La derivada de una función mide la rapidez con que cambia el valor de la función cuando cambia su variable independiente. Se calcula como el límite de la tasa de cambio promedio de la función cuando el intervalo considerado para la variable independiente se hace más pequeño. La derivada de una función f en un punto x se denota como f'(x) y representa la pendiente de la tangente en ese punto. El concepto de derivada es fundamental en el cálculo infinitesimal y tiene aplicaciones en física, química, biología y ciencias sociales para medir la tasa de camb

1. DERIVADA.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de
dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la
rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se
habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo
El movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al
tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.
El movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al
tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor
en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El
proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación
Su historia:
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron
origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal.
El otro concepto es la «anti derivada» o integral; ambos están relacionados por el
teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo
están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como
el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es
el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una
magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de
Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

2. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la
derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede
aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los
dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la
recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse
muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad
o convexidad.
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x
si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto
si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin
embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto (punto
crítico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada
de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada
de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también
recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.