Presentación

1. Definición de
Conjuntos.
Operaciones
con conjuntos.
Números
Reales
Desigualdades.
Definición de
Valor
Absoluto
Desigualdades
con
Participante:
Franco Torin
ci: 28466818
sección: IN0201
LAPSO: 20-21

2. ¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u
objetos, tales como números, canciones, meses, personas y otros. Por ejemplo: el
conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar.
«La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que
estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina
por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al
conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos
y lo utilizó para explicar las matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y
naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los
conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia
de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que
siempre se puede encontrar un infinito mayor».

3. Las operaciones con conjuntos
también conocidas como álgebra
de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro
conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes
unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y
complemento.

5. Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene
todos los elementos de A y de B.
 Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.

6.  Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
 Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el
conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
 Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto
A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

8. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto
en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos
infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
El conjunto formado por todos los
números racionales e irracionales se
llama conjunto de los números reales y
se representa por R.

10. Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes
propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad,
adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad
también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y
>) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c.
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

11. Multiplicación y división.
Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o
negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo:
Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.

12. Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados,
la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función
monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
Ejemplo : a< b = ea < eb
Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de
desigualdades:
|a|< b = -b < a < b
|a|> b = - b > a V a > b

13. Cuerpo ordenado
Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +,
×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:
a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.
Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de
cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para
hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.
Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales
son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades
estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden
estricto.

14. Una desigualdad de valor
absoluto.
Es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable
dentro.

15. Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número es igual a la
distancia del número al origen en un eje real,
esto es siempre un valor positivo, por ejemplo:
|−5|=5, |3|=3, |0|=0, |−8|=8, etc.
En general:
|a|={a si a≥0 ; {-a si a<0
Donde a puede ser una constante o una
expresión algebraica.

16. O también:
|a|=a2−−√
En el ejemplo: |−5|=(−5)2−−−−−√=25−−√=5
|2x−1|=(2x−1)2−−−−−−−√ Que dependerá del
valor de x
(no se cancela el cuadrado con el radical).
Solución de Ecuaciones
I. Si |a|=b con b≥0.
Entonces: a=b o a=−b
Gráficamente:

17. Solución de Desigualdades
II. Si |a|<b con b>0
Entonces −b<a<b (a<b y a>−b)
Gráficamente:
III. Si |a|>b con b>0
a>b o a<−b
Entonces −b<a<b−b<a (a<ba<b y a>−ba>−b)
Gráficamente:

18. Bibliografía:
https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual..
http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/val
or_absoluto_de_un_nmero_entero.html.
https://www.montereyinstitute.org/courses/Developmenta
lMath/TEXTGROUP-9-
14_RESOURCE/U10_L3_T2_text_final_es.html