1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
APLICACIÓN DE
LAS DERIVADAS
Mariangel Barrios Mendoza
2. 1er Semestre
DiseñoGráfico
Índice
¿Qué es la aplicación derivada? 1
Importancia de las Derivadas 1
¿Quién fue el inventor de la derivada 2
Cómo se calcula la derivada 2
Puntos de Inflexión 2
Máximosy mínimos 3
Regla de l’Hôpital 4
Teoremas de las derivadas 4
“ “ 5
Conclusión 6
Bibliografía 7
3. Introducción
Las derivadashacenparte de una de las extensasyvariadasramasque tiene lamatemática,
explicandoentérminossencillosladerivadatrata de una medidade latasa de variaciónde la
salidade una función,asícomo varía la entradade la función;laderivadaes sumade dos
funcionesesigual alasuma de las derivadas de lasdosfuncionestomadasindividualmente. En
el presente trabajoexplicare masafondoque sonademásde variosde loscomponentes que
constituyen aunaderivada.
4. ¿Qué es la aplicación derivada?
La derivadatiene unagranvariedadde aplicacionesademásde darnoslapendiente de la
tangente auna curva en unpunto puespermite estudiarexistenciade lospuntosde inflexión.
Un punto de inflexiónde unafunciónesel lugarde sudominioendonde cambiade curvatura,
donde cambiade cóncavo a convexooviceversa.Enunpunto de inflexión,latangente
atraviesalagráfica de la función. Algunasde lasaplicacionesmásnotables:
1. Tasa de variación: Esta esla aplicaciónmásutilizadade las derivadas.Encuentrasu
aplicaciónenmuchosproblemasde lafísica.La tasa de variaciónenla localizaciónde
un puntote dará lavelocidadde ese punto.De manerasimilarlatasade cambiode la
velocidadde unpuntose conoce como la aceleracióndel mismo.
2. Punto Crítico: El puntocrítico tiene unacantidadvastade aplicacionesque incluyenla
termodinámica,lafísicade lamateriacondensada,etc.Un puntocrítico esaquel
donde laderivadade lafunciónescero,no existe enabsoluto.
3. Determinaciónde valores mínimosy máximos: A este procesose le denomina
optimización.Existenunaseriede problemasque requierenladeterminaciónde los
valoresmínimosymáximosde algunafuncióntal comola determinacióndel menor
costo,aproximacióndel menortiempo,cálculode mayorganancia,etc.Puede existir
un mínimolocal / puntomáximoque se denominamínimorelativo/máximopuntoo
mínimoglobal /máximopuntoque se le llamacomo mínimoabsoluto/punto
máximo.
4. Métodode Newton:Este es utilizadopararastrearlasraíces de una ecuaciónenuna
cascada de etapaspara que encada paso de la soluciónencontremosunasolución
mejory másadecuada comoraíz de la ecuación.
5. Aproximaciónlineal:En una serie de ramasde la física,como esel caso de la óptica,la
Aproximaciónlinealjuegaunpapel vital.Eneste utilizamosunafunciónlineal conel
finde encontrarla aproximaciónde cualquierfuncióngeneral.
Importancia de las Derivadas
Las derivadasaportan información concreta,directaycientíficaa losexpertosy,conesos
resultados,interpretanysoncapacesde ofrecerinformaciónacercade nuestrapropia
existenciaytambiénutilizarlasparaaplicarlasencosastanhabitualescomoel vuelode un
avión,el movimientode uncoche,la construcción de un edificio,de uncontenedorode
muchosotros elementosque paranosotrossonnormalesyque,sinembargo,sinsuutilización
no seríanposibles.
5. Pág. 1
¿Quién fue el inventor de la derivada?
A finalesdel sigloXVIIse sintetizaronendosconceptoslosalgoritmosusadosporsus
predecesores,enlo que hoyllamamos«derivada» e «integral».La historiade lamatemática
reconoce que Isaac NewtonyGottfriedLeibnizsonloscreadoresdel cálculodiferencial e
integral.
Cómo se calcula la derivada
Se calcula comoel límite de la rapidezde cambiomediade lafunciónenciertointervalo,
cuandoel intervaloconsideradoparalavariable independiente se tornacadavezmás
pequeño.Poreso se habladel valorde laderivadade una funciónenunpuntodado.
Puntos de Inflexión
la derivadapermite estudiarexistenciade los puntosde inflexión.
Un punto de inflexión de unafunción esel lugarde su dominioendonde cambiade curvatura,
donde cambiade cóncavo a convexo oviceversa.
En un puntode inflexión,latangente atraviesalagráficade lafunción.Si ademásla
primeraderivadaesnula, f’(a) =0, esun puntode inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tengaunpuntode inflexión enel punto(a,f(a))escondición
necesariaque lasegundaderivada,si estaexiste,seanulaendichopunto(f’’(a) =0).
Esta condiciónesnecesaria,peronosuficiente.Puedeque sea f’’(a)=0 y nohaber puntode
inflexión ena.Pero,porel contrario,si fuese f’’(a) ≠0, podemosafirmarque nohay unpunto
de inflexiónen f(a).
6. Pág. 2
Este sería el caso de lafunción f(x) =2x4
. En ella,lasegundaderivadaf’’(x) =24x2
.
Para x = 0, f’’(0) = 0 y,sinembargo,el punto(0, f(0)),esdecir,el punto(0, 0) no esun puntode
inflexión,tal ycomo se ve en estaimagenyse desarrollaráenel ejercicio2:
Máximos y mínimos
Tenemosdoscriteriosparaaveriguarsi un punto x = a de una función,endonde se verifique
que f’’(a) =0, se trata de unpuntode inflexión:
1. Criteriode lasegundaderivada
2. Criteriode laterceraderivada(osucesivas)
Los máximosymínimosde una funciónpuedenencontrarse medianteladerivada.
Si la funciónestádefinidaenunintervalo(a,b) yesderivable enél,paraque hayaun punto
extremolocal (máximoomínimo) cdel intervalo),laderivadaprimeraencdebe sernula,f’(c)
= 0.
Esta condiciónesnecesaria,peronosuficiente.¿Cómopodemossabersi ese puntoesun
extremolocal ysi este extremoesunmáximooun mínimo?:
Y es que puede ocurrirque f’(c) = 0 y que enc haya un puntode inflexiónde tangente
horizontal.Lospuntosenque se anulala primeraderivadase denominanpuntoscríticos.
Criteriode laderivadaprimera
El punto(c, f(c)) esunmáximolocal de f(x) si se cumple que f’(c) =0 y enel entornoinmedi ato
de c la primeraderivadapasade signopositivoanegativo.
El punto(c, f(c)) esunmínimolocal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entornoinmediato
de c la primeraderivadapasade signonegativoapositivo.
7. El punto(c, f(c)) esunpuntode inflexiónde tangente horizontalde f(x) si se cumple que f’(c)=
0 y enel entornoinmediatode claprimeraderivadanocambiade signo.
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Regla de l’Hôpital
Sirve para resolvermuchoscasosde límitesque denindeterminación,especialmenteloscasos
más complejos,exponencialesotérminosnoracionales.Se aplicadirectamente alímitescon
indeterminacionesdeltipo0/0o ∞/∞.Eso no impide que puedaaplicarseaotroscasos de
límitesindeterminados,realizandotransformacionesparallegarauna de lostiposanteriores.
La reglade l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente.Requiere conocerbienlatécnicade la
derivación>.
Teoremas de las derivadas
Son losTeoremasde Rolle,Teoremadel ValorMedioyTeoremade Cauchy.
1. Teorema de Rolle:Consiste enque si una funciónf(x) verificaque escontinuaenun
intervalocerrado[a,b] y derivable enel intervaloabierto(a,b).Si losvaloresde la
funciónenlosextremossonigualesf(a) =f(b),entonceshay,al menos,unpuntodel
intervaloc∈ (a, b) en el que su derivadaprimerase anula,f’(a) =0.
2. El teorema de Cauchy: establece que dadasdosfuncionesf(x) yg(x) continuasenel
intervalo[a,b] yderivablesen(a,b).Si g(a) ≠ g(b),existe al menosunpuntoc
pertenecientea(a,b),siempre que g’(c) ≠ 0.
3. El teorema del ValorMedio o teorema de Lagrange: Enunciaque si una funciónf(x) es
continuaenun intervalocerrado[a,b],existe al menosunpuntopertenecienteal
intervaloabierto,que esasuvezderivable,c&fisin;(a,b)
Otras aplicaciones:
Y otras aplicaciones,comofacilitarlarepresentacióngráficade funcionesohallar
aproximadamente losvaloresde unafunciónmedianteladiferencial.
La diferencial de unafunciónenunpuntoa esel incrementoque hubieratenidoesa
funciónal incrementarlavariable independiente x aotro puntoa + h pero,envezde
seguirporla curva de la función,se hubieraseguidoporlatangente adicha curva ena.
Reglas de derivación
La derivadade una constante: La derivadade unaconstante escero. f(x) =7
f '(x) = 0
La derivadade una potencia enterapositiva
Comoya sabemos,laderivadade xnesn xn-1,entonces:
f(x)=x5
f '(x)=5x4
Peroque sucede confuncionescomof(x) =7x5, aún nopodemosderivarlafunciónporque no
sabemos cuál esla reglapara derivarese tipode expresiones.
La derivadade una constante por una función.
8. Para derivarunaconstante por una función,esdecircf(x),suderivadaeslaconstante porla
derivadade lafunción,ocf'(x),por ejemplo:f(x)=3x5 f '(x)=3(5x4) = 15x4
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La derivadade una suma
Tampoco podemosdiferenciar(oderivar) unasumade funciones.Lareglaparala derivadade
una sumaes (f+g)'=f'+g',esdecir,la derivadade unasumade funcioneseslasumade las
derivadasde cada unode los términosporseparado.Entonces:
f(x)=2x3 + x
f '(x)=6x2 + 1
La derivadade un producto
Aúnno hemosdichocuál es lareglapara derivarunproductode funciones,lareglaparala
derivadade unproductoes (fg)'=fg'+f'g. En español estose interpretacomo"laderivadade un
productode dos funcioneseslaprimera,porladerivadade la segunda,máslasegundaporla
derivadade laprimera".
f(x)=(4x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)=20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)
La derivadade un cociente
Ahoradaremosla reglapara la derivadade uncociente.
f f 'g - fg'
[ ]' = g2
g
La regla de la cadena
Las reglasde derivaciónque hemosdefinidohastaahorano permitenencontrarladerivadade
una funcióncompuestacomo(3x + 5)4, a menosque desarrollemosel binomioyluegose
apliquenlasreglasyaconocidas.
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Conclusión
Podemosconcluirresaltandoque lasderivadasjueganunpapel tanimportante que los
científicoslausanpara ofrecery resolverinformaciónacercade nuestraexistencia,esun
hechoque lasmatemáticashacenparte de lavida del serhumanodesde siemprey esun
factor fundamental que debemosdominaryconocerpara usarlas correctamente encualquier
sectorsea de trabajoo vida cotidianaennuestravidapersonal.