Este documento presenta la regla de dispersión numérica para ondas en aguas someras sobre un fondo inclinado. Deriva las ecuaciones que gobiernan el movimiento de las ondas y encuentra una solución de onda progresiva. Aplica diferencias finitas hacia atrás y adelante para obtener una expresión para la velocidad de grupo. También cubre las ecuaciones para ondas en aguas someras con rotación pero sin fricción, resolviendo el sistema para obtener la relación de dispersión.

1. Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la
Educación
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
TÓPICOS AVANZADOS
“REGLA DE DISPERSIÓN NUMÉRICA”
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE: FÍSICA
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑡
= −𝐻
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑢 = 𝑢0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
𝑣 = 𝑣0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
ℎ = ℎ0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
03 -05-2015

2. REGLA DE DISPERSIÓN NUMÉRICA:
Figura 1: Perfil de propagación de una onda sobre un fondo inclinado
Sabemos que las ecuaciones que gobiernan la dinámica son:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑡
= −𝐻
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Con soluciones de la forma:
𝑢 = 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
𝑣 = 𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
ℎ = ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
Mediante diferencias hacia atrás tenemos:
𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑡
= −𝑔
𝜕(ℎ 𝑗−ℎ 𝑗−1)
∆𝑥
(1)
Y mediante diferencias hacia adelante tenemos:
𝜕ℎ 𝑗
𝜕𝑡
= −𝐻
𝜕( 𝑢 𝑗+1−𝑢 𝑗)
∆𝑥
(2)
Resolviendo (1) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝑔
(ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
− ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘(𝑗−1)∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
)
∆𝑥
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −
𝑔ℎ0
∆𝑥
𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
(1− 𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
)
𝑢0 =
𝑖𝑔ℎ0
𝜔 𝐷 ∆𝑥
(𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
Ahora resolviendo (2) tenemos:

3. −𝑖𝜔 𝐷ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝐻
(𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘(𝑗+1)∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
− 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
)
∆𝑥
−𝑖𝜔 𝐷ℎ0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −
𝐻𝑢0
∆𝑥
𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
(𝑒 𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
𝑖𝜔 𝐷 ℎ0 = −
𝐻ℎ0 𝑖𝑔
∆𝑥𝜔 𝐷
(𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
− 1)(𝑒𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
( 𝜔 𝐷)2
=
𝐻𝑔
(∆𝑥)2
2(1 − cos(𝑘∆𝑥)
( 𝜔 𝐷)2
=
𝐻𝑔
(∆𝑥)2
4((𝑠𝑒𝑛 (
𝑘∆𝑥
2
))
2
)
𝜔 𝐷 = 2√ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
∆𝑥
𝜔 𝐷 = √ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
∆𝑥/2
El cual obtenemos:
𝐶 𝐷 =
𝜔 𝐷
𝑘
= √ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
𝑘∆𝑥/2
ONDAS EN AGUAS SOMERAS CON ROTACIÓN PERO SIN FRICCIÓN
Las ecuaciones del modelo de aguas someras linearizado con respecto a un estado base en reposo
son:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
− 𝑓𝑣 = −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑥
(1)
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑓𝑢 = −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑦
(2)
𝜕ℎ
𝜕𝑡
= −𝐻 (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
) (3)
Con soluciones de la forma:
𝑢 = 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
𝑣 = 𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
ℎ = ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
Resolviendo (1) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
− 𝑓𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
= −𝑔𝑖𝑘ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 − 𝑓𝑣0 + 𝑔𝑖𝑘ℎ0 = 0
Resolviendo (2) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
+ 𝑓𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
= −𝑔𝑖𝑘ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
𝑓𝑢0 − 𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 + 𝑔𝑖𝑙ℎ0 = 0

4. Resolviendo (3) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷ℎ0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝐻(𝑖𝑘𝑢0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
+ 𝑖𝑙𝑣0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
)
𝐻𝑖𝑘𝑢0 + 𝐻𝑖𝑙𝑣0 − 𝑖𝜔 𝐷ℎ0 = 0
Obtenemos un sistema lineal de ecuaciones homogéneas:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 − 𝑓𝑣0 + 𝑔𝑖𝑘ℎ0 = 0
𝑓𝑢0 − 𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 + 𝑔𝑖𝑙ℎ0 = 0
𝐻𝑖𝑘𝑢0 + 𝐻𝑖𝑙𝑣0 − 𝑖𝜔 𝐷ℎ0 = 0
El cual siempre tiene una solución trivial o impropia. Sin embargo este sistema lineal
homogéneo admite soluciones no triviales (propias) si el determinante de los coeficientes es
nulo.
Por lo tanto, las ondas ocurren sólo cuando se cumple la siguiente condición:
Resolviendo el determinante tenemos:
𝑖𝜔3
+ (−f)iglHki + figkHil − (iHkωgk + iHlglω + i𝑓2
𝜔)=0
𝑖𝜔3
+ fglHk − fgkHl − (iHkωgk + iH𝑙2
gω+ i𝑓2
𝜔) = 0
𝜔2
= 𝐻𝑔( 𝑘2
+ 𝑙2) + 𝑓2
Esta condición, llamada la relación de dispersión, la cual proporciona la frecuencia de la onda
en términos de la magnitud del número de onda k y las constantes del problema.