Geometría.Elementos básicos de la geometría del plano. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

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BLOQUE III Geometría.
UNIDAD 1 Elementos básicos de la geometría del plano. Relaciones y
propiedades de figuras en el plano.
Objetivos del bloque:
1. Elementos básicos de la geometría del plano.
2. Relaciones y propiedades de figuras en el plano: Paralelismo y
perpendicularidad.
3. Ángulos y sus relaciones.
4. Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz.
5. Propiedades.
6. Figuras planas elementales: triángulo, cuadrado, figuras poligonales.
7. Clasificación de triángulos y cuadriláteros.
8. Propiedades y relaciones.
9. Medida y cálculo de ángulos de figuras planas.
10. Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.
11. Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples.
12. Circunferencia, círculo, arcos y sectores circulares.
13. Resolución de problemas geométricos sencillos.
14. Interés por las diferentes producciones culturales y artísticas en donde
aparezcan los elementos estudiados (películas, cortos, videos artísticos,
animación, documentales, publicidad).
15. Interés y disfrute de las posibilidades que nos ofrecen los diferentes
entornos artísticos: museos, exposiciones, galerías de arte, auditorios,
teatros, páginas web y blogs de museos, exposiciones artísticas, galerías de
arte.
16. Respeto y valoración de las distintas manifestaciones artísticas.
17. Expresión crítica de sus conocimientos, ideas, opiniones y preferencias
respecto a las manifestaciones artísticas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

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Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. El punto y la recta.
2. Semirrectas y segmentos.
3. Los ángulos.
4. La posición de los ángulos.
5. El sistema sexagesimal
1. El punto y la recta.
El punto.
El punto es uno de los elementos fundamentales de la geometría, junto con la recta
y el plano, pues son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible
describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen
describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las
relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es la unidad más
simple, irreductiblemente mínima, de la comunicación visual, es una figura
geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo
dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada
respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.
La recta.
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una
misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito
de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de
puntos extendidos en una sola dirección.
Punto:
Es una posición en el espacio, adimensional, e infinitamente pequeña

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Plano:
Es una superficie lisa ilimitada (sin principio ni fin) y sin grosor (sólo tiene dos
dimensiones).
Recta:
Se obtiene alargando indefinidamente un segmento por los extremos. Un dibujo
de una recta solo representa una parte, ya que por definición no tiene ni principio
ni fin.
2. Semirrectas y segmentos.
Un punto cualquiera sobre una recta la divide en dos partes iguales denominadas
semirrectas. También se puede entender una semirrecta como el resultado de
alargar indefinidamente un segmento por uno de los extremos.
Segmento:
Un segmento, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos,
llamados puntos extremos o finales. Así, dado dos puntos A y B, se le llama segmento
AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la
semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B son extremos del
segmento y los puntos sobre la recta a la que pertenece el segmento, serán interiores
o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este. Los segmentos se
representan indicando los puntos con letras en mayúscula y una raya sobre ellos.
𝐶𝐶𝐶𝐶����
Dos segmentos concatenados están situados uno tras otro. Si además se encuentran
en una misma línea recta, se denominan segmentos consecutivos.

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Operaciones con segmentos:
Suma.
La suma de varios segmentos consecutivos colineales da por resultado el segmento
determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados.
Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene
construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados,
y procediendo como se indica al principio.
La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer
segmento y como final el final del segundo segmento. La longitud del segmento suma
es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.
Resta.
Restar de un segmento otro de menor valor o igual que este, es encontrar un tercer
segmento, cuya longitud es la resta de la longitud del mayor menos la longitud del
menor. Por ejemplo: tenemos un segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 15 𝑐𝑐𝑐𝑐 y otro segmento 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐:
𝐴𝐴𝐴𝐴���� − 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 10 𝑐𝑐𝑐𝑐
Visualiza el siguiente video: https://youtu.be/ouB_THyrzEY
Tipos de rectas
Dos rectas en un mismo plano pueden ser:
a) paralelas: son dos rectas en la misma dirección pero que no coindicen en ningún
punto.
b) secantes: dos rectas son secantes, cuando solo coinciden en un solo punto.

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c) perpendiculares: dos rectas son perpendiculares, cuando coinciden en un punto,
pero el ángulo que forman es de 90º.
d) coincidentes: dos rectas son coincidentes, cuando tiene la misma dirección y
coincidenen todos sus puntos.
¿Cómo construir una mediatriz?
Visualiza el siguiente video: https://youtu.be/QNrQCT9N6rQ
Concepto: la mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho
segmento.
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3. Los ángulos.
Un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirrectas con un mismo origen.
Cada semirrecta se denomina lado y el punto de origen se llama vértice.
¿Cómo se miden los ángulos?
Utilizaremos el transportador:
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Un transportador es un instrumento que mide ángulos en grados y que viene en dos
presentaciones básicas: con forma semicircular graduado en 180° (grados
sexagesimales) o 200° (grados centesimales), y transportador con forma circular
graduado en 360° o 400°. Nosotros este curso, utilizaremos el transportador de
180º sexagesimales.
Cómo habrás podido ver, los ángulos se miden grados, se representa con su valor
numérico junto con el signo ”º”; por ejemplo: 120º. Mira el siguiente video:
https://youtu.be/O83DKSYffp0
¿Cómo dibujar la bisectriz de un ángulo?
Observar los siguientes videos:

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• https://youtu.be/yHEiYQ72Us8
• https://youtu.be/sKlKTpbiZes
Concepto: la bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del
ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.
4. La posición de los ángulos.
a) Según su amplitud, tenemos ángulos: rectos, llanos o nulos.
b) Según lo comparamos con el ángulo recto, pueden ser: cóncavos o convexos.
c) Según lo relacionemos con otros ángulos, pueden ser: consecutivos,
complementarios, suplementarios u opuestos.
ángulo recto
un ángulo recto es aquel que mide 90° (sexagesimales)
ángulo llano
un ángulo llano es aquel que mide 180° (sexagesimales)

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ángulo nulo
un ángulo llano es aquel que mide 0° (sexagesimales)
ángulo concavo
un ángulo es concavo, cuando mide más de 180º pero menos 360º
ángulo convexo
un ángulo es convexo, cuando mide más de 0º pero menos 180º
ángulo consecutivo
cuando dos ángulos comparten el mismo vertice y un lado.
ángulo complementario
es un ángulo consecutivo cuya amplitud es 90º

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ángulo suplementario
es un ángulo consecutivo cuya amplitud es 180º
ángulo opuesto
dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas
opuestas a los lados del otro ángulo
5. El sistema sexagesimal.
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base
aritmética el número 60. Tuvo su origen en la antigua Mesopotamia, en la civilización
Sumeria. También fue empleado por los árabes durante el califato omeya. El sistema
sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos
(grados, minutos y segundos) principalmente.
Se representan gráficamente:
• Los grados º
• Los minutos ‘
• Los segundos ‘’
Ejemplo: 123º 55’ 32’’
Operaciones en el sistema sexagesimal.
Antes de todo, debemos tener en cuenta, que cada unidad se divide en 60 unidades
de orden inferior, es decir:

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1 hora ⟶ 60 minutos.
1 minuto ⟶ 60 segundos.
Por tanto, en el cálculo final, no puede haber resultados, donde haya cantidades con
más de 60 minutos o 60 segundos.
Suma: ejemplo 1. Queremos sumar 25º 33’ 45” con 34º 44’ 25’’.
Se disponen las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los
minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
25º 33’ 45’’
34º 44’ 25’’
59º 77’ 70” aunque el resultado es correcto, no se puede expresar de esta manera,
porque ya hemos dicho, que el sistema sexagesimal se basa en unidades de 60:
• Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto
serán los segundos y el cociente se sumará a los minutos.
70” ⟶ 1’ 10’’ luego entonces 59º 78’ 10”
• Igual para los minutos.
78’ ⟶ 1º 18’ luego entonces 60º 18’ 10’’
Resta: es el mismo procedimiento que la suma, solo debemos tener en cuenta, que, si
el minuendo es menor que el sustraendo, pasamos un minuto del minuendo a 60
segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo; lo mismo realizaremos con
los minutos. A continuación, restamos. Veamos un ejemplo, restar las siguientes
cantidades: 125º 22’ 34’’ y 120º 32’ 54’’
125º 22’ 34’’ ⟶ 125º 21’ 94’’ ⟶ 124º 81’ 94’’
120º 32’ 54’’ 120º 32’ 54’’ 120º 32’ 54’’
4º 49’ 40’’
Multiplicación por un número, se multiplican los segundos, minutos y horas (o grados)
por el número; y luego transformamos los segundos y minutos si sobrepasan de 60,
tal como se ha explicado en la suma. Ejemplo, multiplicar 32º 23’ 13’’ por 5:
32º 23’ 13’’ x 5 = 160º 115’ 65’’ ⟶ 160º 116’ 5’’ ⟶ 161º 56’ 5’’
División por un número, lo vemos con un ejemplo, dividir 37º 48' 25'' entre 5:
• Primero, se dividen las horas (o grados) entre el número.
• El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
37º 5
2 7º

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• Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con
los minutos. En nuestro caso:
• Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
• El resultado final es: 7º 33’ 41’’
Visualiza los siguientes videos, para reforzar lo aprendido:
• https://youtu.be/AuL2BK64v4k
• https://youtu.be/RGhnIHGJZfI
• https://youtu.be/ybLf5Tqcvbc
APLICACIONES:
Calculadora científica para el cálculo de operaciones sexagesimales:
Todas las calculadoras científicas tienen un botón similar o igual a éste: Si
introducimos en la pantalla una cifra y luego esta tecla, informamos a la calculadora
que la cifra introducida es un ángulo en grados (o un tiempo en horas). Si
introducimos una segunda cifra y volvemos a pulsar esta tecla, la cifra estará en
minutos. Una tercera cifra y nuevamente esta tecla harán que estemos utilizando
segundos. Por ejemplo, para introducir 5º 20′ 38″, hará que teclear:
Excel y operaciones sexagesimales:
Visualiza el siguiente video, https://youtu.be/n3mJOs4Y28Y e intentar repetir en
una hoja Excel de tu ordenador, la misma operación que aparece en el video.
37º 5
2 7º
x 60
120'
48 + 120 5 168 5
7º 18 33'
3
x 60'
180''
25 + 180 5 205 5
5 41''
0

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EJERCICIOS:
1. Dibujar rectas:
a) de 7 cm de longitud.
b) de 5,5 cm de longitud.
c) de 2,7 cm de longitud.
d) de 10 cm de longitud.
e) de 15 cm de longitud.
2. De las rectas de los ejercicios anteriores, dividirlas en dos semirrectas.
3. Dibuja segmentos con estas medidas:
a) 4 cm
b) 8 cm
c) 12 cm
d) 3,5 cm
4. Dibuja segmentos consecutivos con las siguientes medidas:
a) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 7,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐
b) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 2,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
c) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 8 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 2,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
5. Suma los siguientes segmentos, y represéntalos:
a) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 4,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 2,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
b) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 7 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐
c) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 12 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 1,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
d) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐
6. Resta los siguientes segmentos, y represéntalos:
a) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 14,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 4,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
b) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 8 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐
c) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 4,8 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 2,2 𝑐𝑐𝑐𝑐
d) 𝐴𝐴𝐴𝐴���� = 13 𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 8 𝑐𝑐𝑐𝑐
7. Dibuja una recta de 12 cm de longitud, se pide:
a) dibujar una recta paralela a la misma.
b) dibujar una recta secante a la misma.
c) dibujar una recta perpendicular a la misma.
d) dibujar su mediatriz.
8. Dibuja ángulos en las siguientes rectas:
a) en una recta 8 cm, un ángulo de 120º

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b) en una recta 10 cm, un ángulo de 45º
c) en una recta 7 cm, un ángulo de 200º
d) en una recta 15 cm, un ángulo de 275º
9. De los ángulos del ejercicio anterior, dibujar su bisectriz.
10. Dibuja un ejemplo de:
• ángulo llano
• ángulo recto
• ángulo nulo
• ángulo convexo
• ángulo cóncavo
• ángulo consecutivo
• ángulo complementario
• ángulo suplementario
• ángulo opuesto
11. Realiza las siguientes operaciones:
a) 68º 35' 42'' + 56º 46' 39'' =
b) 132° 26’ 33’’ × 5 =
c) 128° 42' 36’’ × 3 =
d) 132° 26' 33’’ : 3 =
e) 226° 40' 36’’ : 6 =
f) 56º 20' 40" + 37º 42' 15" =
g) 125º 15' 30" + 24º 50' 40" =
h) 33º 33' 33" + 17º 43' 34" =
i) 56º 20' 40" - 37º 42' 15" =
j) 125º 15' 30" - 24º 50' 40" =
k) 33º 33' 33" - 17º 43' 34" =
l) 56º 20' 40" x 2 =
m) 37º 42' 15" x 4 =
n) 56º 20' 40" : 5 =
o) 37º 42' 15" : 4
12. Halla el ángulo complementario y el suplementario de 18° 36' 43’’.
13. Halla el ángulo complementario y el suplementario de 25° 48' 40’’.
14. Utilizando la calculadora científica, comprueba, que los resultados del ejercicio
11 son correctos.
15. Con las siguientes amplitudes ángulos: 68º 35' 42’’ y 56º 46' 39’’, realiza una
suma, una resta, una multiplicación y una división, en una hoja Excel, que luego
guardaras en el pendrive para entregar el archivo al docente.

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