matemática

1. APLICACIÓN DE
LA DERIVADA
ALBELENA CARRASQUEL ALVAREZ
C.I. 29.907.573
MATEMATICA
SECCION “B”
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGIA
ANTONIO JOSE DE SUCRE
SAN CRISTOBAL – EDO. TACHIRA

2. INTRODUCCIÓN
Las derivadas son unas funciones matemáticas
que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios
de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al
cálculo infinitesimal, que se había empezado a
estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo
III A. C. Cada uno de estos dos autores crearon un
sistema de cálculo propio.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio,
la variación, condujo en el siglo XVII hasta la
noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas,
junto con las integrales, constituyen el cálculo
infinitesimal.

3. INDICE
Introducción 2
Índice 3
La Derivada 4
Aplicación de la Derivada 6
- Máximos y Mínimos 8
- Monotonía y Concavidad 11
- Extremos localizados y en intervalos
abiertos 15
Conclusión 18

4. 1.- LA DERIVADA
Es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de una función matemática,
según cambie el valor de su variable
independiente. También se define como una
noción de la matemática que nombra al valor
límite del vínculo entre el aumento del valor de
una función y el aumento de la variable
independiente.
La derivada de una función es un concepto
local, es decir, se calcula como el límite de la
rapidez de cambio media de la función en cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado para
la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por eso se habla del valor de la
derivada de una función en un punto dado.

5. Entonces el valor de la derivada de una
función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde
con la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en dicho punto. La
recta tangente es, a su vez, la gráfica de
la mejor aproximación lineal de la
función alrededor de dicho punto. La
noción de derivada puede generalizarse
para el caso de funciones de más de una
variable con la derivada parcial y la
diferencial.

6. 2.- APLICACIÓN DE LA DERIVADA
La derivada tiene una gran variedad
de aplicaciones además de darnos la pendiente
de la tangente a una curva en un punto. Se puede
usar la derivada para estudiar tasas de variación,
valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.
Así, las derivadas son esenciales para estudios
tan importantes como el de la relatividad, la
mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones
diferenciales, teoría de las probabilidades,
sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc.
Actualmente también son necesarios en la
computación, etc.

7. Dentro de las aplicaciones de las
derivadas quizás una de las más
importantes es la de conseguir los valores
máximos y mínimos de una función.
También la derivada es una herramienta
muy útil para graficar funcione.
En matemáticas la aplicación de las
derivadas se usa para determinar:
• Máximos y mínimos
• Monotonía y concavidad
• Extremos locales y extremos en
intervalos abiertos

8. 2.1.-Máximos y Mínimos
Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos
con el problema de encontrar la mejor manera
de hacer algo. Por ejemplo, un granjero
necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la
más apropiada para producir la mayor
ganancia. Un médico desea seleccionar la
menor dosis de una droga que curará cierta
enfermedad. A un fabricante le gustaría
minimizar el costo de distribución de sus
productos. Algunas veces, un problema de este
tipo puede formularse de modo que implique
maximizar o minimizar una función en un
conjunto específico.

9. Definición Suponga que S, el dominio
de f, contiene el punto c. Decimos que:
• f(c) es el valor máximo de f en S, si f(c)
> f(x) para toda x en S
• f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c)
< f(x) para toda x en S
• f(c) es el valor extremo de f en S, si es
un valor máximo o un valor mínimo
• La función que queremos maximizar o
minimizar es la función objetivo.
2.1.-Máximos y Mínimos

10. Teorema de existencia de máximo y
mínimo
Si f es continua en un intervalo
cerrado [a, b], entonces f alcanza un
valor máximo y un valor mínimo en ese
intervalo.
2.1.-Máximos y Mínimos

11. Sea f definida en un intervalo I
(abierto, cerrado o ninguno de los dos).
Decimos que:
• f es creciente en I si, para toda pareja
de números x1 y x2 en I, x1 < x2 f(x1 )
< f(x2 )
• f es decreciente en I si, para toda
pareja de números x1 y x2 en I, x1 6>x2
f(x1 ) > f(x2 )
• f es estrictamente monótona en I, si es
creciente en I o es decreciente en I.
2.2.-Monotonía y Concavidad

12. Recuerde que la primera derivada f(x)
nos da la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de f en el punto x. Por lo tanto,
si f(x) > 0 entonces la recta tangente
asciende hacia la derecha, lo cual sugiere
que f es creciente.
De manera análoga, si f(x) < 0, la recta
tangente desciende hacia la derecha, lo
cual sugiere que f es decreciente.
2.2.-Monotonía y Concavidad

13. Teorema de monotonía
Sea f´ continua en el intervalo I y
derivable en todo punto interior de I.
Si f´(x) > 0 para toda x interior a I,
entonces f es creciente en I.
Si f´(x) < 0 para toda x interior a I,
entonces f es decreciente en I.
2.2.-Monotonía y Concavidad

14. Teorema de Concavidad
Sea f dos veces (f´´) derivable en el
intervalo abierto I.
• Si f´´(x) > 0 para toda x en I, entonces f
es cóncava (hacia arriba) en I.
• Si f´´ < 0 para toda x en I, entonces f es
cóncava hacia abajo (convexa) en I.
2.2.-Monotonía y Concavidad

15. Sea S el dominio de f que contiene al punto
c. Decimos que:
• f(c) es un valor máximo local de f, si existe
un intervalo (a, b) que contiene a c, tal que
f(c) es el valor máximo de f en (a, b)^ S.
• f(c) es un valor mínimo local de f, si existe
un intervalo (a, b) que contiene a c, tal que
f(c) es el valor mínimo de f en (a, b)^ S.
• f(c) es un valor extremo local de f, si es un
valor máximo local o un valor mínimo local.
2.3.-Extremos locales y extremos en
intervalos abiertos

16. Prueba de la primera derivada
Sea f continua en un intervalo abierto (a,
b) que contiene un punto crítico c.
• Si f´(x) > 0 para toda x en (a, c) y f´(x) < 0
para toda x en (c, b), entonces f(c) es un
valor máximo local de f.
• Si f´(x) < 0 para toda x en (a, c) y f´(x) > 0
para toda x en (c, b), entonces f(c) es un
valor mínimo local de f.
• Si f´(x) tiene el mismo signo en ambos lados
de c, entonces f(c) no es un valor extremo
de f
2.3.-Extremos locales y extremos en
intervalos abiertos

17. Prueba de la segunda derivada
Supóngase que f´ y f´´ existen en todo
punto de un intervalo abierto (a, b) que
contiene a c y supóngase que f´´(c) = 0.
• Si f´´(c) < 0, f(c) es un valor máximo
local de f.
• Si f´´ (c) > 0, f(c) es un valor mínimo
local de f
2.3.-Extremos locales y extremos en
intervalos abiertos

18. CONCLUSIÓN
 La importancia de las derivadas
está en que, hoy día, no es posible
entender el mundo en que vivimos
sin la aplicación de estas en la
mayoría de los cálculos científicos y
en casi todo lo que nos rodea.
 Aunque no es un elemento tangible,
su valor radica en que, desde el
punto de vista científico, se aplica a
numerosas investigaciones
importantísimas y de las que sus
aplicaciones revierten en la propia
sociedad.

19. CONCLUSIÓN
 Así, las derivadas son esenciales
para estudios tan importantes como
el de la relatividad, la mecánica
cuántica, la ingeniería, ecuaciones
diferenciales, teoría de las
probabilidades, sistemas dinámicos,
teoría de las funciones, etc.
Actualmente también son
necesarios en la computación, etc.

20. CONCLUSIÓN
 Las derivadas aportan información
concreta, directa y científica a los
expertos y, con esos resultados,
interpretan y son capaces de ofrecer
información acerca de nuestra propia
existencia y también utilizarlas para
aplicarlas en cosas tan habituales como el
vuelo de un avión, el movimiento de un
coche, la construcción de un edificio, de
un contenedor o de muchos otros
elementos que para nosotros son normales
y que, sin embargo, sin su utilización no
serían posibles.