Se muestran y definen diferentes funciones, gráficas y su relación con los modelos matemáticos. Se analiza qué es un límite y los diferentes teoremas acerca de aquello. Finalmente, se estudia continuidad de una función en un número.
1. Matemáticas 1
Funciones, límites y continuidad
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
2 de diciembre de 2023
2. Funciones Angel Vázquez-Patiño 2/340
Objetivos
1. Diferentes funciones
2. Gráficas
3. Límites y teoremas
4. Continuidad y discontinuidad
5. Modelos matemáticos
3. Funciones Angel Vázquez-Patiño 3/340
Contenido
Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones y tipos de funciones
Funciones como modelos matemáticos
Límite de una función y teoremas de límites
Límites laterales e infinitos
Continuidad de una función en un número
Continuidad de una función compuesta y
continuidad en un intervalo
Continuidad de las funciones trigonométricas y
teorema de estricción
5. Funciones Angel Vázquez-Patiño 5/340
Funciones
●
Salario depende de las horas trabajadas.
●
Producción depende del número de máquinas.
●
Resistencia de un cable depende del espesor.
●
La relación entre este tipo de cantidades suele
expresarse mediante una función.
6. Funciones Angel Vázquez-Patiño 6/340
Función, dominio y codominio
(contradominio o rango)
●
Puede considerarse como una correspondencia de
un conjunto X de números reales x a un conjunto Y
de números reales y, donde el número y es único
para cada valor específico de x.
●
La regla se expresa frecuentemente por medio de
una ecuación.
● El conjunto X de los números reales es el dominio
de la función y el conjunto Y de números reales
asignados a los valores de x en X es el
contradominio de la función.
10. Funciones Angel Vázquez-Patiño 10/340
Función como un conjunto de pares
ordenados
●
Por ejemplo, la función definida por la ecuación
consta de todos los pares
ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación.
●
En símbolos esto se expresa como
11. Funciones Angel Vázquez-Patiño 11/340
Definición de función
●
Una función es un conjunto de pares
ordenados de números (x, y) en los que no
existen dos pares ordenados diferentes con
el mismo primer número. El conjunto de
todos los valores admisibles de x se denomina
dominio de la función, y el conjunto de todos
los valores resultantes de y recibe el nombre de
contradominio de la función.
15. Funciones Angel Vázquez-Patiño 15/340
Notación valor de función de
Leonhard Euler
y es el contradominio de f
Variable dependiente
Variable independiente
16. Funciones Angel Vázquez-Patiño 16/340
Ejemplo
●
Dada , determine a) y
b)
●
En caso de que al efectuar el cálculo aparezca
en el numerador la diferencia de dos radicales,
se racionaliza el numerador.
●
Conjugado del numerador
17. Funciones Angel Vázquez-Patiño 17/340
Definición de gráfica de una función
● Si f es una función, entonces la gráfica de f es
el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano
ℝ2
para los cuales (x, y) es un par ordenado de
f.
●
Recuerde que en una función existe un solo
valor de la variable dependiente para cada
valor de la variable independiente del
dominio.
●
Una recta vertical intersecta la gráfica de una
función en no más de un punto.
24. Funciones Angel Vázquez-Patiño 24/340
Función definida a trozos
●
Sea G la función definida por
●
Determine el dominio y el contradominio de G,
y dibuje su gráfica.
30. Funciones Angel Vázquez-Patiño 30/340
Función máximo entero
Dibuje la función G definida por
y determine su dominio y su contradominio.
Apoye su respuesta trazando su gráfica en la
graficadora.
50. Funciones Angel Vázquez-Patiño 50/340
Función compuesta
●
Dadas las dos funciones f y g, la función
compuesta, denotada por f ○ g, está definida
por
y el dominio de f ○ g es el conjunto de todos
los números x del dominio de g tales que
g(x) está en el dominio de f.
52. Funciones Angel Vázquez-Patiño 52/340
Ejemplo
●
Defina las siguientes funciones y determine el
dominio de la función compuesta: a) f ○ g, b) g
○ f, c) f ○ f y d) g ○ g.
55. Funciones Angel Vázquez-Patiño 55/340
Función lineal
●
Cuando la función lineal tiene pendiente 1 e
intercepto 0
●
Función identidad
●
Cuando la pendiente es cero
●
Función constante
56. Funciones Angel Vázquez-Patiño 56/340
Función polinomial
●
La función polinomial de grado 1 es una función
lineal
●
De grado 2 es cuadrática
●
De grado 3 es cúbica
59. Funciones Angel Vázquez-Patiño 59/340
Función racional
●
Si una función puede expresarse como el
cociente de dos funciones polinomiales,
entonces se denomina función racional.
60. Funciones Angel Vázquez-Patiño 60/340
Función algebraica
●
Es aquella formada por un número finito de
operaciones algebraicas sobre la función
identidad y una función constante. Estas
operaciones algebraicas incluyen adición,
sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
●
Las funciones polinomiales y racionales son
tipos particulares de funciones algebraicas.
61. Funciones Angel Vázquez-Patiño 61/340
Función trascendente
●
Función que no satisface una ecuación
polinómica cuyos coeficientes sean a su vez
polinomios; esto contrasta con las funciones
algebraicas, las cuales satisfacen dicha
ecuación.
69. Funciones Angel Vázquez-Patiño 72/340
Introducción
●
Modelo matemático
– Expresar (abstraer) una situación del mundo real
en términos de una relación funcional.
●
No hay necesariamente un método
específico para obtener un modelo
matemático.
70. Funciones Angel Vázquez-Patiño 73/340
Sugerencias para resolver
problemas usando modelos
1)Entender el problema. Ejemplo específico o dibujar un
diagrama.
2)Determinar cantidades conocidas y desconocidas junto con
sus unidades. Definir símbolos para las variables
(in)dependientes.
3)Anotar hechos numéricos de la(s) variable(s) y del valor de
la función.
4)Determinar dos expresiones algebraicas en términos de la
variable y del valor de la función. De éstas, forme una
ecuación que defina la función (generalmente con respecto a
una sola variable).
5)Escribir una conclusión respondiendo la(s) pregunta(s) del
problema. Usar unidades de medición correctas.
71. Funciones Angel Vázquez-Patiño 76/340
Ejemplo 1
●
El peso aproximado del cerebro de una
persona es directamente proporcional al peso
de su cuerpo, y una persona que pesa 150 lbs
tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4
lbs.
(a) Encuentre un modelo matemático que
exprese el peso aproximado del cerebro como
una función del peso de la persona.
(b) Determine el peso aproximado del cerebro de
una persona que pesa 176 lbs.
74. Funciones Angel Vázquez-Patiño 80/340
Ejemplo 4
●
El precio de admisión regular para un adulto a
una determinada función en el Coast Cinema
es de $7, mientras que para un niño menor de
12 años de edad es de $4 y el precio para
adultos de por lo menos 60 años de edad es de
$5.
(a) Encuentre un modelo matemático que
exprese el precio de admisión como una
función de la edad de la persona.
(b) Dibuje la gráfica de la función del inciso (a).
77. Funciones Angel Vázquez-Patiño 83/340
Ejemplo 7
● Dada la circunferencia cuya ecuación es x2
+ y2
= 9, encuentre un modelo matemático que
exprese la distancia del punto (4, 5) a un punto
(x, y) de la circunferencia como una función de
x.
80. Funciones Angel Vázquez-Patiño 86/340
Ejemplo 8
●
Encuentre un modelo matemático que exprese
el volumen de un cilindro circular recto que
pueda inscribirse en una esfera de 6 cm de
radio en función de la altura del cilindro.
r
h/2
6
cm
82. Funciones Angel Vázquez-Patiño 88/340
Ejemplo 9
●
La resistencia de una viga rectangular es
conjuntamente proporcional a su anchura y al
cuadrado de su espesor. Escriba la función que
relacione la resistencia de la viga con su ancho
si esta viga se corta de un tronco con forma de
cilindro circular recto cuyo radio es de 72 cm.
83. Funciones Angel Vázquez-Patiño 89/340
Ejemplo 10
●
La rigidez de una viga rectangular es
conjuntamente proporcional a su anchura y al
cubo de su espesor. Escriba la función que
relacione la rigidez de la viga con su espesor si
esta viga se corta de un tronco con forma de
cilindro circular recto cuyo radio es de a cm.
88. Funciones Angel Vázquez-Patiño 94/340
Diferencia de f(x) en relación a la
diferencia de x
α puede ser tan pequeño como se quiera pero x jamás será 1
89. Funciones Angel Vázquez-Patiño 95/340
En otras palabras
puede hacerse tan pequeño como se
desee haciendo lo suficientemente
pequeño. Sin embargo, x nunca toma el valor
de 1.
90. Funciones Angel Vázquez-Patiño 96/340
De forma más precisa
●
Para cualquier número positivo épsilon (ϵ)
existe un número positivo delta (δ),
seleccionado adecuadamente, tal que
●
Primero se elige ϵ y el valor de δ depende del
valor de ϵ.
94. Funciones Angel Vázquez-Patiño 100/340
Con símbolos
●
Como para cualquier ϵ > 0 dado puede
determinarse un δ > 0 tal que la proposición
se cumple, entonces
115. Funciones Angel Vázquez-Patiño 121/340
Definición de límite de una función
● Si f es una función definida en cada número de
algún intervalo abierto que contiene a a,
excepto, posiblemente, en el mismo número a,
entonces
si la siguiente proposición es verdad:
Dado cualquier >0
ϵ , no importa cuán pequeño
sea, existe un δ>0 tal que
118. Funciones Angel Vázquez-Patiño 128/340
T.1 L.: Límite de una función lineal
Si m y b son dos constantes cualesquiera,
entonces
Demostración
●
A partir de la definición de límites de una
función, se debe demostrar que para cualquier
ϵ > 0 existe una δ > 0, tal que
124. Funciones Angel Vázquez-Patiño 134/340
T.4 L.: Límite de la suma y de la
diferencia de dos funciones
¡Si los límites existen!
¡La demostración es como para examen!
134. Funciones Angel Vázquez-Patiño 145/340
Teoremas
● Si a es cualquier número real diferente de cero,
entonces
● Si a > 0 y n es un número entero positivo, o si a
≤ 0 y n es un número entero impar, entonces
138. Funciones Angel Vázquez-Patiño 149/340
Definición de límite de una función
● Si f es una función definida en cada número de
algún intervalo abierto que contiene a a,
excepto, posiblemente, en el mismo número a,
entonces
si la siguiente proposición es verdad:
Dado cualquier >0
ϵ , no importa cuán pequeño
sea, existe un δ>0 tal que
Recordar
154. Funciones Angel Vázquez-Patiño 165/340
Límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en cada número del
intervalo (a, c), entonces, el límite de f(x),
conforme x tiende a a por la derecha, es L, lo que
se denota por
si para cualquier >0
ϵ , sin importar qué tan
pequeña sea, existe una δ>0 tal que
156. Funciones Angel Vázquez-Patiño 167/340
Límite por la izquierda
Sea f(x) una función definida en cada número del
intervalo (d, a), entonces, el límite de f(x),
conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo
que se denota por
si para cualquier >0
ϵ , sin importar qué tan
pequeña sea, existe una δ>0 tal que
168. Funciones Angel Vázquez-Patiño 179/340
Ejemplo Solución: https://youtu.be/DkBXZ0CBR80
Sean f y g las funciones definidas como
(a) Muestre que y existen pero
no son iguales, y en consecuencia, no
existe.
(b) Obtenga una fórmula para
(c) Demuestre que existe probando
que
175. Funciones Angel Vázquez-Patiño 186/340
Valores de función que crecen sin
límite
Sea f una función definida en cada número de
algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se
aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se
escribe como
si para cualquier número N>0 existe δ>0 tal que
177. Funciones Angel Vázquez-Patiño 188/340
Valores de función que decrecen sin
límite
Sea f una función definida en cada número de
algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se
aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se
escribe como
si para cualquier número N<0 existe δ>0 tal que
181. Funciones Angel Vázquez-Patiño 193/340
T.12 L. (1/3)
Si a es cualquier número real y si y
, donde c es una constante diferente
de 0, entonces
(i) Si c>0 y f(x)→0 a través de valores positivos
de f(x), entonces
(ii) Si c>0 y f(x)→0 a través de valores negativos
de f(x), entonces
182. Funciones Angel Vázquez-Patiño 194/340
T.12 L. (2/3)
Si a es cualquier número real y si y
, donde c es una constante diferente
de 0, entonces
(iii) Si c<0 y f(x)→0 a través de valores positivos
de f(x), entonces
(iv) Si c<0 y f(x)→0 a través de valores negativos
de f(x), entonces
183. Funciones Angel Vázquez-Patiño 195/340
T.12 L. (3/3)
Si a es cualquier número real y si y
, donde c es una constante diferente
de 0, entonces …
El teorema también es válido si se
sustituye “x → a” por “x → a+
” o “x → a−
”.
194. Funciones Angel Vázquez-Patiño 206/340
Asíntota vertical
La recta x=a es una asíntota vertical de la
gráfica de la función f si al menos uno de los
siguientes enunciados es verdadero:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
222. Funciones Angel Vázquez-Patiño 234/340
Ejemplo 11 Solución: https://youtu.be/BQIjH6NVORc
● Si C(t) dólares es el costo total por hora de luz en
una fábrica con n lámparas fluorescentes, cada una
con un promedio de vida de t horas, entonces
● donde r dólares es el costo de renovación, e es la
constante de eficiencia comercial, p watts es la
potencia de cada lámpara, y k dólares es el costo
de la energía por cada 1000 watts.
●
Determine
230. Funciones Angel Vázquez-Patiño 242/340
Función (dis)continua en un número
Se dice que la función f es continua en el número
a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
(i) existe;
(ii) existe;
(iii)
Si una o más de estas tres condiciones no se
cumplen en a, entonces se dice que la función f
es discontinua en a.
238. Funciones Angel Vázquez-Patiño 250/340
Si f y g son dos funciones continuas en a,
entonces
(i) f + g es continua en a;
(ii) f − g es continua en a;
(iii) f · g es continua en a;
(iv) f / g es continua en a, considerando que
g(a) ≠ 0.
Teorema
244. Funciones Angel Vázquez-Patiño 256/340
Teorema 1.8.5
Si n es un número entero positivo y
entonces
(i) si n es impar, entonces f es continua en todo
número.
(ii) si n es par, entonces f es continua en todo
número positivo.
246. Funciones Angel Vázquez-Patiño 258/340
Definición de límite de una función
● Si f es una función definida en cada número de
algún intervalo abierto que contiene a a,
excepto, posiblemente, en el mismo número
a, entonces
si la siguiente proposición es verdad:
● Dado cualquier >0
ϵ , no importa cuán pequeño
sea, existe un δ>0 tal que
Recordar
247. Funciones Angel Vázquez-Patiño 259/340
Ejemplo 1
●
Determine el número en el que la función es
discontinua y muestre porqué la definición de
continuidad no se satisface en este número.
●
Solución: https://youtu.be/j83GoA5inV0
248. Funciones Angel Vázquez-Patiño 260/340
Ejemplo 2
●
Determine el número en el que la función es
discontinua y muestre porqué la definición de
continuidad no se satisface en este número.
●
Solución: https://youtu.be/1ayXeH0b8to
249. Funciones Angel Vázquez-Patiño 261/340
Ejemplo 3
●
Determine el número en el que la función es
discontinua y muestre porqué la definición de
continuidad no se satisface en este número.
●
Solución: https://youtu.be/vco-O_v1eYY
250. Funciones Angel Vázquez-Patiño 262/340
Ejemplo 4
●
Determine el número en el que la función es
discontinua y muestre porqué la definición de
continuidad no se satisface en este número.
●
Solución: https://youtu.be/ej8OUE-7fMk
251. Funciones Angel Vázquez-Patiño 263/340
Ejemplo 5
●
La función mostrada es discontinua en el
número a. ¿La discontinuidad es removible o
esencial? Si es removible, indique cómo debe
redefinirse f(a) de modo que la discontinuidad
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/xXO3xa8xWTE
253. Funciones Angel Vázquez-Patiño 265/340
Ejemplo 6
●
La función mostrada es discontinua en el
número a. ¿La discontinuidad es removible o
esencial? Si es removible, indique cómo debe
redefinirse f(a) de modo que la discontinuidad
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/nCv-J4WWHfw
255. Funciones Angel Vázquez-Patiño 267/340
Ejemplo 7
●
La función mostrada es discontinua en el
número a. ¿La discontinuidad es removible o
esencial? Si es removible, indique cómo debe
redefinirse f(a) de modo que la discontinuidad
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/DRodCYaVL-g
259. Funciones Angel Vázquez-Patiño 271/340
Ejemplo 8 Solución: https://youtu.be/IYDUR52q6Hg
● Suponga que a los t minutos, r(t) metros es el
radio del flujo circular de petróleo que se
derrama por una fisura de un tanque y
● Si A(t) metros cuadrados es el área de la fisura
del tanque a los t minutos, defina A(t) y
demuestre que A es continua en 2.
261. Funciones Angel Vázquez-Patiño 273/340
Ejemplo 9
●
Encuentre fórmulas para la función
● y dibuje su gráfica. ¿En qué números es F
discontinua y porqué?
266. Funciones Angel Vázquez-Patiño 278/340
Límite de una función compuesta
Teorema
● Si y si la función f es continua en
b, entonces
●
o, equivalentemente,
267. Funciones Angel Vázquez-Patiño 279/340
Definición de límite de una función
● Si f es una función definida en cada número de
algún intervalo abierto que contiene a a,
excepto, posiblemente, en el mismo número
a, entonces
si la siguiente proposición es verdad:
● Dado cualquier >0
ϵ , no importa cuán pequeño
sea, existe un δ>0 tal que
Recordar
270. Funciones Angel Vázquez-Patiño 282/340
Continuidad de una función
compuesta
Teorema
● Si la función g es continua en a y la función f es
continua en g(a), entonces la función
compuesta f ○g es continua en a.
●
En otras palabras, una función continua de una
función continua es continua.
273. Funciones Angel Vázquez-Patiño 285/340
Teorema 1.8.5
Si n es un número entero positivo y
entonces
(i) si n es impar, entonces f es continua en todo
número.
(ii) si n es par, entonces f es continua en todo
número positivo.
Recordar
274. Funciones Angel Vázquez-Patiño 286/340
Continuidad de una función
compuesta
Teorema
● Si la función g es continua en a y la función f es
continua en g(a), entonces la función
compuesta f ○g es continua en a.
●
En otras palabras, una función continua de una
función continua es continua.
Recordar
280. Funciones Angel Vázquez-Patiño 292/340
Dominio de h(x) e Intervalo en el
que h(x) es continua
●
Dominio
[-3, +3]
●
Continua en
(-3, +3)
Continua en el intervalo abierto (-3, +3).
281. Funciones Angel Vázquez-Patiño 293/340
Continuidad en un intervalo abierto
Definición
●
Se dice que una función es continua en un
intervalo abierto si y sólo si es continua en cada
número del intervalo abierto.
282. Funciones Angel Vázquez-Patiño 294/340
Continuidad por la derecha
Definición
Se dice que la función f es continua por la
derecha en el número a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
(i) existe
(ii) existe
(iii)
283. Funciones Angel Vázquez-Patiño 295/340
Continuidad por la izquierda
Definición
Se dice que la función f es continua por la
izquierda en el número a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
(i) existe
(ii) existe
(iii)
284. Funciones Angel Vázquez-Patiño 296/340
Continuidad en un intervalo cerrado
Definición
●
Se dice que una función, cuyo dominio contiene
al intervalo cerrado [a, b], es continua en el
intervalo cerrado [a, b] si y sólo si es continua
en el intervalo abierto (a, b), así como continua
por la derecha en a y continua por la izquierda
en b.
289. Funciones Angel Vázquez-Patiño 301/340
Continuidad en un intervalo
semiabierto
(i) Una función cuyo dominio incluye al intervalo
semiabierto [a, b) es continua en [a, b) si y
sólo si es continua en el intervalo abierto (a, b)
y es continua por la derecha en a.
(ii) Una función cuyo dominio incluye al intervalo
semiabierto (a, b] es continua en (a, b] si y
sólo si es continua en el intervalo abierto (a, b)
y es continua por la izquierda en b.
Se tienen definiciones similares para la
continuidad en los intervalos [a,+∞) y (-∞, b].
290. Funciones Angel Vázquez-Patiño 302/340
Ejemplo
●
Determine el intervalo más grande (o unión de
intervalos) en el que la función f ○g es continua.
291. Funciones Angel Vázquez-Patiño 303/340
La importancia de la continuidad de una
función en un intervalo será más evidente a
medida que avance en el estudio del Cálculo.
Esta propiedad es parte de las hipótesis de
muchos teoremas esenciales, tales como el
Teorema del valor intermedio, el Teorema del
valor extremo y los Teoremas fundamentales
del Cálculo.
292. Funciones Angel Vázquez-Patiño 304/340
Teorema del valor intermedio
Si la función f es continua en el intervalo cerrado
[a, b] y si f(a)≠f(b), entonces para cada valor k
entre f(a) y f(b) existe al menos un número c
entre a y b tal que f(c)=k.
293. Funciones Angel Vázquez-Patiño 305/340
El teorema del valor intermedio afirma que si la
función f es continua en el intervalo cerrado [a, b],
entonces f(x) toma todos los valores entre f(a) y
f(b) conforme x toma todos los valores entre a y b.
Los ejemplos siguientes muestran la importancia
de la continuidad de f en [a, b] para poder
garantizar esta afirmación.
296. Funciones Angel Vázquez-Patiño 308/340
Teorema del cero intermedio
Si la función f es continua en el intervalo cerrado
[a, b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos,
entonces existe un número c entre a y b, tal que
f(c)=0; es decir, c es un cero de f.
297. Funciones Angel Vázquez-Patiño 309/340
Ejemplo
●
Aplique el teorema del cero intermedio para
mostrar que la función f tiene el número
indicado de ceros entre a y b. Estime estos
ceros (raíces) con dos cifras decimales.
● Cuatro raíces (ceros); a = −5; b = 5
302. Funciones Angel Vázquez-Patiño 314/340
Teorema de estricción
Suponga que las funciones f, g y h están definidas
en algún intervalo abierto I que contiene a a, y
que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x en I para la cual
x ≠ a. También suponga que y
existen y son iguales a L.
Entonces existe y es igual a L.
Ensayo de tracción a probeta de acero: https://youtu.be/wy7ENOO6RiI