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ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINAMICA

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ADRIANA NIETO
ADRIANA NIETO

1) Se busca asignar 6,000 euros entre 3 proyectos de inversión para maximizar las ganancias. Cada proyecto tiene diferentes retornos dependiendo de la cantidad invertida. 2) Se usa programación dinámica con matrices para resolver el problema iterativamente asignando fondos de forma óptima a cada proyecto. 3) Se describe el modelo de programación dinámica incluyendo etapas, estados, variables de decisión y función de recursividad para calcular la asignación óptima.

Educación
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ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINÁMICA EMPLEANDO EL MÉTODO DE MATRICES COMPUTACIONALES M.C ADRIANA NIETO CASTELLANOS INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN OCTUBRE 2011
ASIGNACIÓN DE RECURSOS Una financiera tiene 6,000 euros para invertir entre tres posibles alternativas de inversión. Esta puede invertir el dinero en partes, todo o nada de los 6,000 euros en cada proyecto de inversión. Se tiene como limitante el invertir solo en unidades de mil euros, la ganancia esperada de una inversión depende de la cantidad de dinero asignada a esta. Esta información está dada en la Tabla 1. Al inversionista le gustaría asignar su dinero de tal forma que maximice su ingreso total. Tabla 1 PROYECTOS Cantidad invertida € A B C 0 0 0 0 1,000€ 9 10 9 2,000€ 16 13 13 3,000€ 23 16 17 4,000€ 30 19 21 5,000€ 37 22 25 6,000€ 44 25 29 *Retornos en miles de euros = r(Xn) Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida. Tabla 1 Retornos* esperados por invertir diversas cantidades compitiendo en proyectos de capital
1) ETAPAS DE LA EVOLUCIÓN DEL SISTEMA Tenemos un problema de tipo determinístico, no homogéneo, con horizonte finito es decir el número de etapas está limitado a las tres alternativas de inversión así podemos definir las etapas: ETAPA PROYECTOS n=3 A n=2 B n=1 C
2) ESTADOS DEL SISTEMA El elemento determinante para saber qué cantidad podemos invertir en un proyecto, es la cantidad de dinero disponible. Esta variable será, entonces, una buena candidata a variable de estado del sistema. De manera que tenemos los estados siguientes: Estado Cantidad disponible a invertir e=0 No se invierte 0€ e=1 Se invierten: 1000€ e=2 Se invierten: 2000€ e=3 Se invierten: 3000€ e=4 Se invierten: 4000€ e=5 Se invierten: 5000€ e=6 Se invierten: 6000€
3) Variables de decisión y políticas La decisión a tomar en cada etapa es claramente qué cantidad de dinero podemos invertir a cada proyecto. Así la variable de decisión se definirá para cada etapa n como: Xn= cantidad de dinero a invertir en el proyecto propio de la etapa n Valor variable de estado e Valores posibles de la variable de decisión Xn e=0 x0= 0 e=1 x1= 0, 1000 e=2 x2= 0, 1000, 2000 e=3 x3= 0, 1000, 2000, 3000 e=4 x4= 0, 1000, 2000, 3000, 4000 e=5 x5= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 e=6 x6= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000 PASAR LOS DATOS A UNA TABLA DE DOS ENTRADAS
Etapa 3 proyecto A Elaborar una TABLA que contenga los estados del sistema e3 y se colocan como entrada e3 0 NF NF NF NF NF NF 1000 NF NF NF NF NF 2000 NF NF NF NF 3000 NF NF NF 4000 NF NF 5000 NF 6000 ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
Los posibles valores de las variables de decisión X3 y se colocan como otra entrada de la tabla X3 e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 NF NF NF NF NF NF 1000 NF NF NF NF NF 2000 NF NF NF NF 3000 NF NF NF 4000 NF NF 5000 NF 6000 ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
4) FUNCIÓN DE RECURRENCIA Si tenemos disponible en cantidad de dinero y decidimos invertirlo al proyecto Xn, en-xn cantidad de dinero disponible para la etapa siguiente quedará. La función de recurrencia será: fn(en, xn) = rn(xn) + f*n+1(en - xn) fn Representa el rendimiento obtenido por la inversión de dinero al un proyecto desde la etapa n hasta la última etapa. La función óptima será el máximo para cada estado
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= r3(x3) Retorno actual en miles de euros para el proyecto C PROYECTO Cantidad A invertida € 0 0 1) Registrar r3(x3) en la 1,000€ 9 tabla de dos entradas 2,000€ 16 3,000€ 23 por columna 4,000€ 30 5,000€ 37 6,000€ 44 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 0 0 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) NF NF 5000 (0+ ) NF 6000 (0+ )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 1000 9 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 2000 16 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16+ )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 3000 23 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 4000 30 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 5000 37 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + )
Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 6000 44 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) (44 + )
Al termino de la etapa 3, f3(e3, x3) = r3(x3) + f(3+1)*(e3 – x3) f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3) alcanza el estado final, f4*(X3)= 0 (cero cantidad de dinero a invertir). 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f4*= 0 Y EVALUAR LA FUNCIÓN f3(e3) X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ 0) (9 + 0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) NF NF NF NF 3000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) NF NF NF 4000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) NF NF 5000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) NF 6000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 44 6000 0 9 16 23 30 37 44
Etapa 3 proyecto A Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3) X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 9 (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 16 (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 23 (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 30 (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 37 (44 +0 ) 6000 44 6000 44
Etapa 3 proyecto A Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3) X3 Óptima f3(e3) = r3(x3) + 0 e3 f3*(e3) x3* 0 (0+0)= 0 0 0 1000 (9 + 0)= 9 9 1000 2000 (16+ 0)= 16 16 2000 3000 (23 + 0)= 23 23 3000 4000 (30 + 0)=30 30 4000 5000 (37 + 0)=37 37 5000 6000 (44 + 0)=44 44 6000
En la etapa 3, El proyecto A, es el último proyecto en el que será invertido el dinero. Podemos entrar a esta etapa con una cantidad de dinero desde 0€ a 6000€. Esto se observa por los siete renglones representando los siete posibles estados de entrada. En teoría, podemos invertir cualquier cantidad de dinero menor o igual que la cantidad que tenemos disponible en esta etapa. En realidad, se desea invertir todo el dinero disponible en esta etapa, porque ésta es nuestra última oportunidad de inversión. Puesto que NO es posible invertir más dinero que el disponible, habrá un número de celdas no factibles en la matriz que se marcan con NF.(NO FACTIBLE)
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= r2(x2) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B PROYECTO Cantidad B invertida € 0 0 1) Registrar r2(x2) en la 1,000€ 10 tabla de dos entradas 2,000€ 13 por columna 3,000€ 16 4,000€ 19 5,000€ 22 6,000€ 25 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 0 0 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) NF NF 5000 (0+ ) NF 6000 (0+ )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 1000 10 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 2000 13 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 3000 16 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 4000 19 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 5000 22 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + )
Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 6000 25 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 + )
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + 0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + 0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +9) (19 +0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 10 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 10 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 30 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF 40 1000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2* (e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF 40 1000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 Óptima e2 f2* (e2) x2* 0 0* 0 1000 9* 1000 2000 19* 1000 3000 26* 1000 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto C f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= r1(x1) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B PROYECTO Cantidad C invertida € 0 0 1,000€ 9 1) Registrar r1(x1) en la 2,000€ 13 tabla de dos entradas por columna 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 0 0 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) 0 0 X2 Óptima e2 f2* (e2) x2* 1,000€ 9 0 0* 0 2,000€ 13 1000 9* 1000 3,000€ 17 2000 19* 1000 4,000€ 21 3000 26* 1000 5,000€ 25 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6,000€ 29 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 1000 9 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 2000 13 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 3000 17 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 4000 21 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 5000 25 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 6000 29 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47 ) 6000 (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) 6000 (9+ 40) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) 6000 (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 49 48 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) 6000 (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 49 48 45 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) 6000 (25+ ) (29+ ) 47 49 48 45 40 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) 6000 (29+ ) 47 49 48 45 40 34 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0) 6000 47 49* 48 45 40 34 29 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1* (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0) 6000 49 1000 47 49* 48 45 40 34 29 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1); f1(e1) = 9 + f2*(6000 –1000)= 9 + f2*(5000)= _____
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(6000–1000)=5000 Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1* 6000 47 49* 48 45 40 34 29 49* 1000 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(5000 –1000)=4000 Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 5000 37 40* 26 32 28 22 NF 40* 1000 6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000 X3 Óptima f3(e3) = r3(x3) + 0 TABLA DE LA SOLUCIÓN RECURSIVA e3 f3*(e3) x3* 0 (0+0)= 0 0 0 1000 (9 + 0)= 9 9 1000 Etapa Inversión retorno 2000 (16+ 0)= 16 16 2000 A 4000 30 3000 (23 + 0)= 23 23 3000 B 1000 10 4000 (30 + 0)=30 30* 4000 C 1000 9 5000 (37 + 0)=37 37 5000 TOTAL 6000 49* 6000 (44 + 0)=44 44 6000

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  • 1. ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINÁMICA EMPLEANDO EL MÉTODO DE MATRICES COMPUTACIONALES M.C ADRIANA NIETO CASTELLANOS INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN OCTUBRE 2011
  • 2. ASIGNACIÓN DE RECURSOS Una financiera tiene 6,000 euros para invertir entre tres posibles alternativas de inversión. Esta puede invertir el dinero en partes, todo o nada de los 6,000 euros en cada proyecto de inversión. Se tiene como limitante el invertir solo en unidades de mil euros, la ganancia esperada de una inversión depende de la cantidad de dinero asignada a esta. Esta información está dada en la Tabla 1. Al inversionista le gustaría asignar su dinero de tal forma que maximice su ingreso total. Tabla 1 PROYECTOS Cantidad invertida € A B C 0 0 0 0 1,000€ 9 10 9 2,000€ 16 13 13 3,000€ 23 16 17 4,000€ 30 19 21 5,000€ 37 22 25 6,000€ 44 25 29 *Retornos en miles de euros = r(Xn) Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida. Tabla 1 Retornos* esperados por invertir diversas cantidades compitiendo en proyectos de capital
  • 3. 1) ETAPAS DE LA EVOLUCIÓN DEL SISTEMA Tenemos un problema de tipo determinístico, no homogéneo, con horizonte finito es decir el número de etapas está limitado a las tres alternativas de inversión así podemos definir las etapas: ETAPA PROYECTOS n=3 A n=2 B n=1 C
  • 4. 2) ESTADOS DEL SISTEMA El elemento determinante para saber qué cantidad podemos invertir en un proyecto, es la cantidad de dinero disponible. Esta variable será, entonces, una buena candidata a variable de estado del sistema. De manera que tenemos los estados siguientes: Estado Cantidad disponible a invertir e=0 No se invierte 0€ e=1 Se invierten: 1000€ e=2 Se invierten: 2000€ e=3 Se invierten: 3000€ e=4 Se invierten: 4000€ e=5 Se invierten: 5000€ e=6 Se invierten: 6000€
  • 5. 3) Variables de decisión y políticas La decisión a tomar en cada etapa es claramente qué cantidad de dinero podemos invertir a cada proyecto. Así la variable de decisión se definirá para cada etapa n como: Xn= cantidad de dinero a invertir en el proyecto propio de la etapa n Valor variable de estado e Valores posibles de la variable de decisión Xn e=0 x0= 0 e=1 x1= 0, 1000 e=2 x2= 0, 1000, 2000 e=3 x3= 0, 1000, 2000, 3000 e=4 x4= 0, 1000, 2000, 3000, 4000 e=5 x5= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 e=6 x6= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000 PASAR LOS DATOS A UNA TABLA DE DOS ENTRADAS
  • 6. Etapa 3 proyecto A Elaborar una TABLA que contenga los estados del sistema e3 y se colocan como entrada e3 0 NF NF NF NF NF NF 1000 NF NF NF NF NF 2000 NF NF NF NF 3000 NF NF NF 4000 NF NF 5000 NF 6000 ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
  • 7. Los posibles valores de las variables de decisión X3 y se colocan como otra entrada de la tabla X3 e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 NF NF NF NF NF NF 1000 NF NF NF NF NF 2000 NF NF NF NF 3000 NF NF NF 4000 NF NF 5000 NF 6000 ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
  • 8. 4) FUNCIÓN DE RECURRENCIA Si tenemos disponible en cantidad de dinero y decidimos invertirlo al proyecto Xn, en-xn cantidad de dinero disponible para la etapa siguiente quedará. La función de recurrencia será: fn(en, xn) = rn(xn) + f*n+1(en - xn) fn Representa el rendimiento obtenido por la inversión de dinero al un proyecto desde la etapa n hasta la última etapa. La función óptima será el máximo para cada estado
  • 9. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= r3(x3) Retorno actual en miles de euros para el proyecto C PROYECTO Cantidad A invertida € 0 0 1) Registrar r3(x3) en la 1,000€ 9 tabla de dos entradas 2,000€ 16 3,000€ 23 por columna 4,000€ 30 5,000€ 37 6,000€ 44 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
  • 10. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 0 0 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) NF NF 5000 (0+ ) NF 6000 (0+ )
  • 11. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 1000 9 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + )
  • 12. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 2000 16 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16+ )
  • 13. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 3000 23 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + )
  • 14. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 4000 30 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + )
  • 15. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 5000 37 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + )
  • 16. Etapa 3 proyecto A f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C Cantidad invertida € C r3(x3) 6000 44 X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF 5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF 6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) (44 + )
  • 17. Al termino de la etapa 3, f3(e3, x3) = r3(x3) + f(3+1)*(e3 – x3) f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3) alcanza el estado final, f4*(X3)= 0 (cero cantidad de dinero a invertir). 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f4*= 0 Y EVALUAR LA FUNCIÓN f3(e3) X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ 0) (9 + 0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) NF NF NF NF 3000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) NF NF NF 4000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) NF NF 5000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) NF 6000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
  • 18. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 19. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 20. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 21. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 22. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 23. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 24. Etapa 3 proyecto A 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (0+ 0) (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 0 9 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 0 9 16 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 0 9 16 23 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 0 9 16 23 30 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 0 9 16 23 30 37 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 ) 6000 44 6000 0 9 16 23 30 37 44
  • 25. Etapa 3 proyecto A Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3) X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3* (0+ 0) 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 0 (9 + 0) 1000 NF NF NF NF NF 9 1000 9 (16+ 0) 2000 NF NF NF NF 16 2000 16 (23 + 0) 3000 NF NF NF 23 3000 23 (30 +0) 4000 NF NF 30 4000 30 (37 +0 ) 5000 NF 37 5000 37 (44 +0 ) 6000 44 6000 44
  • 26. Etapa 3 proyecto A Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3) X3 Óptima f3(e3) = r3(x3) + 0 e3 f3*(e3) x3* 0 (0+0)= 0 0 0 1000 (9 + 0)= 9 9 1000 2000 (16+ 0)= 16 16 2000 3000 (23 + 0)= 23 23 3000 4000 (30 + 0)=30 30 4000 5000 (37 + 0)=37 37 5000 6000 (44 + 0)=44 44 6000
  • 27. En la etapa 3, El proyecto A, es el último proyecto en el que será invertido el dinero. Podemos entrar a esta etapa con una cantidad de dinero desde 0€ a 6000€. Esto se observa por los siete renglones representando los siete posibles estados de entrada. En teoría, podemos invertir cualquier cantidad de dinero menor o igual que la cantidad que tenemos disponible en esta etapa. En realidad, se desea invertir todo el dinero disponible en esta etapa, porque ésta es nuestra última oportunidad de inversión. Puesto que NO es posible invertir más dinero que el disponible, habrá un número de celdas no factibles en la matriz que se marcan con NF.(NO FACTIBLE)
  • 28. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= r2(x2) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B PROYECTO Cantidad B invertida € 0 0 1) Registrar r2(x2) en la 1,000€ 10 tabla de dos entradas 2,000€ 13 por columna 3,000€ 16 4,000€ 19 5,000€ 22 6,000€ 25 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
  • 29. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 0 0 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) NF NF 5000 (0+ ) NF 6000 (0+ )
  • 30. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 1000 10 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + )
  • 31. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 2000 13 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ )
  • 32. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 3000 16 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ )
  • 33. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 4000 19 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + )
  • 34. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 5000 22 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + )
  • 35. Etapa 2 proyecto B f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B Cantidad invertida € B r2(x2) 6000 25 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 + )
  • 36. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+ ) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 + ) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + 0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + 0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 +0)
  • 37. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+ ) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 + ) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +9) (19 +0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +9) (25 +0)
  • 38. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ ) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 + ) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
  • 39. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+ ) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 + ) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
  • 40. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+ ) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 + ) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
  • 41. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+ ) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
  • 42. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF 1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF 2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF 3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF 4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF 5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF 6000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
  • 43. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2) f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2) alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000) (30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2) X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 44. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 45. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 10 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 46. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 10 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 30 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 47. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 48. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 49. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF 40 1000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25
  • 50. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2* (e2) x2* (0+ 0) 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 (0+9) (10 +0) 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 (0+16) (10 +9) (13+0) 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) 5000 37 40 26 32 28 22 NF 40 1000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0) 6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000
  • 51. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X2 Óptima e2 f2* (e2) x2* 0 0* 0 1000 9* 1000 2000 19* 1000 3000 26* 1000 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 52. Etapa 1 proyecto C f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= r1(x1) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B PROYECTO Cantidad C invertida € 0 0 1,000€ 9 1) Registrar r1(x1) en la 2,000€ 13 tabla de dos entradas por columna 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29 Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
  • 53. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 0 0 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) 0 0 X2 Óptima e2 f2* (e2) x2* 1,000€ 9 0 0* 0 2,000€ 13 1000 9* 1000 3,000€ 17 2000 19* 1000 4,000€ 21 3000 26* 1000 5,000€ 25 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6,000€ 29 6000 47* 1000
  • 54. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 1000 9 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 55. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 2000 13 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 56. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 3000 17 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 57. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 4000 21 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 58. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 5000 25 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 59. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A Cantidad invertida € A r1(x1) 6000 29 X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 0 0 1,000€ 9 2,000€ 13 3,000€ 17 4,000€ 21 5,000€ 25 6,000€ 29
  • 60. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47 ) 6000 (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 61. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) 6000 (9+ 40) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 62. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) 6000 (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 49 48 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 63. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) 6000 (21+ ) (25+ ) (29+ ) 47 49 48 45 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 64. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) 6000 (25+ ) (29+ ) 47 49 48 45 40 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 65. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) 6000 (29+ ) 47 49 48 45 40 34 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 66. Etapa 1 proyecto A f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A 2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000) (33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1) X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 * (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0) 6000 47 49* 48 45 40 34 29 X2 Óptima Al termino de la etapa 1, e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1) 0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1) 1000 9* 1000 alcanza el estado final, 2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a 3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior 4000 33* 1000 5000 40* 1000 6000 47* 1000
  • 67. Etapa 2 proyecto B 3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA La función óptima será el máximo para cada estado X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1* (0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0) 6000 49 1000 47 49* 48 45 40 34 29 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1); f1(e1) = 9 + f2*(6000 –1000)= 9 + f2*(5000)= _____
  • 68. X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(6000–1000)=5000 Óptima e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1* 6000 47 49* 48 45 40 34 29 49* 1000 X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(5000 –1000)=4000 Óptima e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2* 0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0 1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000 2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000 3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000 4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000 5000 37 40* 26 32 28 22 NF 40* 1000 6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000 X3 Óptima f3(e3) = r3(x3) + 0 TABLA DE LA SOLUCIÓN RECURSIVA e3 f3*(e3) x3* 0 (0+0)= 0 0 0 1000 (9 + 0)= 9 9 1000 Etapa Inversión retorno 2000 (16+ 0)= 16 16 2000 A 4000 30 3000 (23 + 0)= 23 23 3000 B 1000 10 4000 (30 + 0)=30 30* 4000 C 1000 9 5000 (37 + 0)=37 37 5000 TOTAL 6000 49* 6000 (44 + 0)=44 44 6000