Presentación del Tema 5 (Teoría de grafos y optimización de redes) para la asignatura Métodos cuantitativos de 2º de Grado en Ingeniería en Organización Industrial, curso 2011/2012, de la Universidad de Deusto.

1. TEMA 5
TEORÍA DE GRAFOS Y
OPTIMIZACIÓN DE
REDES
Ing. Alex Rayón Jerez
http://www.alexrayon.es
http://paginaspersonales.deusto.es/alrayon
2 de Diciembre del 2011
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial

2. Índice de contenidos
 Introducción
 Definiciones
 Árbol de extensión o de extensión de mínimo peso
 Problemas de camino mínimo
 Recorridos en grafos
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial

3. Introducción
Primeras etapas
Surge en el siglo XVIII con Euler (1707-1803)
El problema de los puentes de Konigsberg
Resolución de problemas que pueden ser modelados mediante un
grafo y resueltos mediante algoritmos específicamente desarrollados
para un grafo
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4. Introducción
El metro de Londres
La historia del metro de Londres tiene mucha relación con la Teoría
de Grafos
Más concretamente, con la Inmersión de Grafos (Graph
Drawing)
Permite explicar de forma sencilla la representación
(inmersión) de un grafo
Para un mismo conjunto de vértices y una misma lista de
conexiones entre ellos, puede haber trazados con o sin cruces entre
las líneas.
Depende del dibujo que se haga del grafo, de la inmersión que se
elija, se pueden destacar, y por lo tanto aprovechar, una característica
u otra del grafo
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5. Introducción
El metro de Londres (II)
Los primeros mapas del metro de
Londres eran geográficos
Dibujar sobre un plano de la ciudad
los recorridos de las distintas líneas
Harry Beck, ingeniero electrónico
empleado en el metro de Londres, se
percató en 1931 de que al usuario no le
interesaba conocer el recorrido del metro
bajo tierra
Simplemente le interesaba conocer la
posición relativa de las líneas y
estaciones para realizar los trasbordos
que necesitase
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6. Introducción
El metro de Londres (III)
Más que un diseño geográfico, resultaría más útil un diseño
topológico
Menos curvas y direcciones en las líneas
De broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en
circuitos eléctricos
En 1936, entre otros cambios, eliminó curvas y sólo permitió ángulos
de 45º y 90º
En 1940, se incorporaron ángulos de 60º también, idea que se
desechó por enturbiar la claridad del plano
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7. Introducción
El metro de Londres (IV)
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8. Introducción
El metro de NYC
“1972, Massimo Vignelli
designed a diagrammatic map
for the New York City subway”
“...the map was created in
B.C. (before computer) for
the A.C. (after computer)
era.”
Nueva versión en la M.T.A.’s
The Weekender Web site
Contenido semántico en
tiempo real (obras, fines de
semana, mapa del barrio
sobre el que se pasa, etc.)
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9. Definiciones
Un grafo, desde el punto de vista geométrico intuitivo, no es más que
un conjunto de puntos en el espacio o vértices, que están
conectados mediante un conjunto de líneas o aristas
Un grafo se define mediante dos conjuntos (G), el conjunto de los
vértices del grafo (V) y el conjunto de las relaciones existentes entre
los vértices (A)
G = (V , A)
donde
V = {1,2,3,4}
A = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,2), (3,4), (4,2), (4,3)}
Tamaño del grafo: nº de aristas
Orden del grafo: nº de vértices
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10. Definiciones (II)
Un grafo dirigido o red es un conjunto de nodos, nudos o vértices unidos
por arcos (así cada arco es un par ordenado de vértices)
Un bucle es un arco de la forma (a,a) como por ejemplo el arco (2,2)
Una arista es un arco sin orientación es decir, no ordenado y que puede ser
utilizado en el sentido que se desee
Un grafo no dirigido es un conjunto de vértices y un conjunto de aristas
Un multigrafo es un grafo en el que existen un par de vértices unidos por
más de una arista
Una cadena es una secuencia de aristas o de arcos sin considerar su
orientación, que une un par de nodos. En el ejemplo, la secuencia de arcos
que unen el nodo 4 con el 1 sería: (4,2) (2,1).
Un camino es una cadena en la que todos los arcos tienen la misma
orientación
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11. Definiciones (III)
Un grafo es conexo si cualquier par de vértices está unido por al
menos una cadena (se dice fuertemente conexo si cualquier par de
vértices está unido por al menos un camino)
Un ciclo es todo circuito que no contiene vértices repetidos excepto
el vértice extremo
Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos
Un grafo se puede almacenar a través de la matriz de incidencia y/o
la matriz de adyacencia:
La matriz de incidencia de un grafo no dirigido es una matriz con
tantas filas como nodos n y tantas columnas como aristas m tiene el
grafo definiéndose sus elementos como:
1 si el nodo i pertenece a la arista j
bij = 
0 otro caso
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12. Definiciones (IV)
La matriz de incidencia de un grafo dirigido es igual pero se marca
con -1 el nodo inicial y con +1 el nodo final del arco
Esta matriz tendrá únicamente dos elementos distintos de cero en
cada columna (si hubiera un bucle sólo habría uno)
La matriz de adyacencia de un grafo es una matriz cuadrada de tantas
filas y columnas como número de nodos y cuyos elementos se
definen como:
1 si existe un arco (arista) del nodo i al j
aij = 
0 otro caso
En el caso de un grafo no dirigido esta matriz es simétrica
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13. Definiciones (V)
Cálculo de las matrices correspondientes de adyacencia e incidencia
de los siguientes grafos:
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14. Árbol de extensión
Partiendo de un grafo no dirigido G=(V,E), un árbol de extensión es
un árbol que incluye todos los vértices de G y sus aristas están
incluidas en E
Dado un grafo no dirigido G=(V,E), con “pesos” en sus aristas, el
problema de optimización que se plantea sobre él, asociado al árbol
de extensión es el problema del árbol de extensión de mínimo peso
Consiste en obtener a partir del grafo original un árbol que
conecte todos los vértices y cuya suma de los pesos de sus aristas
sea mínima
Diseño de una red con el objetivo de que tenga la menor longitud
o coste global posible
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15. Árbol de extensión (II)
Solución a este problema
Algoritmo de Kruskal
Algoritmo de Prim
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16. Problema de camino mínimo
Introducción
El problema de los caminos más cortos es el problema que consiste
en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera
que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima
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17. Problema de camino mínimo
Introducción (II)
“GPS Data on Beijing Cabs Reveals
the Cause of Traffic Jams”
Investigadores de la Microsoft
Research Asia han dividido la
ciudad en regiones (figura
contigua), analizando cómo los
taxis se mueven a través de ellas
Si se puede tomar un camino directo
entrea A y B, y un taxista toma un
camino alternativa... ¿qué pasa?
Algoritmo aplicable a ciudades con
mucha densidad de taxis (Mexico City,
Bangkok, Tokyo, New York, Buenos
Aires y Moscow)
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18. Problema de camino mínimo
Enunciado
Se trata de buscar el camino más corto de un vértice a todos los
demás
Se denominan en plural “Problemas de camino mínimo” porque
existen varios planteamientos posibles dentro de esta definición:
Camino mínimo de un origen a un destino.
Caminos mínimos de un vértice a todos los demás.
Caminos mínimos de todos a todos los vértices.
Etc.
Nosotros nos centraremos en el segundo de ellos
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19. Problema de camino mínimo
Enunciado (II)
El primer paso consiste en comprobar que no existan circuitos de
longitud negativa
Solución a través del algoritmo de Dijkstra
Si hubiera longitudes negativas se debiera resolver por el algoritmo
de Bellman-Ford
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20. Problema de camino mínimo
Solución
Algoritmo de Dijkstra
Ir obteniendo el camino mínimo en cada iteración al vértice
transitorio con longitud menor desde el origen, ya que al no
existir arcos con longitud negativa , nunca será posible disminuir
ese valor pasando por ningún nodo cuya distancia sea mayor
Una vez asegurada que la distancia obtenida hasta ese vértice es
la menor posible, se actualizan las demás etiquetas transitorias,
viendo si existe un camino más corto a estos nodos a través del
nodo recién etiquetado
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21. Recorrido en grafos
Recorridos
Son formas de recorrer un grafo (sus nodos y/o sus aristas)
cumpliendo determinadas condiciones
Su forma clásica responde a problemas en los que no se incluye
ningún tipo de optimización
El objetivo es encontrar una solución factible al problema
planteado, sin embargo a partir de ellos se han formulado nuevos
problemas con la optimización ya integrada
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22. Recorrido en grafos
Problemas
El ciclo euleriano y su problema:
El cartero chino
El ciclo hamiltoniano y su problema
El viajante
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23. References
Libros y Publicaciones
Robinson, R. (1999) “Welcome to OR Territory” OR/MS Today pp. 40-43, August.
Sitios web
Mind the map [online]. URL: http://seispalabras-clara.blogspot.com/2011/09/mind-map.html
Ahead of Its Time | An Icon Goes Digital [Online]. URL: http://tmagazine.blogs.nytimes.com/2011/09/16/ahead-of-its-time-an-icon-goes-digital/
GPS Data on Beijing Cabs Reveals the Cause of Traffic Jams [Online]. URL:
http://www.stumbleupon.com/su/2ttEz5/www.technologyreview.com/communications/38679/
Problema del camino más corto [Online]. URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_camino_m%C3%A1s_corto
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24. Copyright (c) 2011 Alex Rayón Jerez
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* Referencias de la transparencia anterior.
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25. Profesor: Ing. Alex Rayón Jerez
Bilbao, Septiembre 2011
2º de Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Facultad de Ingeniería
Universidad de Deusto
Departamento de Tecnologías Industriales, Facultad de Ingeniería, Universidad de Deusto
Avda. de las Universidades, 24, 48007 Bilbao, País Vasco, España
Alex Rayón Jerez
alex.rayon@deusto.es
Para contactar conmigo, muchas formas :-)
http://alexrayon.es/alex-rayon-20/
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