Derivadas UTS

1. ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE DERIVADAS Y APLICACIONES
ENTREGAR HASTA EL: 22-06-2014. A LAS 23:50 pm. VALOR: 10 PUNTOS.
Prof.: Jesùs Estrada
MATEMATICA I
SAIA
NOMBRE: LUIS RAMON DURAN PINEDA C.I: 25.923.973
1.) Determinar la derivada de las siguientes funciones
     
   
 
   31
73ln
3
485 4
4)
25
)
2cosh)
4
23
ysenygc
tttg
tfb
eGa
t










 

a) 𝑮(𝜽) = (√(𝐜𝐨𝐬𝐡⁡( 𝟐𝜽)) 𝟒𝟓
) (𝒆 𝟖𝜽 𝟑
- 𝟒𝜽 𝟐
)
𝐺′(𝜃) =⁡[(cosh⁡(2θ))
4
5]’ . 𝑒8𝜃3
+⁡4𝜃2
√(cosh(2𝜃))45
. 𝑒8𝜃3
- 4𝜃2
+ √(cosh(2𝜃))45
.
(𝑒8𝜃3
- 4𝜃2
)’
=
4
5
[(cosh ⁡(2𝜃))
−1
5 ⁡(cosh(2𝜃))′
] 𝑒8𝜃3
4𝜃2
+ √(cosh(2𝜃))4⁡
5
(𝑒8𝜃3
- 4𝜃2
)
(8𝜃3
−⁡4𝜃2
)′
𝐺′(𝜃)
4
5
⁡(cosh(2𝜃))
−1
5 − ⁡𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜃)2⁡𝑒8𝜃3
- 4𝜃2
⁡+ √(cosh(2𝜃))45
⁡𝑒8𝜃3
−⁡4𝜃2
(24𝜃2
− ⁡8𝜃)
𝐺′(𝜃) =
8
5
⁡
𝑒8𝜃3
−⁡4𝜃2⁡.⁡⁡𝑠𝑒𝑛ℎ⁡(2𝜃)
√cosh⁡(2𝜃)
5 +⁡(24𝜃2
− ⁡8𝜃)𝑒8𝜃3
−⁡4𝜃2
. √(cosh(2𝜃))45

2. b) 𝒇(𝒕) =⁡
𝒕𝒈(𝟓𝒕 𝟑−𝟐𝒕)
𝒍𝒏(𝟑𝒕 𝟒−𝟕)
𝑓′(𝑡) =⁡
[𝑡𝑔⁡(5𝑡3
− 2𝑡)]′
ln(3𝑡4
− 7) − 𝑡𝑔(5𝑡3
− 2𝑡)[ln(3𝑡4
− 7]′
[ln(3𝑡4 − 7)]2
𝑓′(𝑡) =⁡
[𝑠𝑒𝑐2(5𝑡3−2𝑡)⁡.⁡⁡(15𝑡2−2)] ln(3𝑡4−7)−𝑡𝑔(5𝑡3−2𝑡)⁡.⁡⁡(
123
3𝑡4−7
)
[𝑙𝑛(3𝑡4−7)]2
𝑓′(𝑡)
=⁡
(15𝑡2
− 2)⁡(3𝑡4
− 7)𝑠𝑒𝑐2
(5𝑡3
− 2𝑡) ⁡ln ⁡(3𝑡4
− 7) − 12𝑡3
⁡. ⁡𝑡𝑔(5𝑡3
− 2𝑡)
(3𝑡4 − 7)[ln⁡(3𝑡4 − 7]2⁡
C) 𝑮(𝒚) =⁡ 𝒔𝒆𝒏−𝟏
(𝟒𝒚 𝟑
)
𝐺′(𝑦) =⁡
1
√1 − (4𝑦3)2
⁡. (4𝑦3
)′
𝐺′(𝑦) =⁡
1
√1 − 16𝑦6
⁡. (12𝑦2
)
𝐺′(𝑦) =⁡
12𝑦2
√1−16𝑦6
2. Derive implícitamente la siguiente ecuación.
𝒙 𝟑
− 𝟑 𝐥𝐧(𝒚) + 𝒚 𝟐
= 𝟏𝟎

3. (x3
)′ − 3(ln⁡(y))′ + (y2
)′ = 10
3𝑥2
− ⁡3⁡
1
𝑦
⁡.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
3𝑥2
−⁡
3
𝑦
⁡.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
−
3
𝑦
⁡.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ ⁡2𝑦⁡.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=⁡−3𝑥2
⁡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⁡(
−3
𝑦
+ 2𝑦) = −3𝑥2
⁡⁡⁡→⁡⁡⁡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−3𝑥2
−3
𝑦
+2𝑦
=⁡
−3𝑥2
−3+2𝑦2⁡
𝑦
⁡⁡→⁡⁡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−3𝑥2 𝑦
−3+2𝑦2
3. Determine la forma indeterminada aplicando la regla de L’Hopital.
  

 ctg
senLim 10
lim
𝜃→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 𝑐𝑡𝑔(𝜃)
= 𝑒 lim
𝜃→0
ln[(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 𝑐𝑡𝑔(𝜃)
]
Entonces: lim
𝜃→0
⁡⁡⁡ln[(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)] 𝑐𝑡𝑔(𝜃)
=⁡ lim
𝜃→0
⁡⁡⁡⁡𝑐𝑡𝑔𝜃⁡. ln[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)]
= lim
𝜃→0
ln[1+𝑠𝑒𝑛(𝜃)]
𝑡𝑔𝜃
Forma indeterminada, entonces utilizamos L’Hopital:
lim
𝜃→0
⁡⁡⁡
ln⁡(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃))
𝑡𝑔𝜃
=⁡ lim
𝜃→0
⁡⁡
1
1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
⁡. cos⁡( 𝜃)
𝑠𝑒𝑐2(𝜃)
=⁡
1
1 + 0
⁡⁡.⁡⁡(1)
12
= 1
= lim
𝜃→0
⁡⁡(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑐𝑡𝑔𝜃
= 𝑒′
= ⁡𝑒
4. Hallar los extremos de la siguiente función del intervalo ⦋0,4⦌
   3 2
3 xxg

4. 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)
2
3
𝑔ʹ(𝑥) =⁡
2
3
(𝑥 − 3)
1
3
⁡(𝑥 − 2)
𝑔ʹ(𝑥) =⁡
2
3
(𝑥 − 3)
−1
3
⁡(1)
𝑔ʹ(𝑥) =⁡
2
3⁡√ 𝑥
3
− 3
i) 𝑔ʹ(𝑥)⁡≠ 0 para todo x ⃪ ⦋0,4⦌
ii) 𝑔ʹ(𝑥) no existe para 3⁡√ 𝑥
3
− 3 = 0 , es decir para x=3
Evaluamos:
𝑔(0) = √(𝑥 − 3)²
3
= √9
3
= 2,08
𝑔(3) = √(3 − 3)²
3
= 0
𝑔(4) = √(4 − 3)²
3
=1
Entonces:
i) En x = 3 existe un mínimo absoluto cuyo valor es 0
ii) En x= 0 existe un máximo absoluto cuyo valor es
√9
3
(= 2,08)