Diapositivas con puntos y rectas que se determinan en el plano

1. Dados N puntos en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos. Observaciones: 2 Es necesario saber como están situados dicho ptos. en el plano. Información que complementaremos nosotros mediante supuestos. Empezaremos por el supuesto que algunos ven implícito en el enunciado original. Supuesto 1: 3. Podemos resolver el problema de forma INDUCTIVA (lo que se acomoda al conocido heurístico: EMPIEZA POR LO FÁCIL y ve observando, anotando, analizando lo que pasa, conforme lo vas haciendo más difícil) o atacarlo directamente en su formulación general 1. Tendremos que hacer uso del intuitivo axioma de Euclides: “2 ptos. determinan una recta” Entre los N ptos . dados, no existen 3 que estén en la misma recta . (Después, se pueden plantear supuestos: supuesto 2 , supuesto 3 , etc .) INVESTIGACIÓN Diaposit. 1

2. En nuestro caso lo fácil o difícil depende del valor de N, así que, construyamos una tabla empezando por lo más sencillo: N = 2, 3, 4, 5, 6... N. Recordemos enunciado completo en supuesto 1 : Dados N ptos. en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos. Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta. N (nº de ptos.) Representación (nº de rectas determinadas ) R 2 1 3 4 5 3 6 4*5=20. 4 rectas desde el vértice elegido. ¿y desde los otros vértices?: ¡otras 4! ..... ¡Pero cada recta está contada 2 veces! Para “arreglarlo” tendré que contar sólo la mitad de ellas 20/2 = 10 Diaposit. 2

3. N (nº de ptos.) Representación (nº de rectas determinadas ) R 6 5 rectas desde el pto elegido (las que resultan al unir con el resto de ptos.) 5 desde cada vértice * 6 vértices = 30 Al igual que en el caso anterior,si cuento todas las rectas que pasan por cada pto., cada recta la habré contado en 2 ocasiones (en los 2 ptos. que la determinan), luego he de “arregrarlo”: 30/2= 15 Diaposit. 3 4 desde cada vértice * 5 vértices = 20 20/2= 10 4 rectas desde el vértice elegido. ¿y desde los otros vértices?: Otras 4. ¡Pero cada recta está contada 2 veces! Para “arreglarlo”, tendré que contar sólo la mitad de ellas: 5 6 4 3 3 1 2

4. Y ahora, supongamos que tengo N ptos. (o vértices) numerados. 1 2 3 4 5 6 7 N-2 N-1 N Enlacemos uno de ellos (p. e. el “N ”) con el resto . ¿Cuántas rectas salen? ¡Tantas como ptos. con los que unir N , es decir N-1 rectas ! Luego si de un pto cualquiera (todos son “iguales”), salen N-1 rectas, dado que tengo N ptos. , está claro (“casi”) que en total tendré N*(N-1) rectas . El “casi” es una pequeña “metedura de pata”, porque por ese procedimiento cada recta la he contado “exactamente” 2 veces y sólo debo contarla 1 vez... El asunto tiene fácil arreglo si “la descuento 1 vez de cada 2 contadas”, lo cual equivale contar sólo la mitad de las que salían en el párrafo anterior, es decir, quedaría: N*(N-1)/2 rectas Diaposit. 4

6. Supongamos que los N ptos. están alienados. (Sería el caso “opuesto” del supuesto 1 ) . Es decir: 1 2 3 4 5 6 N-1 N 7 Supuesto 2 ¡Es obvio que sólo hay una recta determinada por tales puntos. Justo la recta que indica el alineamiento! ¿Cuántas rectas salen? Diaposit. 6

7. Supongamos que de los N ptos. ( N-1 ) están alineados y 1 pto. (el último de ellos) fuera de dicha línea recta, es decir : 1 2 3 4 5 6 N-1 N 7 Supuesto 3 + ¿Cuántas rectas salen? Serán N : 1 (del alineamiento) + N-1 (de unir el “N” con el resto de ptos. ) Diaposit. 7

8. Etc. ¿Puedes representar algún supuesto más? ¿Se podrá hacer algún tipo de generalización en función del número grupos de ptos. alineados, el número ptos. que conforman cada grupo alineado, el número de ptos. que pertenecen a varios alineamientos a la vez …? Este etc. es para que tú sigas investigando. Domingo Revilla Martínez. Dpto: Didáctica de las Cc. Experimentales y las Matemáticas. Fac: Formación del Profesorado. Univ. de Extremadura. Cáceres. España E-mail: drevilla@unex.es Diaposit. 8