Deduccion de la ecuacionde momento resistente para vigas de concreto armado, bajo efecto de flexion pura.

1. Deducción de la ecuación de momento resistente
para una viga de concreto armado.
M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

2. P
L
A B
Tensión
Compresión
Compresión
Tensión

3. Estados Limites de Falla
• Determinacion de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a flexion, carga
axial o una combinación de ambas, se efectua a partir de las condiciones de equilibrio y
las siguientes hipótesis:
1.- La distribución de Deformación unitaria longitudinales en la sección transversal de
un elemento es plana.
2.- Existe adherencia entre el concreto y el cero de tal manera que la deformación
unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente.
3.- El concreto no resiste esfuerzos de tensión.
4.- Deformación unitaria máxima del concreto (εcu)
5.- La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la
resistencia de la sección, es uniforme con una valor F´´c igual a 0.85F*c, hasta una
profundidad de la zona de compresión igual a β1c

4. b
h
h/2
h/2
d
Deformación unitaria
máxima del concreto
εcu
De la NTC-DCEC
2. Estados Limites de Falla
2.1. Hipótesis para obtención de resistencias
d) εcu = 0.003
εcu = 0.003
εy =
𝑓𝑦
𝐸
=
4200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2
2,100,000 𝐾𝑔/𝑐𝑚2
= 0.002Deformación unitaria
máxima del Acero (εy)
εy = 0.002
T (Tensión)
C (Compresión)
c
a = 0.8c
f´´c = 0.85f*c
0.4c
d - 0.4c

5. Por Equilibrio
Compresión = Tensión
Compresión = (a)(f´´c)(b)
Tensión = (As)(fy)
Por Tanto:
abf´´c = Asfy
0.8c b f´´c = As fy
𝐴𝑠
𝑏
=
0.8𝑐𝑓´´𝑐
𝑓𝑦
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
SI
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
0.8𝑐𝑓´´𝑐
𝑑𝑓𝑦
𝜌 =
0.8𝑐𝑓´´𝑐
𝑑𝑓𝑦
𝜌 𝑏 =
0.8𝑓´´𝑐
𝑓𝑦
∗
𝑐
𝑑
Cuantía Balanceada
𝑐 =
𝜌𝑓𝑦𝑑
0.8𝑓´´𝑐
Aceptando las condiciones de viga balanceada
εcu = 0.003 𝜖 𝑦 =
𝑓𝑦
𝐸
𝑐
𝑑
=
𝜀 𝐶
𝜀 𝐶 + 𝜀 𝑦
=
0.003
0.003 +
𝑓𝑦
2,100,000
=
6000
6000 + 𝑓𝑦

6. Cuantía Balanceada
𝜌 𝑏 =
0.8𝑓´´𝑐
𝑓𝑦
∗
𝑐
𝑑
𝑐
𝑑
=
6000
6000 + 𝑓𝑦
Pero:
Entonces:
𝜌 𝑏 =
0.8𝑓´´𝑐
𝑓𝑦
∗
6000
6000 + 𝑓𝑦
𝝆 𝒃 =
𝒇´´𝒄
𝒇𝒚
∗
𝟒𝟖𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎 + 𝒇𝒚

7. Realizando una sumatoria de momentos, con respecto a la resultante de compresión.
Mu = T(d-0.4c) = Asfy(d-0.4c)
De manera análoga, pero ahora para la compresión.
Mu = C(d-0.4c) = 0.8cbf´´c(d-0.4c)
Sabemos que:
𝑐 =
𝜌𝑓𝑦𝑑
0.8𝑓´´𝑐
𝑀𝑢 = 0.8
𝜌𝑓𝑦𝑑
0.8𝑓´´𝑐
𝑏𝑓´´𝑐(𝑑 − 0.4
𝜌𝑓𝑦𝑑
0.8𝑓´´𝑐
)
𝑀𝑢 =
𝜌𝑓𝑦𝑑
𝑓´´𝑐
𝑏𝑓´´𝑐(𝑑 −
𝜌𝑓𝑦𝑑
2𝑓´´𝑐
)
Definamos:
𝑞 =
𝜌𝑓𝑦
𝑓´´𝑐

8. 𝑀𝑢 =
𝜌𝑓𝑦𝑑
𝑓´´𝑐
𝑏𝑓´´𝑐(𝑑 −
𝜌𝑓𝑦𝑑
2𝑓´´𝑐
)
𝑀𝑢 = 𝑞𝑑𝑏𝑓´´𝑐(𝑑 −
𝑞𝑑
2
)
𝑀𝑢 = 𝑞𝑑2 𝑏𝑓´´𝑐(1 − 0.5𝑞)
Por Tanto, la ecuación que proporciona la resistencia ideal a flexión,
Debe estar afectada por un factor de resistencia, (el Cual según las NTC
DCEC, en la sección 1.7 Factores de resistencia señala F.R. = 0.9)
𝑴𝑹 = 𝑭. 𝑹. 𝒅 𝟐
𝒃𝒇´´𝒄𝒒(𝟏 − 𝟎. 𝟓𝒒)

9. Deducciones varias
𝑴𝑹 = 𝑭. 𝑹. 𝒅 𝟐
𝒃𝒇´´𝒄𝒒(𝟏 − 𝟎. 𝟓𝒒)
𝑑 =
𝑀𝑢
𝐾𝑢 ∗ 𝑏
𝐾𝑢 = 𝐹. 𝑅.∗ 𝑓´´𝑐 ∗ 𝑞(1 − 0.5𝑞)
𝑞 =
𝜌𝑓𝑦
𝑓´´𝑐
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
As = 𝜌𝑏𝑑

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