S3_PPT_OPTIMIZACIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.pdf

1. UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA 1 - NEGOCIOS
* OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES REALES DE
VARIABLE REAL
Departamento de Ciencias

2. Situación problemática
En el mundo de los negocios una de
las preocupaciones de la empresa
radica en cómo maximizar los
ingresos. Si se tiene la función ingreso
¿se podría encontrar el ingreso
máximo aplicando derivadas?

3. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
situaciones problemáticas relacionadas a la
administración y economía, sobre optimización
de funciones usando criterios de la primera y
segunda derivada, demostrando precisión y
creatividad en su resolución.

4. CONTENIDOS
1. Optimización de funciones
2. Funciones Crecientes y Decrecientes.
3. Máximos y Mínimos de Funciones.
4. Puntos críticos.
5. Criterio de Primera derivada.
6. Concavidad y punto de inflexión.
7. Criterio de la segunda Derivada.

5. 1. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
En matemáticas, optimizar consiste en
determinar los valores de las variables que
intervienen en un proceso o sistema para que el
resultado que se obtiene sea el mejor posible.

6. Para una persona de negocios, la optimización, significa
minimizar los costos y maximizar los ingresos.

7. Situación problemática
Las funciones de costo y demanda para una empresa dedicada a la venta de
seguros de vida son:
𝐶 𝑥 = 680 − 4𝑥 + 0,01𝑥2
𝑝 𝑥 = 12 −
𝑥
500
donde p es el precio, x es el número de unidades.
a. Determina el nivel de producción que maximiza la utilidad.
b. Utilidad máxima
“VEREMOS CUESTIONES TEÓRICAS QUE NOS AYUDARÁN A
RESOLVER PROBLEMAS COMO ESTE”

8. 2. FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Una función f es CRECIENTE en un intervalo I si
para dos números cualquiera a y bdel intervalo I,
tales que a < b se verifica que: f(a) < f(b).
2.1 FUNCIÓN CRECIENTE

9. Una función f es DECRECIENTE en un intervalo I
si para dos números cualquiera a y b del intervalo
I, tales que a < b , se cumple que: f(a) > f(b).
2.2 FUNCIÓN DECRECIENTE

10. • Indique los intervalos en donde
la función es creciente y en los
que la función es decreciente.
y
x
1
3
5
6
−
3 8
1
3
−
8
−
3
−
2
5
−
6
−
Ejemplo:

11. 3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES
Una función f tiene un MÁXIMO
RELATIVO (o máximo local) en un
punto c  Dom f, si f(c)  f(x) para
todo x cercano a c. Entonces f(c)
recibe el nombre de MÁXIMO
RELATIVO.
Una función f tiene un MÍNIMO
RELATIVO (o mínimo local) en un
punto c  Dom f, si f(c)  f(x) para
todo x cercano a c. Entonces f(c)
recibe el nombre de MÍNIMO
RELATIVO.

12. 4. PUNTOS CRÍTICOS
Un número c en el dominio de f(x) se denomina punto crítico si la
derivada de la función en ese punto “c” igual a cero o no existe.
“c” es punto crítico  f’(c) = 0 o
f’(c) no existe

13. ¿EN DÓNDE ENCONTRAMOS PUNTOS CRÍTICOS?
VELOCIDAD MAXIMA Y MINIMA DE
CIRCULACIÓN EN LA PANAMERICANA
VENTA MÁXIMA O MÍNIMA DE
VEHICULOS EN EL AÑO 2018

14. En ambas figuras se observa si se trazan rectas tangentes a la función en los
puntos x1, x2 y x3 estas son paralelas al eje X, entonces la derivada en estos
puntos f ’(x1), f ’(x2) y f ’(x3) es igual a cero, por lo tanto, x1, x2 y x3 son
puntos máximos o mínimos locales de la función.
f ’(x1) = 0
f ’(x2) = 0
f ’(x3) = 0

15. 5. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
1. Se determinan los puntos críticos de la función.
2. Si “c” es un punto crítico, se debe determinar el signo de f’(x), primero
para valores que están suficientemente próximos y antes de “c” y luego
para valores que están suficientemente próximos y después de “c”.
De esta forma se tendrá que:
✓ Si f’(x) cambia de signo de positivo a negativo, de
izquierda a derecha de c, respectivamente, entonces
f tiene máximo relativo en el punto (c; f(c)).
✓ Si f’(x) cambia de signo de negativo a positivo, de
izquierda a derecha de c, respectivamente, entonces
f tiene mínimo relativo en el punto (c; f(c)).
✓ Si f’(x) es positiva o negativa en ambos lados de c,
entonces no existe ni máximo ni mínimo relativo en
“c” y (c; f(c)) es un punto de inflexión.

16. Solución:
Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores máximo o
mínimo de la siguiente función: 𝒇 𝒙 = -𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 + 4
𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 + 4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 + 15
𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ −3𝑥2 + 12𝑥 + 15 = 0 ⇒ 𝑥 = −1; 𝑥 = 5
1°) Calculamos la derivada de la función:
2°) Evaluamos los signos de la derivada f’(x) en los puntos: -2, 0 y 6
 En el intervalo - ; -1 la función decrece, en el intervalo -1; 5 la
función crece y en el intervalo 5 ; + la función decrece.
Ejemplo 1:

17. Reemplazamos los puntos críticos 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 5 en la función f(x)
para hallar los valores máximos o mínimos.
𝒇 −𝟏 = -(−1)3+6(−1)2+15 −1 + 4 = −4
𝒇 𝟓 = -(5)3+6(5)2+15 5 + 4 = 104

18. Ejemplo 2:
Durante varias semanas el MTC ha estado registrando la velocidad del flujo de tráfico (en
km/h) en la Panamericana Norte. Los datos indican que entre las 1:00 pm y las 6:00 pm
la velocidad del tráfico es:
S(t) = t3 – 10.5t2 + 30t + 20
donde t es el número de horas después del mediodía
a. ¿En qué instante la velocidad de flujo alcanza su nivel máximo y su nivel mínimo, es
decir se mueve más rápido o más lento?
b. ¿Cuál es la velocidad máxima y mínima de flujo? Graficar
a) Instante en el que la velocidad de flujo alcanza
su nivel máximo y mínimo:
Luego para encontrar puntos críticos:
𝑉 𝑡 = 𝑡3 − 10,5𝑡2 + 30𝑡 + 20 ⇒ 𝑉′(𝑡) = 3𝑡2 − 21𝑡 + 30
𝑉′(𝑡) = 0

19. 𝑉′(𝑡) = 0 0 = 3𝑡2 − 21𝑡 + 30 ⇒ 𝑡 = 2 ∨ 𝑡 = 5
𝑆𝑖𝑡 = 2 ⇒ 𝑉(2) = 46
𝑆𝑖𝑡 = 5 ⇒ 𝑉(5) = 32,5
 A las 2 pm y a las 5 pm la velocidad de flujo es máxima o mínima respectivamente
 La velocidad máxima de flujo es 46 km/h y se
da a las 2 pm y la velocidad mínima de flujo
es de 32,5 km/h y se da a las 5 pm.

20. 6. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN
6.1CONCAVIDAD

21. CONCAVIDAD HACIA ARRIBA
Teniendo en cuenta una función f (x), “C  Dom(f)”
Si f '(C) = 0 , C es un punto crítico.
Si f ''(C) = positiva, la concavidad de la función es
hacia arriba.
Teniendo en cuenta una función f (x), “C  Dom(f)”
Si f '(C) = 0 , C es un punto crítico.
Si f ''(C) = negativa, la concavidad de la función es
hacia abajo.
CONCAVIDAD HACIA ABAJO

22. 6.2 PUNTO DE INFLEXIÓN

23. 7. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
El criterio de la segunda derivada, es una consecuencia de un teorema del cálculo
diferencial, en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple
con la que se determina posibles máximos y mínimos relativos de una función continua.
1) Determine los puntos críticos de la función
f.
2) Si “c” es un punto crítico , hallar f ''(c) .
a) Si f''(c) < 0, entonces f(c) es un valor
máximo relativo.
b) Si f''(c) > 0, entonces f(c) es un valor
mínimo relativo.
c
f ''(c) < 0
f(c)
f ''(c) > 0
c
f(c)

24. Ejemplo:
La cantidad mensual demandada de casacas de cuero marca CSC se
relaciona con el precio unitario mediante la ecuación
donde el precio “p” se mide en dólares y “ x” en unidades. ¿Cuántas
casacas se deben vender para obtener el máximo ingreso? y ¿cuál es dicho
ingreso?, emplea otro método diferente al criterio de la primera derivada
p = 360 − 3𝒙
Solución
Hallamos la función ingreso:
I 𝑥 = precio . cantidad = (360 − 3𝑥).x
I 𝑥 = 360𝑥 − 3𝑥2
Determinamos su derivada, para el cálculo de su punto crítico: 𝐼′
𝑥 = 360−6𝑥
𝐼′
𝑥 = 0, 0= 360 − 6𝑥 Punto crítico x= 60
𝐼′′
60 = −6 < 0 Se concluye para x= 60, el ingreso es máximo = 10800

25. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
N° Código Referencia
1 515
TEBA
2005
Tébar, E. (2015). Cálculo infinitesimal. España: Tébar
2 515
ROGA
2012
Rogawski, J. (2012). Cálculo una variable. 2𝑎 𝑒𝑑 . España: Reverté

26. METACOGNICIÓN
⮚ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
⮚ ¿Para qué son útiles los criterios de la derivada?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? ¿Cómo las solucionaste?
➢ ¿En qué situaciones, relacionadas a nuestra carrera, se aplicaría la
optimización de funciones?

27. GRACIAS