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1. Relación de Equivalencia
[a] ={ x ∈ 𝑨 / 𝒂 = 𝒙}
Una relación binaria es una relación de
equivalencia si y solo si es reflexiva,
simétrica y transitiva.
En otras palabras, si R es una relación de
equivalencia, debe cumplir las siguientes
propiedades:
• Es reflexiva: ∀x∈A,(x,x)∈R∀x∈A,(x,x)∈R.
• Es simétrica: (x,y)∈R→(y,x)∈R(x,y)∈R→(y,x)∈R
• Es transitiva:
[(x,y)∈R∧(y,z)∈R]→(x,z)∈R[(x,y)∈R∧(y,z)∈R]→(x,z)
∈R.
Ejemplos.
Por su reflexividad, implica que el dominio de R es
el mismo conjunto A lo que implica que la relación
de equivalencia tenga como dominio al
conjunto A.
Sea el conjunto A y sea la siguiente relación:
R={(a,b)∈A×A|a es hermano de b}
A es hermano consigo mismo, es reflexiva: (a,a)∈R.
Si a es hermano con b,
entonces b es hermano con a,
es simétrico: (a,b)∈R(a,b)∈R,
entonces (b,a)∈R(b,a)∈R.
Si a es hermano con b y b es hermano con c,
entonces a es hermano con c, esto
es transitivo: (a,b) y (b,c) pertenecen a R, implica
que (a,c) pertenece a R.

2. Relación de Equivalencia
Gráfica de la Relación de Equivalencia
Las flechas de color verde indica que la relación es reflexivo,
es decir, se relaciona con su reflejo, consigo mismo.
La flecha de color rosa indican que la relación es simétrico
Y las flechas de color celeste indican que la relación
es transitiva. Que le transfiere las propiedades de una cosa
a la otra.

3. Sea el conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4} y una relación dada:
R={(1,1),(1,4),(4,1),(4,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
Observemos que es una relación de
Equivalencia.
• Cumple la propiedad reflexiva: Los
pares (1,1), (2,2), (3,3) y (4,4) pertenecen
a R para todos los elementos de A.
• Cumple la propiedad simétrica: Los
pares (1,4), (4,1) pertenecen a R, estos
otros (2,3), (3,2) pertenecen a R y el resto de los
pares son simétricas consigo mismos.
• Cumple la propiedad transitiva:
Si (1,4) y (4,4) pertenecen a R,
entonces (1,4) pertenece a R. El resto de los pares de
la relación cumplen esta propiedad.
Si tomamos todas las primeras componentes
de R lo cual resulta el origen de R o dominio
simbolizado por D(R), resulta:
• D(R)={1,2,3,4}
• Resulta ser igual al conjunto A como habíamos indicado
anteriormente
La relación de equivalencia sirve para indicar que los
elementos de un conjunto compartan las mismas
características o propiedades con otros elementos del
mismo conjunto. Esto ayuda a clasificar los elementos de
una relación que esta sujeto a ciertas propiedades
especificas.

4. Por ejemplo, el concepto de paralela || es
una propiedad de las rectas o segmentos y
es una relación de equivalencia. Si décimos
que la recta L1 es paralela con L1, esta
afirmación cumple la propiedad reflexiva ya
que una recta es paralela consigo misma.
Si decimos que L1 es paralela con L2,
entonces L2 es paralela con L1, esta afirmación
es simétrica, por último, si decimos
que L1 es paralela con L2 y L2 es paralela con L3
, entonces L1 es paralela con L3, esto
es transitivo.
Entonces la relación de equivalencia clasifica y
selecciona aquellas elementos que tengan
una misma propiedad o propiedad en común.
Definición de equivalente
Si R∈A×A es una relación de
equivalencia, entonces decimos
que el par (a,b)∈R tiene
componentes equivalentes y se
simboliza por a≈b, decimos
entonces que a es equivalente a b.

5. Ejemplos:
Del ejemplo 2, donde definimos el conjunto A={1,2,3,4} y su relación dada:
R={(1,1),(1,4),(4,1),(4,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
Donde probamos que es una relación equivalente, lo que
implica que sus elementos son equivalentes,
simbólicamente escribimos para cada par así:
1≈1 1≈4 4≈1 4≈4
2≈2 2≈3 3≈2 3≈3
Definición de clase de equivalencia
Sea R⊆A×A una relación de
equivalencia y un elemento a∈A,
llamaremos clase de
equivalencia al subconjunto de
elementos que son equivalentes (o
relacionados) a los elementos
de A con a, es decir:
[a]R={x∈A|a≈x}

6. Ejemplos:
Sea el conjunto formada por algunas letras del alfabeto B={ a,b,c,d,e,f,g } y la relación:
R= (c,c)(a,b)(b,b)(e,f)(g,g)(b,a)(f,f)(f,e)(a,a)(e,e)(d,d)
[a]R={a,b}
Ahora busquemos todas las clases de
equivalencia en la relación R con el resto de las letras
de B, tenemos:
• [b]R={a,b}
• [c]R={c}
• [d]R={d}
• [e]R={e,f}
• [f]R={e,f}
• [g]R={g}
Todos estos conjuntos son la clase de equivalencia de R,
notamos también que [a]R=[b]R y [e]R= [f]R, sin tomar
en cuenta las clases repetidas, vemos que son disjuntos
entre ellas.
Teorema 1: Sea R⊆A×A una relación de
equivalencia para dos elementos a,b∈A, se
cumple solo una de estas dos posibles
situaciones:
1.Si a≈b, entonces [a]R=[b]R.
2.Si a≉b , entonces [a]R∩[b]R=ϕ

7. CONJUNTO COCIENTE Y CLASES DE EQUIVALENCIA
Como podemos deducir a partir de la definición,
una relación de equivalencia determina una
partición de un conjunto (todos los elementos de
un conjunto que estén relacionados pertenecen a
la misma parte o subconjunto); análogamente,
toda partición de un conjunto permite establecer
una relación de equivalencia.
Es decir, una relación de equivalencia divide al
conjunto en subconjuntos (o partes) disjuntos los
cuales se denominan clases de equivalencia.
Es decir, una relación de equivalencia divide al
conjunto en subconjuntos (o partes) disjuntos
los cuales se denominan clases de equivalencia.
Llamamos representante de la clase de equivalencia a
cualquier elemento que forme para de la clase [a]={b/aRb}.
El conjunto formado por todas las clases de equivalencia, se
denomina conjunto cociente, y se denota por M/R (donde
M es el conjunto, y R la relación de equivalencia.