Matemáticas 2
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
Antiderivación
Técnicas de antiderivación
Área
Integral definida
Teorema del valor medio
Teorema fundamental del cálculo
Área de una región plana
Volúmenes de solidos
1. Matemáticas 2
Integral definida e integración
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
11 de abril de 2023
2. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 2/136
Objetivos
1. Antiderivación
2. Interpretación geométrica
3. Integral indefinida vs Integral definida
4. Teoremas fundamentales del cálculo
5. Volumen de varios tipos de sólidos
3. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 3/136
Contenido
Antiderivación
Algunas técnicas de antiderivación
Área
Integral definida
Teoremas fundamentales del Cálculo
Área de una región plana
Volúmenes de sólidos mediante los métodos de
rebanado, de discos y de arandelas
Volúmenes de sólidos mediante el método de capas
cilíndricas
6. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 6/136
Antiderivación
Definición de antiderivada
● Una función F se denomina antiderivada de la
función f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para
todo valor de x en I.
9. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 9/136
Todas las antiderivadas de f
Teorema
● Si F es una antiderivada particular de f en un
intervalo I
I, entonces cada antiderivada de f en I
está dada por
F(x) + C
donde C es una constante arbitraria, y todas las
antiderivadas de f en I pueden obtenerse a
partir de F(x) + C asignando valores
particulares a C.
10. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 10/136
Antiderivación
●
Proceso para determinar todas las
antiderivadas de una función dada.
Antiderivada general
27. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 27/136
Ejemplo Solución: https://youtu.be/s-TbazfsdzY
La eficiencia de un trabajador está expresada
como un porcentaje. Por ejemplo, si la eficiencia
de un obrero en un momento particular está dada
como 70%, entonces el trabajador se desempeña
a un 70% de su potencial máximo. Suponga que
E % es la eficiencia de un trabajador a las t horas
después de iniciar su trabajo, y que la tasa a la
que E cambia es (35 – 8t)% por hora. Si la
eficiencia del trabajador es de 81% después de
trabajar 3 horas, determine su eficiencia después
de haber trabajado (a) 4 h y (b) 8 h.
33. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 33/136
Algunas técnicas de antiderivación
34. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 34/136
Algunas técnicas de antiderivación
●
Regla de la cadena para antiderivación
●
Cambio de variable
35. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 35/136
Regla de la cadena para
antiderivación
36. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 36/136
Regla de la cadena para
antiderivación
37. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 37/136
Regla de la cadena para
antiderivación
Teorema
● Sea g una función diferenciable y sea el
contradominio de g algún intervalo I. Suponga
que f es una función definida en I y que F es
una antiderivada de f en I. Entonces
38. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 38/136
Generalización de la fórmula de la
potencia para antiderivadas
Teorema
● Si g es una función diferenciable y n es un
número racional, entonces
45. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 50/136
Notación sigma
Definición
● m: límite inferior de la suma
● n: límite superior de la suma
● i: recibe el nombre de índice de la suma
119. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 127/136
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje x la región
acotada por las gráficas de
120. Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 128/136
Ejemplo
Se corta una cuña de un cilindro circular recto,
cuyo radio es r cm, mediante dos planos, uno
perpendicular al eje del cilindro y el otro intersecta
al primero a lo largo de un diámetro de la sección
plana circular formando un ángulo de 60°. Calcule
el volumen de la cuña.