1. República bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal
Derivada Direccional
Alumno: Kristian castro
C.I: 23828515
San Cristóbal Julio 2017
2. Derivada direccional:
La derivada direcciona (o bien derivada según una dirección) de una función
multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la
función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los
respectivos ejes coordenados
La derivada direccional de una función real en variables
En la función denfida por el limite
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término gradiente
Donde “.” Denota el producto escalar o producto punto entre vectores en cualquier
punto X. la derivada direccional de F representa intuitivamente la tasa de cambio
de F con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección
dada por V en dicho punto
Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector
después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable entonces:
3. Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un
vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de “F” por unidad de
distancia.int a,b,c; a+b=c
Propiedades;
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de
funciones F y G definidas en la vencida de un punto P , donde son diferenciables
Funcionales:
La derivada funcional definida como derivada de gateux es de hecho una derivada
direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones
Referencias:
1) Si la función no es diferenciable las derivadas parciales no son continuas y
esta demostración no es válida.
4. Restricción al vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a
un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se
convierten en una misma
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que existe una función diferenciable la derivada direccional
según la direccion de un vector unitario V= (Vx,Vy) es:
