620 81a² + 256a² +128a + 16 =1620 336a² + 128a - 1620 = 0

23. Aspa simple: 337a 802 a -2 ->a – 2 = 8 ->a = 2 Luego: Faro A: 4ª = 8 FaroB:4ª + 1 =9 Alturas : 8 y 9