Una estrategia de seguridad en la nube alineada al NIST
Estudio de la Respuesta a los Armónicos de un Sistema masa-resorte
1. La importancia de conocer
esta respuesta para evitar
daños en los sistemas
mecánicos.
Estudio de la Respuesta a los Armónicos
de un Sistema Masa-Resorte.
09/06/19 Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez1
2. Estructura
Medios, Métodos, Modelos y Sistemas Aplicados
a la Educación Superior Tecnológica
Matemáticas e IngenieríaMatemáticas e Ingeniería
Pensamiento Complejo y Metacognición
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez2
3. 09/06/19
Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez3
Oscilador Mecánico
Sistema Mecánico Traslacional masa resorte M-K.
4. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez4
Problema
Vamos a estudiar el Oscilador Mecánico a partir del
circuito formado por una masa m = 2 unida a un
resorte con k = 18, si partiendo del reposo y desde el
punto de equilibrio se le aplican una serie de señales
de prueba.
Nota:
Las unidades se encuentran adecuadamente dimensionadas según el
sistema en que se trabaje, sea “cgs o mks”.
5. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez5
Leyes de la Física
1.- Ley de Newton:
F = mx’’(t)
2.- Ley de Hook:
F = kx(t)
3.- Principio de D’Alembert:
6. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez6
Modelo Matemático
mx’’(t) + kx(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
7. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez7
Modelo Matemático del Problema
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
8. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez8
Entrada: Impulso Unitario δ(t)
2x’’(t) + 18x(t) = δ(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
9. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez9
Respuesta al Impulso Unitario δ(t)
Respuesta del oscilador mecánico al Impulso Unitario
como señal de entrada: f(t) = δ(t).
..SIMULACION.MECANICASMRA.4.exe
10. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez10
Entrada: Escalón Unitario u(t)
2x’’(t) + 18x(t) = u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
11. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez11
Respuesta al Escalón Unitario u(t)
Respuesta del oscilador mecánico al Escalón Unitario
como señal de entrada: f(t) = u(t).
12. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez12
Entrada Senoidal: Asin(ωt)u(t)
2x’’(t) + 18x(t) = sin(7t)u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
13. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez13
Respuesta a la Senoide
Respuesta del oscilador mecánico ante una señal senoidal de
frecuencia conocida como señal de entrada: f(t) = Sin(7t)
14. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez14
Entrada: Señal periódica arbitraria
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
15. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez15
Función f(t) de entrada
Señal de Entrada:
Función periódica con período T = 2π y frecuencia angular ωo
= 1
definida en los reales positivos.
16. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez16
Gráfica de la señal de entrada
Señal Diente de Sierra positivo (Sawtooth) definida en los
reales positivos.
17. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez17
Señal de Entrada
Función de la señal de entrada:
Función periódica con período T = 4π y frecuencia angular
ωo
= 1/2 definida en todos los reales.
18. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez18
Gráfica de la señal de entrada
Señal Diente de Sierra positivo (Sawtooth) definida en todos
los reales.
19. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez19
Modelo Matemático
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
La f(t) es la función de la diapositiva 17 con gráfica en la
diapositiva 18.
20. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez20
Coeficientes de Fourier18.85− 15.708− 12.566− 9.425− 6.283− 3.142− 0 3.142 6.283 9.425 12.566 15.708
4−
2−
2
4
π−
π
f t( )
2π2− π
t
A0
2
T T−
2
T
2
tf t( )
⌠
⌡
d⋅=
38. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez38
Respuesta al sexto armónico
9.425− 3.142− 3.142 9.425 15.708 2
0.4−
0.2−
0.2
0.4
x t 6,( )
2π 4π
t
B 6( )
2
3
→
47. Conclusiones
La resonancia afecta el comportamiento de todo
sistema dinámico, sea mecánico o no.
La señales que se aplican a sistemas físicos pueden
tener alguna componente frecuencial que provoque la
resonancia. Debe tenerse precaución.
Identificando la resonancia, se propone filtrar el
armónico que afecta la respuesta del sistema.
El análisis de Fourier ayuda a identificar la resonancia
La serie de Fourier auxilia al manejo de señales con
discontinuidades
09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez47
49. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez49
Sistemas destruidos por la
resonancia
1. El Puente de Broughton: Manchester, 1831
2. El Puente de Tacoma Narrows: Narrows,
Washington, USA, 1940.
3. La Pasarela del Milenio de Norman Foster:
Londres, 2000.
4. El Puente Arcos de Alconétar: Alconétar en Prov.
De Cáceres, España, 2006.
5. El Puente de Volgogrado: Volgogrado, 2010.
50. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez50
Sistemas destruidos por la
resonancia
1. https://www.youtube.com/watch?v=MHlICTWMBMs
2. https://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag
3. https://www.youtube.com/watch?v=ULLOAGWla7M
4. https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk
51. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez51
Autores
Nombre.- J. Agustín Flores Avila
Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista
Ciudad.- Gómez Palacio, Dgo. Mex. C.P. 35050
Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21
C. E. cidde2010@gmail.com
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
Torreón, Coah. Mex.
52. 09/06/19Profs. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez52
Autores
Nombre: Abel Rodríguez Franco
Dirección: Paseo de la Espuela 249, Residencial la
Hacienda
Ciudad: Torreón, Coah. Méx. C.P. 27276
Tel.: 01 – 871 – 7 30 27 64
e-mail: abel.r.f@hotmail.com
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
Torreón, Coah. Méx.
53. 09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez53
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dos registros”. Traducción de B. M. Parra. Tomado de la:
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22. Zill, D. G.. (2009): Ecuaciones diferenciales con aplicaciones
de modelado, México: Cengage Learning.
23. Zill, D. G.. (2009): Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores en la frontera. México: Cengage Learning.
Notas del editor
La frecuencia de oscilación es la frecuencia natural del sistema y está dada por el cociente del valor de la masa y el coeficiente de restitución del resorte.
N este circuito la frecuencia de oscilación es la frecuencia natural del sistema y está dada por el inverso de la raíz cuadrada del producto de la inductancia y la capacitancia.